江苏省赣榆高级中学2016_2017学年高一数学上学期期中试题

江苏省赣榆高级中学2016-2017学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{},,,A =-2136，{}|B x x =-<<24，则A ∩B = ▲ ． 2
．式子a 2a >0）用分数指数幂表示为 ▲ ． 3
．函数y x
-1
2的定义域是 ▲ ． 4．计算(lg lg )-⨯=1
21
251004
▲ ．
5．设.a =032，.b =203
，c =，将,,a b c 按从小到大．．．．
的顺序用不等号连接为 ▲ ． 6．已知函数()f x x ax bx =++-533，若()f -=-25，则()f =2 ▲ ． 7．函数()log ()f x x =-221的单调减区间为 ▲ ．
8．已知函数log ,,
(),,x x x f x x >⎧⎪
=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩20102 则满足方程()f a =1的所有a 的取值构成的集合为 ▲ ．
9．已知幂函数()()()k
k
f x k k x k Z -=+-∈2
231的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则
k 的值为 ▲ ．
10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],-∞0上为减函数，f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
102，则不等式(log )f x >40
的解集为 ▲ ．
11．已知函数()lg()f x mx =-1在[,)+∞2上单调递增，则实数m 的取值范围为 ▲ ．
12．已知集合{}
||(,)|x A x y y -==+131，{}(,)|B x y y k ==，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数k
的取值集合是 ▲ ．
13．已知函数,,
(),,x
x x x f x x a ⎧---≤≤=⎨-<≤⎩224020的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知函数()f x 满足()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭12，当[,]x ∈13时，()ln f x x =，若在区间,⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
133内，存在互不
相等的实数,a b 使()()f a f b =，则ab 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知集合{}|A x x =≤<15，{}|B x a x a =-<≤+3． （1）若a =1，U R =，求U C A ∩B ； （2）若B ∩A ＝B ，求实数a 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知函数()()f x ax ax b a =-++≠2220在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. （1）求,a b 的值；
（2）若b <1，且()()m g x f x x =-2在[2,3]上单调，求实数m 的取值范围.
赣榆区自行车主题景观大道引进50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日125元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）． （1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？ 日净收入最多为多少元？
18．（本小题满分16分）
已知函数()||f x ax x =-+1(x ∈R )．
（1）设函数()g x 为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()()g x f x =，求()g x 的解析式； （2）若函数()f x 有最大值，求实数a 的取值范围．
设函数()x x f x ka a -=-(a >0且a ≠1)是奇函数． （1）求k 的值；
（2）若()f >10，解关于x 的不等式()()f x f x ++->240； （3）若()f =3
12
，且对任意的[,)x ∈+∞1，不等式()x x a a mf x -+-+≥22220恒成立，求实数m 取值范围．
20．（本小题满分16分）
设函数()()f x ax a c x c =-++232(,,)a a c >∈R 0．
（1）若a =1，函数()f x 在区间(,)01和(,)+∞1上各有一个零点，求实数c 的取值范围； （2）设a >0，若()f x cx a >-+2对任意[,)x ∈+∞1恒成立，求实数c 的取值范围； （3）函数()f x 在区间(,)01内是否有零点，如果有，请确定零点的个数，并说明理由．
江苏省赣榆高级中学2016-2017学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1 {1，3} 2． a 5
2
3． {}
3,2x x x ≥-≠且 4． 20- 5． b a c << 6． -1
7． (－∞，－1) 8． {2,0} 9． 1 10．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 11． ,⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
12+
12． {2} 13．](,03 14． (1
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
解：（1）{}|A x x =≤<15，{}|U C A x x x =<≥或15…………………………………………2分 当a =1时，{}|B x x =-<≤14 ………………………………………4分
故U C A ∩B ={}|x x -<<11 …………………………………………6分 （2）因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .
①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－3
2； ……………………………………8分
②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
－a <a ＋3，－a ≥1，
a ＋3<5，解得－3
2
<a ≤－1. (12)
分
综上，a 的取值范围是(－∞，－1]． ………………………………14分 16．（本小题满分14分）
解：(1)f (x )＝a (x －1)2
＋2＋b －a . ① 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， 故⎩⎪⎨
⎪⎧
f ＝5，f
＝2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
……………………………………2分
② 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧
f ＝2，f
＝5
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，
4a －4a ＋2＋b ＝5
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
…………………………………4分
故a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. ………………………………………6分 (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，
即f (x )＝x 2
－2x ＋2， ………………………………………8分
g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.
若g (x )在[2,3]上单调，则2＋2m
2≤2或2m
＋2
2≥3， (结果正确每个 2分)
∴2m
≤2或2m
≥4，即m ≤1或m ≥2. ……………………………………12分 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞) ……………………………………14分
17．（本小题满分14分）
解：当x ≤6时，y x =-50125，令x ->501250，计算得出.x >25，
x N ∈,36,x x N ∴≤≤∈.
……………………2分
当x <≤620时，[()]y x x x x =---=-+-25036125368125； ………………………4分 综上所述，2
50125, 36,368125, 620,x x x N y x x x x N
-≤≤∈⎧=⎨
-+-<≤∈⎩. ………………………………6分
当36x ≤≤且x N ∈时，
y x =-50125是增函数，∴当x 6=时，max y =175元 ………8分
当x <≤620且x N ∈时，()y x x x =-+---
+
2234781
368125333
=，所以x =11时，max y =260元. ………………………………12分
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使得日净收入最多，为260元. ………14分 18．（本小题满分16分）
解 (1)(),
,
()(),
,
a x x f x a x x --≥-⎧=⎨
++<-⎩111111 注：范围中的“=”两段中均可以，但不能漏掉！ (2)
分
要使函数f (x )有最大值，需,
,
a a -≤⎧⎨
+≥⎩1010
∴－1≤a ≤1. (4)
分
即当a ∈[－1,1]时，f (x )有最大值．
故a 的取值范围为[－1,1]． ………………………6分
(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数，
∴g (－0)＝－g (0)，∴g (0)＝0. ……………………8分
当x >0时，()()g x f x ==()a x --11 ………………………10分 设x<0，则－x >0.
∴g (x )＝－g (－x )＝()()()a x a x ---+=-+1111， ………………………14分
∴(),(),(),a x x g x x a x x -->⎧⎪
==⎨⎪-+<⎩
11000
110 ………………………16分
19．（本小题满分16分）
解 (1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，k ＝1.
(2)
分
(2)因为f (1)＞0，所以a －1a
＞0，∴a ＞1，∴f (x )＝a x －a －x
是R 上的单调增函数． (4)
分
于是由f (x ＋2)＞－f (x －4)＝f (4－x )，得x ＋2＞4－x ，解得x ＞1. ………………6分
所以不等式的解集是{}
1x x >. ………………8分 (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝3
2，解得a ＝2(a ＞0)， (10)
分
设g (x )＝22x
＋2
－2x
－2m (2x －2－x )+2＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x
)＋4.
设t ＝f (x )＝2x －2－x
，则由x ≥1，得t ≥f (1)＝32
， ………………12分
g (t )＝t 2－2mt ＋4＝(t －m )2＋4－m 2.
若m ≥32，则当t ＝m 时，y min ＝4－m 2
≥0，解得m ≤≤322
.
若m ＜32，则当t ＝32时，y min ＝m -≥25304，解得m ＜32. ………………14分
综上得m ≤2 …………………………16分
20．（本小题满分16分）．
解 (1)将a =1代入()()f x ax a c x c =-++232得()()f x x c x c =-++2321，
由函数()f x 在区间(,)01和(,)+∞1上各有一个零点，且函数开口向上，知()f <10， 即()c c -++<3210，解得c >1. ………………4分
(2) 由()f x cx a >-+2，将()()f x ax a c x c =-++232代入得()ax a c x c cx a -++>-+2322；
c ax ax a >-+232+，令()g x ax ax a =-+232+，a >0 ………………6分 ()f x cx a >-+2对任意[,)x ∈+∞1恒成立，即max ()c g x >， ………………8分
()()g x ax ax a a x a =-+--+2214
32333
+=，
由()g x 在[,)x ∈+∞1上单调递减，max ()()g x g =10= c ∴>0.故实数c 的取值范围是c >0. ………………10分
(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，
则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ………………12分 ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.
因为二次函数f (x )＝3ax 2
－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 3a ＝
－a 2＋c 2－ac 3a <0，
所以函数f (x )在区间⎝
⎛
⎭⎪⎫0，
a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零
点． ………………16分。