2018-2019学年广西桂林十八中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)

2018-2019学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}
2．（5分）已知复数z＝，则复数z的模为（）
A．5B．C．D．
3．（5分）已知sinα＝，则cos（π+2α）＝（）
A．B．C．D．
4．（5分）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）
A．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B．支出最高值与支出最低值的比是6：1
C．第三季度平均收入为50万元
D．利润最高的月份是2月份
5．（5分）若a＝log32，b＝lg0.2，c＝20.2，则（）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
6．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
7．（5分）已知向量，，若，则实数λ＝（）A．1或﹣3B．﹣1C．﹣3D．﹣1或3
8．（5分）已知数列{a n}满足，且a2+a4+a6＝9，则
＝（）
A．﹣3B．3C．D．
9．（5分）如图所示程序框图，若输出的x为﹣1，则输入x0的值为（）
A．1B．C．﹣1D．2
10．（5分）已知点F是抛物线y＝2x2的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若
，则线段MN中点的纵坐标为（）
A．B．2C．D．3
11．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（）
A．B．2+C．2D．+1
12．（5分）已知函数f（x）＝lnx+a，g（x）＝ax+b+1，若∀x＞0，f（x）≤g（x），则的最小值是（）
A．1+e B．1﹣e C．e﹣1D．2e﹣1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．14．（5分）二项式（x﹣）8的展开式中，含x4项的系数为．
15．（5分）在四面体P﹣ABC中，若∠APB＝∠BPC＝∠APC＝，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，则该四面体的外接球的表面积为．
16．（5分）已知数列{a n}满足a2＝﹣，且3a n﹣a n﹣1＝n+1（n∈N*且n≥2），记数列{a n）的前n项和为S n，则S n的最小值为．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）必考题：共60分。

17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos B+b sin A＝c．（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求b+c的值．
18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．
20．（12分）已知点F1，F2为椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，焦距为2，且
离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过F2的直线l与圆交于A，B两点，且满足|F2A|＝λ|F2B|（1≤λ≤2），求△ABF1中AB边上中线长的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若，求证：f（x）≥2ax﹣xe ax﹣1．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）若射线θ＝与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB 的中点，求a的值．
[选修4-5：不等式讲]（本小遐满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）解不等式f（2x）+f（x+4）≥6；
（2）若a、b∈R，|a|＜1，|b|＜1，证明：f（ab）＞f（a﹣b+1）．
2018-2019学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：；
∴A∩B＝{1，2，3}．
故选：D．
2．【解答】解：∵z＝＝，
∴|z|＝||＝＝．
故选：B．
3．【解答】解：∵sinα＝，则cos（π+2α）＝﹣cos2α＝2sin2α﹣1＝﹣，故选：D．
4．【解答】解：A，2至月份的收入的变化率为＝20，11至12月份的变化率为＝20，故相同．A正确．
B，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1．
故B正确．
C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度
的平均收入为＝50万元，故C正确．
D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，故D错误．
故选：D．
5．【解答】解：∵0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，
b＝lg0.2＜lg1＝0，
c＝20.2＞20＝1，
∴b＜a＜c．
故选：B．
6．【解答】解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y＝sin2x，
增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，
减区间满足：≤2x≤，k∈Z，
∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，
减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，
∴将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：A．
7．【解答】解：向量，，若，可得|（3+λ，﹣1﹣2λ）|＝5，
即有（3+λ）2+（﹣1﹣2λ）2＝25，
解得λ＝1或﹣3，
故选：A．
8．【解答】解：数列{a n}满足，∴a n+1＝a n+2，即a n+1﹣a n＝2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．
∵a2+a4+a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3，
∴a1+3×2＝3，解得a1＝﹣3．
∴a5+a7+a9＝3a7＝3×（﹣3+6×2）＝27
＝＝﹣3．故选：A．
9．【解答】解：由题意知i＝0时x＝x0，
i＝1时x＝1﹣，
i＝2时x＝1﹣，
i＝3时x＝x0，
…
以此类推可知x2008＝1﹣＝﹣1，解得x0＝2．
故选：D．
10．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2＝，
∴抛物线的准线方程为：y＝﹣，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MF|+|NF|＝y1+y2+＝，∴y1+y2＝4，
∴线段MN中点的纵坐标为＝2．
故选：B．
11．【解答】解：由题意可得直线方程为y＝（x+c），当x＝0时，y＝c，
∴A（0，c），
∵F1（﹣c，0），
设B（x，y），
∴2×0＝x﹣c，2c＝y+0，
∴x＝c，y＝﹣2c，
∴B（c，﹣2c），
∴﹣＝1，
即＝﹣1+＝
∴b4＝12a2c2，
即（c2﹣a2）2＝12a2c2，
整理可得e4﹣14e2+1＝0，
即e2＝7+4＝（2+）2，
解得e＝2+
故选：B．
12．【解答】解：由题意，ax﹣lnx+b+1﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）＝ax﹣lnx+b+1﹣a，，
①当a≤0时，h′（x）≤0，函数h（x）单调递减，
且x→+∞时，h（x）→﹣∞，故不符合题意．
②当a＞0时，令h′（x）＝0，可得x＝，
可得，
⇒b≥a﹣lna﹣2．
⇒≥，（a＞0）．
令G（a）＝，（a＞0）．
⇒，（a＞0）．可得G（a）在（0，）递减，在（）递增．
∴
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．【解答】解：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线y＝﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z 最小，
由得A（，），
此时z＝2x+y＝，
故答案为：．
14．【解答】解：二项式（x﹣）8的展开式中的通项公式：T r+1＝C8r（﹣1）r x，
令8﹣＝4，解得r＝3，
则含x4项的系数为C83（﹣1）3＝﹣56，
故答案为：﹣56
15．【解答】解：∵∠APB＝∠BPC＝∠APC＝，则P A⊥PB，P A⊥PC，又∵PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，
∵，∴△PBC的外接圆直径为，
所以，四面体P﹣ABC的外接球的直径为，
因此，该四面体的外接球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝50π．
故答案为：50π．
16．【解答】解：数列{a n}满足a2＝﹣，且3a n﹣a n﹣1＝n+1（n∈N*且n≥2），∴3a2﹣a1＝2，解得a1＝3×﹣2＝﹣．
由3a n﹣a n﹣1＝n+1（n∈N*且n≥2），变形为：a n﹣＝．∴数列{a n﹣}是等比数列，首项为a1﹣＝﹣﹣＝﹣9，公比为．∴a n﹣＝﹣9×＝﹣33﹣n，
∴a n＝﹣33﹣n，
令a n≤0，可得：≤33﹣n，
可得：n≤2．
∴S n的最小值＝S2＝﹣﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）必考题：共60分。

17．【解答】解：（1）△ABC中，a cos B+b sin A＝c，
由正弦定理得：sin A cos B+sin B sin A＝sin C，
又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，
∴sin B sin A＝cos A sin B，
又sin B≠0，
∴sin A＝cos A，
又A∈（0，π），
∴tan A＝1，A＝；
（2）由S△ABC＝bc sin A＝bc＝，
解得bc＝2﹣；
又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
∴2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣（2+）bc，
∴（b+c）2＝2+（2+）bc＝2+（2+）（2﹣）＝4，
∴b+c＝2．
18．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k＝0，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
随机变量X的数学期望E（X）＝＝；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），
故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）＝．
所以事件A发生的概率：．
19．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，
因为PB＝PC，所以PO⊥BC．
因为PB＝PC，所以PO⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．
不妨设BC＝2．由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD得，
，
所以，
设平面P AD的法向量为＝（x，y，z）．
所以．
令x＝﹣1，则，所以＝（﹣1，2，）．
取平面BCP的一个法向量，
所以cos＜，＞＝，
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．
20．【解答】解：（Ⅰ）由2c＝2，椭圆的离心率为＝．可得a＝，c＝1，b＝
，即椭圆的方程：，
（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．
②设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得（2m2+3）y2+4my﹣4＝0，
则，
△ABF1中AB边上的中线长为||＝
＝＝
＝．
令t＝2m2+3，则2m2＝t﹣3．
∴||＝＝．
∵|F2A|＝λ|F2B|（1≤λ≤2），∴，
＝．
∵1≤λ≤2，∴，
∴3≤t≤4，，∴||．
∴△ABF1中AB边上中线长的取值范围为：[]．
21．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝ax﹣lnx，f′（x）＝a﹣，x＞0，a∈R，若a≤0，则f′（x）＜0对x＞0恒成立，
所以，此时f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
若a＞0，则f′（x）＝＞0时，x＞，
∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：令g（x）＝f（x）﹣2ax+xe ax﹣1＝xe ax﹣1﹣ax﹣lnx，
则g′（x）＝e ax﹣1+axe ax﹣1﹣a﹣＝（ax+1）（e ax﹣1﹣），
由于e ax﹣1﹣＝，设r（x）＝xe ax﹣1﹣1，r′（x）＝（1+ax）e ax﹣1，由r′（x）＞0⇒1+ax＞0⇒x＜﹣，所以r（x）在（0，﹣）上单调递增；
由r′（x）＜0⇒1+ax＜0⇒x＞﹣，所以r（x）在（﹣，+∞）上单调递减．
∴r（x）max＝r（﹣）＝﹣（+1）≤0（因为a≤﹣），从而e ax﹣1﹣≤0，则g（x）在（0，﹣）上单调递减；在（﹣，+∞）上单调递增，
∴g（x）min＝g（﹣），
设t＝﹣∈（0，e2]，g（﹣）＝h（t）＝﹣lnt+1（0＜t≤e2），
h′（t）＝﹣≤0，h（x）在（0，e2]上递减，∴h（t）≥h（e2）＝0；
∴g（x）≥0，故f（x）≥2ax﹣xe ax﹣1．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣＝0，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入以上方程中，
得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣＝0．
∵圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，
∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14＝0．
（2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．
联立，得，∴ρ2+ρ3＝3+3．
∵点M恰好为AB的中点，
∴，即M（，）．
把M（，）代入，
得×﹣＝0，
解得a＝．
[选修4-5：不等式讲]（本小遐满分0分）
23．【解答】解：（1）由f（2x）+f（x+4）≥6得：|2x﹣1|+|x+3|≥6，
当x＜﹣3时，﹣2x+1﹣x﹣3≥6，解得x＜﹣3；
当时，﹣2x+1+x+3≥6，解得﹣3≤x≤﹣2；
当时，2x﹣1+x+3≥6，解得；
综上，不等式的解集为．
（2）证明：f（ab）＞f（a﹣b+1）⇔|ab﹣1＞|a﹣b|，
因为|a|＜1，|b|＜1，即a2＜1，b2＜1，
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝a2b2﹣2ab+1﹣a2+2ab﹣b2＝a2b2﹣a2﹣b2+1＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
所以|ab﹣1|2＞|a﹣b|2，即|ab﹣1|＞|a﹣b|，所以原不等式成立．。