凤凰高中数学 《平面向量的坐标运算》教案 必修

诚西郊市崇武区沿街学校凤凰中学2021年高中数学2.3.3平面向量的坐标运算
教案A 版必修4
【教学目的】
1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么，并能进展相关运算，进一步培养学生的运算才能；
2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步理解数形结合思想，认识事物之间的互相联络，培养学生辨证思维才能.
【教学重难点】
教学重点: 平面向量的坐标运算．
教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．
【教学过程】
一、〖创设情境〗
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。

向量是否可以用代数的方法，比方用坐标来表示呢？假设可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。

因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。

二、〖新知探究〗
考虑1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，假设设a =(x1,y1)b =(x2,y2)那么a ＝x1i ＋
y1j ，b ＝x2i ＋y2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa 〔λ∈R〕如何分别用基底i 、j 表示？
a ＋
b ＝(x1＋x2)i ＋(y1＋y2)j ，
a －
b ＝(x1－x2)i ＋(y1－y2)j ，
λa
＝λx1i＋λy1j. 考虑2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？
a ＋
b ＝(x1＋x2，y1＋y2);
a －
b ＝(x1－x2，y1－y2);
λa
＝(λx1，λy1).
两个向量和与差的坐标运算法那么：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 考虑3：点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量AB 的坐标如何？
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
考虑4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
结论：
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的详细位置无关系，只与其相对位置有关。

2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.
三、〖典型例题〗
例1a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b
，3a ＋4b 的坐标.
解：a ＋b
＝〔2,1〕+〔-3,4〕=(－1，5)，
a －
b ＝〔2,1〕-〔-3,4〕=(5，－3)，
3a ＋4b
＝3〔2,1〕+4〔-3,4〕=〔6,3〕+〔-12,16〕=(－6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法那么直接求解。

变式训练1：(3,2)a =，(0,1)b =-，求24a b -+，43a b +的坐标；
例2、平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为〔-2，1〕、〔-1，3〕〔3，4〕，求顶点D 的坐标。

解：设点D的坐标为〔x,y〕,
即3-x=1,4-y=2
解得x=2,y=2
所以顶点D的坐标为〔2，2〕.
另解：由平行四边形法那么可得
所以顶点D的坐标为〔2，2〕
点评：考察了向量的坐标与点的坐标之间的联络.
变式训练2：平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

四、〖课堂小结〗
本节课主要学习了平面向量的坐标运算法那么：
〔1〕两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；
〔2〕两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；
〔3〕实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；
五、〖反响测评〗
1.以下说法正确的有〔〕个
〔1〕向量的坐标即此向量终点的坐标
〔2〕位置不同的向量其坐标可能一样
〔3〕一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
〔4〕相等的向量坐标一定一样
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.A 〔-1，5〕和向量a =(2,3)，假设
AB =3a ，那么点B 的坐标为__________。

A ．(7,4)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(5,14)
3．点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC
AB =，2AD AB =，12
AE AB =-，求点C 、D 、E 的坐标。

2.3.3平面向量的坐标运算
课前预习学案
一、预习目的：通过预习会初步的进展向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算
二、预习内容：
1、知识回忆：平面向量坐标表示
2.平面向量的坐标运算法那么： 假设a =(x1,y1)，b =(x2,y2)那么a ＋b
＝____________________,
a －
b ＝________________________,λa ＝_____________________.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目的： 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么，并能进展相关运算，进一步
培养学生的运算才能；
2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步理解数形结合思想，认识事物之间的相联络，培养学生
辨证思维才能.
二、学习内容
1.平面向量的坐标运算法那么：
考虑1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，假设a =(x1,y1)，b =(x2,y2)，那么a ＝x1i
＋y1j ，b ＝x2i ＋y2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa 〔λ∈R〕如何分别用基
底i 、j 表示？
考虑2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？
考虑3：点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量
AB 的坐标如何？
平面向量的坐标运算法那么：
〔1〕两向量和的坐标等于_______________________；
〔2〕两向量差的坐标等于_______________________；
〔3〕实数与向量积的坐标等于__________________________；
考虑4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？
2．典型例题 例1：a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a ＋4b 的坐标.
例2：平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为〔-2，1〕、〔-1，3〕、〔3，4〕，求顶点D 的坐标。

三、反思总结
〔1〕引进向量的坐标后，向量的根本运算转化为实数的根本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

〔2〕要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

四、当堂检测
1.以下说法正确的有〔〕个
〔1〕向量的坐标即此向量终点的坐标
〔2〕位置不同的向量其坐标可能一样
〔3〕一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
〔4〕相等的向量坐标一定一样
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.A 〔-1，5〕和向量a =(2,3)，假设
AB =3a ，那么点B 的坐标为__________。

A ．(7,4)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(5,14)
3．点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =，2AD AB =，12
AE AB =-，求点C 、D 、E 的坐标。

课后练习与进步
1．(3,2)a =，(0,1)b =-，那么24a b -+等于〔〕
A ．)8,6(--
B ．)6,3(--
C ．)8,6(
D ．)8,6(-
2．平面向量)2,1(=a ，),(n m b =，且2b a =，那么b a 32-等于〔〕 A ．)4,2(--B ．)6,3(--
C ．)10,5(--
D ．)8,4(--
3(2,3)a =，(1,2)b =-，假设ka b -与a kb -平行，那么k 等于〔〕．
A.1
B.-1
C.1或者者-1
D.2 4.)2,5(=a ，)2,7(--=a ，那么43a b +的坐标为____________.
5.：点A 〔2，3〕、B 〔5，4〕、C 〔7，10〕，假设AP=AB+λAC(λ∈R)，那么λ为_______时，点P 在一、三象限角平分线上.
6.(2,4)a =-，(1,3)b =-，(6,5)c =，2p a b c =+-，那么以a ，b 为基底，求p .。