高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何

(, 0,0) ,y轴上点的坐标为 (0, , 0) ,z轴上点的坐标为 (0,0, ) ；
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→

其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→

→

,且±
→

→

均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
,且(1) →
= ⋅ →
；(2) →

与→
同向
的方向൝ →
与 反向
→
=→

，
，
当 > 0
,如果 = 0或 →
=→
,规定
当 < 0
容易验证：数乘向量满足结合律与分配律,即
为(, , ),过 →
的终点(, , )作三
个平面分别垂直于三条坐标轴,设垂足
依次为A、B、C, 则A在x轴上的坐标为x,
→
根据向量与数的乘法运算得 = ,
→
→
同理 = , = ,于是由向量
加法的三角形法则有：
→
→
→
→
= = + = + + = + + ,
第七章 多元函数微积分
第一节 空间解析几何
多元函数概念及其微积分是一元函数及其微积分的
推广和发展,在自然科学和工程技术问题中有着广泛的应
用.本章将在一元函数微积分的基础上,重点讨论二元函
数微积分,其结果推广一般即多元函数微积分.
空间解析几何是通过空间直角坐标系,将空间的点与含
三个有序实数的数组之间建立一一对应关系,把空间的图形
→
→
→
→
称 = + + 为向量 →
的坐标表示,记 →
= {, , },
其中, , 称为向量→
的坐标.
(2)向量 的坐标表示
以1 = (1 , 1 , 1 )为起点,2 = (2 , 2 , 2 )为
z
终点的向量1 2 , 有
→
⋅
→
→

=
1 2 +1 2 +1 2
1 2 +1 2 +1 2 2 2 +2 2 +2 2
.
→ → → →
→
→
→ →
→
→
设 = 2 − + 2 , = + + 4 ,求 ⋅ 及向量 →
、
例4
→
的夹角.
→
→
解 ⋅ = 2 × 1 + (−1) × 1 + 2 × 4 = 9.
1 2 =
(2 − 1 )2 + (2 − 1 )2 + (2 − 1 )2 .
特别地,空间中任意一点(, , )到原点的距离为: =
2 + 2 + 2.
例1 在x轴上求与点A(−2,1,0)和B(2,0,3)距离相等的点Ｍ.
解
因为所求点 Ｍ 在x轴上,故设该点为 Ｍ (, 0,0),由题意有
→
→
3 + 2 = {6, −3,9} + {2,4, −4} = {8,1,5}.
(4)向量模的坐标表示
→
→
→
→
任 给 一 向 量 = + + , 都 可 将 其 视 为 以 原 点 为 始
点,(, , )为终点的向量,不难看出,
→

2
= 2 + 2 + 2 ,故 →
因→
=
=
例5
解
22
→
→
⋅
→
→

+
=
(−1)2
2
,所以
2
+ 22
=
→
= 3, = 12 + 12 + 42 = 3 2,于是

.
4
→
→
→
→
已知 = , 2,1 , = 2, −3, ,且 ⊥ ,求数.
→
→
→
→
因为 ⊥ ,所以 ⋅ = 0,
M2
1 2 = 2 − 1
→
→
→
→
→
→
= (2 + 2 + 2 ) − (1 + 1 + 1 )
O
y
M1
x
→
→
→
= (2 − 1 ) + (2 − 1 ) + (2 − 1 )
即1 2 = {2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 }.
2
+ ,即
4.向量的数量积与向量积
(1)两向量的数量积
→
设一物体在常力 的作用下产生的直线
F
θ
S
→
位移为⥂ ,则力 所作的功为W=
→
→ →
,其中为力⥂ 与位移
的夹角.
上式的右边可看成是两个向量进行某种运算的结果,把这
种运算抽象出来就得到数量积的概念.
定义3
M
手,让四指与大拇指垂直,并使四
指先指向,然后让四指沿小于
→
的方向握拳转向力 的方向,这
时拇指的方向就是力矩的方
→
向.(即、 、依次符合右手
螺旋法则).
F
O
P
工程技术中,有许多向量具有上述特征.由此我们给出两个向量的向
和方程对应起来,从而使人们能用代数的方法研究空间图形.
空间解析几何知识是学习多元函数微积分的必不可少的基
础.
本节首先引进空间直角坐标础上讨论空间平面和直线的方程. 最后介绍空间曲面
和曲线的方程.
一、空间直角坐标
1.空间直角坐标系
在空间取一点,过点作三条互相垂
直的数轴、、,按右手法则确定它
的正方向,即以右手握住轴,让右手的四指

从x轴的正向以 角度转向轴的正向,这时
2
大拇指所指的方向就是z轴的正方向.这样
就组成了空间直角坐标系.称为坐标
原点,三条数轴分别称为x轴、y轴、z轴.
每两条坐标轴确定一
个平面,称为坐标平面，依
次为平面、平面及
→
→
两向量 与 的模及其夹角(0 ≤ ≤ )的余弦的乘积称
→
→ → →
→
→
→
→
为向量 与 的数量积或点积,记 ⋅ ,即 ⋅ = .
→ →
由定义3上述做功问题可表示为 W= ⋅ .
注:两个向量数量积是一个数值.
数量积满足下列运算规律:
的终点作为
→
向量 的起点,则由→
的起点
→
到 的终点的向量也是→
与
→
的和向量.这是向量加法的
三角形法则.该法则可推广
到任意有限个向量相加的情
形.
向量加法满足交换律和结合律,即
→ → →
→
+ = + ,
→
→ →
→
→
→
( + ) + = + ( + )
向量的加减法运算及数乘向量统称为向量的线性运
算.
3.向量的坐标表示
(1)向量的坐标表示
向量的运算仅靠几何方法研究有些不便,为此需将向量的
运算代数化,在空间直角坐标系中,与x轴、y轴、z轴的正向
→ → →
同方向的单位向量分别记为 , , ,称为基本单位向量.
设向量 →
的起点在坐标原点,终点
→
向量,记 0 ,其方向不定.
→
→
我们规定,两个向量 与 不论起点是否一致,如果其方
→
→
向相同,模相等,则称它们是相等的,记 = .即经平移后,两
向量完全重合,允许平移的向量称为自由向量,本书所讨论的
向量均为自由向量.
2.向量的运算
在物理学中,如果有两力1 , 2 作用在同一质点上,则它们
→
→
→
→
→
→
→
→
⋅ = 1 + 1 + 1 ⋅ 2 + 2 + 2
= 1 2 + 1 2 + 1 2 .
由此可得以后常用的结论:
→
→
→
→
⊥ ⇔ ⋅ = 0 ⇔ 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0,
=
→
即2 + 2 × (−3) + 1 × = 0,故 = 2
(2)两向量的向量积
→
设轴L上P点受力 作用,为轴L
→
的支点, 与的夹角为,由力学
知识知道,力⥂ 对支点的力矩
也可以看成是一个向量,的模等于
力的大小与力臂的乘积,即 =
→
.
力矩的方向规定为:伸出右
平面,三条坐标轴相互垂直,
把空间分成八个部分,称为
八个卦限.
建立了空间直角坐标
系后,对于空间中的任一点M,
过M点可作三个分别平行于坐
标面的平面,它们分别与x轴、
y轴、z轴交于A、B、C三点,
三点在x轴,y轴,z轴上的坐标
依次为x,y,z,称三元有序数组
（ｘ，ｙ，ｚ）为点 M的坐标.
显然,原点的坐标是(0,0,0),x轴上点的坐标为
的合力可按平行四边形或三角形法则求出.同样的方法也可用
于速度的合成,由此定义向量的加法.
定义1
设有两个非零向量→
、
→
→
→
,以 、 为邻边的平行四边
形的对角线表示的向量,称为两
→
→
→
→
向量 与 的和向量,记 + ,
这是向量加法的平行四边形法
则.
a
b
a+b
b+a
b
a
若以向量→
=
例3
2
=
2
+
2 + 2 + 2.
已知1 = (1, −2,3),2 = (4,2, −1),求 1 2 .
解 因为1 2 = {4 − 1,2 − (−2), −1 − 3} = {3,4, −4},
所以 1 2 =
32 + 42 + (−4)2 = 41.
2
=
,
即
( + 2)2 + (0 − 1)2 + (0 − 0)2 =
( − 2)2 + (0 − 0)2 + (0 − 3)2 , 解 得 = 1 , 故 所 求 点 为 Ｍ
(1,0,0).
二、向量的基本概念及其运算
1.向量的概念
在物理学中,我们已经用到过既有大小又有方向的量,如力、
故起点不在原点的向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标之差.
(3)向量线性运算的坐标表示
有了向量的坐标之后,向量的线性运算就可以方便地用坐
标来计算,这样向量的加减、数与向量的乘积就代数化了.
→
→
设 = {1 , 1 , 1 }, = {2 , 2 , 2 },则
→
→
± = {1 ± 2 , 1 ± 2 , 1 ± 2 }；
b
c=a-b
a
根据向量加法的三角形法则,
→
若向量 加上向量→
等于向量→
,则称
→
→
→
→
→
→
向量 为 与 的差,记 = − .
→
→
向量的减法也可按三角形法则进行,只要把 与 起点放
→
→
→
在一起, − 即是以 的终点为起点,以→
的终点为终点的
向量.
→ → → →
→
→
⋅ ,特别地 ⋅ = ⋅ = ⋅ = 1;
→ →
→
→
→ → → →
→
→
⊥ ⇔ ⋅ = 0,特别地 ⋅ = ⋅ = ⋅ = 0.
下面给出两个向量数量积的坐标表示.
→
→
设 = {1 , 1 , 1 }, = {2 , 2 , 2 },则
位移、速度、加速度等,这类量称为向量,也称为矢量.
我们常用有向线段来表示向量,
B
以A为起点,B为终点的向量可记为 ,
也可用一个黑体小写字母表示向量,如
→ → →
a,b,c等,有时为了书写方便也用 , ,
等表示.
A
→
→
向量的大小称为该向量的模,用 、 、 →
、 表
示向量的模,模为1的向量称为单位向量,模为0的向量称为零
→ → →
→
1交换律 ⋅ = ⋅
→ →
→ → →
→
→
2分配律 ⋅ ( + ) = ⋅ + ⋅
→
→ →
→
→
→
3结合律 ( ⋅ ) = ( ) ⋅ = ⋅ ( )
由数量积的定义可以推出:
2 →
→
→
→
⋅ = , =
→ →