椭圆双曲线练习卷(含答案)(最新整理)

d 2 (x 2)2 y2 x 4x2 4 20 5 x2 4 (x 9 )2 15 , 9 92
由于－6≤ m ≤6, ∴当 x = 9 时,d 取得最小值 15 2
x2
25．椭圆
m2
y2
1m
1与双曲线 x 2
n2
y2
1n
0 有公共焦点 F1, F2 ，P 是两曲线
的一个交点，求 F1PF2 的面积。
解答：由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点 P 在第一象限，F1 是左焦点，F2 是右焦点， 由椭圆和双曲线的定义可知
PF1 PF2 2m,
PF1
PF2
2n
解得
PF1 PF2
m n, m n.
PF1 2 PF2 2 2 m2 n2 。
椭圆 x 2 y 2 1m 1与双曲线 x 2 y 2 1n 0 有公共焦点，
|
1 2
为定值．
法二：设 M (x3,
y3 ), N (x4 ,
y4 ) ，则
k1＝
y3 x3
， 2x32
4 y32
1，
于是
2x
2 3
+4k
2 1
x
2 3
＝1，x
2 3
＝
2
1 4k12
，y
2 3
＝
2
k12 4k12
,同理，x
2 4
b 0) 有相同的焦点 F1, F2
，P 是两条曲线的一个公共点，则 PF1 PF2 的值是 m a 。
二、解答题
19．求经过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点且倾斜角为 的直线教椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的
3
长度。
16
长度为：
7
20．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为 2 13 ，一双曲线和这椭圆有公共
a2
y2 b2
1
(a b 0)
①
直线 l 的方程为 y 1 x 1 ，即 y x 3
②
4
2
4
由①②得： (a 2 b2 )x 2 3 a 2 x 9 a 2 a 2b2 0 2 16
设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2
3a 2 1 2(a 2 b2 )
m2
n2
∴ m2 1 n2 1 c 2 ∴ | F1F2 |2 4c 2 2 m2 1 n2 1 2 m2 n2 PF1 |2 | PF2 2 ，
∴ F1PF2
2
, 又m2
1
n2
1，即 m2
n2
2
，
∴
F1PF2
的面积
1 2
PF1
PF2
1 2
m2 n2
1。
即a2
2b2
③
又由 C 的准线方程为 x 1得 a 2 1 即 c a 2 c
④ 又a2 b2 c2 ⑤
由③④⑤解得 a 2 1 , b2 1 。∴椭圆 C 的方程为 2x 2 4 y 2 1．
2
4
（2）法一：设 M (x3, y3 ), N (x4 , y4 ) ，则 2x32 4 y32 1, 2x4 2 4 y4 2 1
(1
,
1)
，当
l
绕点
M
旋转时，求：
2
22
（1）动点 P 的轨迹方程；
（2）| NP | 的最小值与最大值.
可暂时不做
28．已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x 轴上，右准线的方程为 x＝1，倾斜角为 的直
4 线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，且线段 PQ 的中点坐标为 ( 1 , 1 ) ．
x1
由（※）得，
x1
x2
x2
2a 3 a2
2 3 a2
，∴
2(1 a 2 ) 3 a2
a 2a 3 a2
1 0，
解得 a 1.
27．设椭圆方程为 x2 y2 1，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点， 4
点
P
满足
OP
1
(OA
OB)
，点
N
的坐标为
x2
10．双曲线
y2
1的离心率 e (1, 2) ，则 k 的取值范围是 (4, 0)
4k
11.已知椭圆 x2 y2 1和双曲线 x2 y2 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方
3m2 5n2
2m2 3n2
程是 y
3 x
4
12．曲线 C 的方程为 1 k x2 3 k 2 y 2 4 （ k R ），
43
数是 4 条．
16．设 P 是直线 y x 4 上一点，过点 P 的椭圆的焦点为 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，则当椭圆
x2
长轴最短时，椭圆的方程为
y2
1．
10 6
17．以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，| PA | | PB | k ，则动点 P 的轨迹为双曲线； ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB，O 为坐标原点，若 OP 1 (OA OB), 则
30 ，则 F1PF2 的面
积等于 8 4 3
14．双曲线 x2 y2 1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上.若 PF1⊥PF2 ,则点 P 到 x 轴的 9 16
16
距离为 .
5
x2 15．过点 (0, 3) 作直线 l ，如果它与双曲线
y2
1 有且只有一个公共点，则直线 l 的条
高二数学练习卷一 （椭圆、双曲线）
班级
姓名
一、填空题
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，长、短轴都在坐标轴上，过点 A(3, 0) ，则椭圆的方
程是 x2 y2 1或 x2 y2 1．
9
9 81
2．双曲线的渐进线方程为 y 1 x ，且焦距为 10，则双曲线方程为 2
y2 x2 1 5 20 3．与圆 (x 3)2 y2 1 及圆 (x 3)2 y2 9 都外切的圆的圆心轨迹方程为
两式相加整理得： x32 x4 2 2( y32 y4 2 ) 1
⑥
3
∵|OM| 、 |OA|、|ON|三者的平方成等差数列，
2
3
1
∴|OM| 2+|ON| 2＝ |OA|2，又 A 为椭圆 C 的右顶点，∴|OA|2＝ ，
2
2
∴|OM|
2+|ON|
2＝
3 4
，∴ (x32
x42 )
( y32
当 k 1时 ， 曲 线 C 为 圆 ； 当 k 3,1 1,1时 ， 曲 线 C 为 椭 圆 ； 当 k
, 3 1, 3 时，曲线 C 为双曲线；当 k 1 或 k 3 时，曲线 C 为两直线.
13． P 是椭圆
x2 5
y2 4
1上的一点， F1 和 F2 是焦点，若 F1PF2
x2 y2 1 x 1 ．
8
x2 y2 1或 20 5
4．过点（2，-2）且与双曲线 x 2 y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是 y2 x2 1
2
24
5．若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是 2 15,0 ，则椭圆的标准方程是
x2 y2 1。 80 20
6．若方程 y 2 lg ax 2 1 a 表示两个焦点都在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是
2
动点 P 的轨迹为椭圆；
③方程 2x 2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
x2
④双曲线
y2
1与椭圆 x 2
y2
1有相同的焦点.
25 9
35
其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）
18．若椭圆
x2 m
y2 n
1(m n 0) 和双曲线 x 2 a
y2 b
1(a
22．如图，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C 地在 B 地的北 偏东 30°方向 2 km河处流，的没岸 PQ（曲线上）任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运货物.经测算，从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是a万元/km、2a 万元/km，求修建这两 条公路的总费用最低是多少？
所以 Smax 2 ．
24．点 A、B 分别是椭圆 x 2 y 2 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭 36 20
圆上，且位于 x 轴上方， PA PF 。
（1）求点 P 的坐标；
（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于| MB | ，求椭圆上的点
3
1 a1.
10
3
7．已知椭圆
x2
y2
1 的离心率 e
1 ，则 a 的值等于 4或-
5
．
a8 9
2
4
x2
8．椭圆
12
y2 3
1的焦点为 F1, F2 ，点 P
在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在
y
轴上，那么
73 | PF1 =1上,满足|PF1| =12，则|PF2| =2或22. 25 9
个动点，线段 AP 的垂直平分线与半径 CP 交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程。 解答：如图，设 Q 点的坐标是（x，y）。连接 QA。 ∵QM 垂直平分线段 AP, ∴|QP|=|QA|，
∴|QC|+|QA|=|CP|=10， ∴Q 点的轨迹是以 C、A 为焦点的椭圆，
x2
轨迹方程是
y2
1。
25 9
到点 M 的距离 d 的最小值。
[解]（1）由已知可得点 A(－6,0),F(4,0)
设点 P( x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x －4, y },由已知可得
x2
y2
1
36 20
(x 6)(x 4) y2 0
则 2 x2 +9 x －18=0, x = 3 或 x =－6. 2
件右准线的方程为 x＝1 和倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，且线段 PQ 的中点
4 坐标为 ( 1 , 1 ) ，列出方程组，解出 a，b；第（2）问可以先设出 M，N 点的坐标，将条件
24
3
“|OM| 、 |OA|、|ON|三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。
2
x2
解答：（1）设椭圆方程为
y42 )
3 4
⑦
由⑥⑦解得： x32
x4 2
1 2
， y32
y42
1 4
∵ x32
x42
1 2
(1
4
y3
2
)
1 2
(1
4
y
4
2
)
1 4
[1
4(
y3
2
y4 2 ) 16 y32 y4 2 ]
4y32 y42
∴ y32 y42 1 x32 x42 4
，即|KOP·KOQ|＝ |
y3 y4 x3 x4
26．直线 y ax 1与双曲线 3x 2 y 2 1交于 A、B 两点，
（1）当 a 为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？ （2）当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？
y
解：由
3x
2
ax 1
得：
y2 1
3
a2
x2 2ax 2 0
（※），
3 a 2 0
∴
由于 y >0,只能 x = 3 ,于是 y = 5
3
.
2
2
353
∴点 P 的坐标是( , )
22
(2) 直线 AP 的方程是 x － 3 y +6=0.
m6
设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是
.
2
于是 m 6 = m 6 ,又－6≤ m ≤6,解得 m =2. 2
椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有
此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做
23．已知 F1, F2 是椭圆 4x2 5 y2 20 0 的两个焦点，过原点作弦 AB ，求 F2 AB 面积的
最大值 。
解：方程化为
x2 5
y2 4
1． S
1 c 2
y1
y2
．
因为 y1 y2 的最大值就是当 A, B 分别在短轴端点时取到，所以 y1 y2 的最大值就是４．
(2a) 2
8(3
a2
)
，
0
得当 6 a 6 且 a 3 时，直线与双曲线交于两点，
设 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 )
（1）由 x1 x2
2 3 a2
0 ，得：
3a
3.
（2）以 AB 为直径的圆过原点 OA OB x1x2 y1 y2 0 ，
∴ x1x2 (ax1 1)(ax2 1) 0 ， ∴ (1 a 2 )x1x2 a(x1 x2 ) 1 0 ，
24
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 A 为椭圆 C 的右顶点， M、N 为椭圆 C 上两点，且|OM| 、
3
|OA|、|ON|三
2
者的平方成等差数列，则直线 OM 和 ON 斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定
值；若不是，请说明理由．
分析 第（1）可以利用待定系数法，首先设椭圆方程为 x 2 y 2 1 (a b 0) ，通过条 a2 b2
焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3，求椭圆和双曲线的方程．
x2
椭圆和双曲线的方程为：
y2
1， x2
y2
1或
y2
x2
1，
y2
x2
1
49 36
94
49 36
94
21．已知定圆 C 的方程是 (x 4)2 y 2 100 ，定点 A 的坐标是（4，0），P 为圆 C 上的一