高中数学必修5优质课件：一元二次不等式及其解法

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(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0 可变为－2x2＋3x－1＞0， 即 2x2－3x＋1＜0，解得12＜x＜1. ∴不等式 ax2＋bx－1＞0 的解集为{x|12＜x＜1}．
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【练习反馈】
1．不等式 x(2－x)＞0 的解集为( A．{x|x＞0} C．{x|x＞2 或 x＜0}
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4．若不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为x|－12＜x＜2，则实数 a＝________，实数 b＝________.
解析：由题意可知－12，2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根． 由根与系数的关系得－ －1212＋ ×22＝ ＝2a－，ba， 解得 a＝－2，b＝3.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集 为{x|－1≤x≤5}．
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(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为 x|x＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4 ＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x ＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表
判别式 Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
－4ac
一元二次方程 有两相异 有两相等 ax2＋bx＋c＝ 实根 x1， 实根 x1＝x2
0(a>0)的根 x2，(x1＜x2) ＝－2ba
没有实数 根
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[对点训练] 2．解关于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)． 解：原不等式可化为： (ax＋1)(x－1)＜0，当 a＝0 时，x＜1，当 a＞0 时x＋1a(x －1)＜0 ∴－1a＜x＜1.当 a＝－1 时，x≠1，
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当－1＜a＜0 时，x＋1a(x－1)＞0，∴x＞－1a或 x＜1. 当 a＜－1 时，－1a＜1，∴x＞1 或 x＜－1a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0 时，x|－1a＜x＜1； 当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 时，x|x＜1或x＞－1a. 当 a＜－ห้องสมุดไป่ตู้ 时，x|x＜－1a或x＞1，
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(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7 ＜0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
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[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没 有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0} ＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3} ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}．
答案：A
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3．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y＜0 时 x 的取值范围是________． 解析：由 y＜0 得 x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3 答案：(1,3)
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
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得ab＝＝－2，3， 代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 由 2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜12或 x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0 的解集为－∞，12∪(1，＋∞)．
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[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的，三者之间相互依存、 相互转化．
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[对点训练] 3．已知方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2. (1)求 a、b 的值； (2)解不等式 ax2＋bx－1＞0. 解：(1)∵方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12和 2，
由根与系数的关系，得－ －1212＋ ×22＝ ＝2a－. ba， 解得 a＝－2，b＝3.
答案：－2 3
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5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x－1)．
解：(1)原不等式可化为 x2－7x＋12≤0，因为方程 x2－7x＋12＝0 的两根为 x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化为 x2－2x＋2＞0， 因为判别式 Δ＝4－8＝－4＜0，方程 x2－2x＋2＝0 无实根，而抛物 线 y＝x2－2x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
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(4)由原不等式得 8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于 9x2－12x＋4>0. 解方程 9x2－12x＋4＝0，得 x1＝x2＝23. 结合二次函数 y＝9x2－12x＋4 的图象知，原不等式的解集为 {x|x≠23}.
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{x|x<－1 或 x>6}．
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(2)原不等式可化为 x2－7x＋6<0. 解方程 x2－7x＋6＝0 得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－7x＋6 的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0 两根为 2 和－3. 结合二次函数 y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－3 或 x>2}．
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[例 3] 已知关于 x 的不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x ＜2}，求关于 x 的不等式 bx2＋ax＋1＞0 的解集．
[解] ∵x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}， ∴1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根． 由韦达定理有－ b＝a＝ 1×1＋2，2，
) B．{x|x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2.
答案：D
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2．已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}， 则 M∩N 为( ) A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3}
一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ，叫做这个一元二次不等式 的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 .
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[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
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[对点训练]
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)－x2＋7x>6.
(3)(2－x)(x＋3)<0； (4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，原不等式的解集为
判别式 Δ＝b2－ Δ>0
4ac
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋ c>0(a>0) 的解集
x|x<x1 或 x>x2}
x|x≠－2ba
R
ax2＋bx＋
x|x <x<x
1
2
∅
∅
c<0(a>0) 的解集
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【常考题型】
[例 1] 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－841≥0；(4)－12x2＋3x－5＞0； (5)－2x2＋3x－2＜0.
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[解] (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程 2x2＋7x ＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函数 y＝2x2 ＋7x＋3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－12， 或 x＜－3}．