二次曲线的定义
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a13 a23 a33 x3
(2).
S x1
p
x1
S x2
p
x2
Sห้องสมุดไป่ตู้x3
p
x3
0.
请自行证明这 三种写法确实 都与Sp=0等价.
(3).
S x1
p1
S x2
p2
S x3
p3
0.
(3)式与解析几何中 的切线方程一致
二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
设 : T bijuiuj 0 (bij bji ) | bij | 0
PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
aij ( pi qi )( pj qj ) 0,
即
aij ( pi pj piqj qi pj 2qiqj ) 0
二次曲线的射影定义
整理得
2 aijqiqj ( aij piqj aijqi pj ) aij pi pj 0
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
C(B, A, B, A) C(B, A, B, A).
又
C(B, A, B, A) AB(B, E, D, A) C(B, A, B, A) AB(D, A, B, E).
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 为退化二阶曲线，否则称为非 退化二阶曲线。
定义2′ 如果 T 可以分解为 两个一次因式的乘积，则称 T = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
S
2 p
S pp S
(5)
(5) 式为一个二次方程，故经过平面上一点 P 一般有两条切线。 如果 P 在 Γ 上，则 Spp = 0，从而，二阶曲线上一点 P 处的切线 方程为
Sp 0
(6)
二次曲线的射影定义
注：Sp = 0 常用的等价写法
a11 a12 a13 x1 (1). ( p1, p2 , p3 ) a12 a22 a23 x2 0.
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
但是 S OAOB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
OP(K ) OP(K ).
二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。
推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。
推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点 的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束。
二次曲线的射影定义
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A(M ) B(M ).
设
AM OP BM OP
K K
则有 A(M ) OP(K )
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。
推论3′ 二级曲线上四条定 直线被其上任意一条直线所截 得四点的交比为定值。
注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
二次曲线的射影定义
三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论，我们有
二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义
定义1 坐标满足
3
S aij xi x j 0 (aij a ji ) (1) i, j1
的所有点 (x1, x2, x3) 的集合称 为一条二阶曲线. 其中 (aij) 为 三阶实对称阵, 秩 (aij)≧1。
定义1' 坐标满足
3
T bijuiu j 0 (bij bji ) (1') i, j1
内
共轭的虚切线
二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
问题：已知二阶曲线
3
:
S aij xi x j 0 (aij a ji )
(1)
i, j1
求过定点 P(p1, p2, p3) 的 Γ 的切线方程。
设 Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线 PQ 上任一点可表为
xi = pi + λqi 。
解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
aAA dBB bAB cAB 0
(2)
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
从而Q(q1,q2,q3) 在过 P(p1, p2, p3) 的切线上 (3) 对 λ 有二重根
S
2 pq
SqqS pp
(4)
(4) 式即为 Q(q1,q2,q3)是 Γ 过 P(p1, p2, p3) 的切线上的点的充要条 件。习惯地，将其中的流动坐标 qi 换为 xi ，得到二阶曲线过点 P(p1, p2, p3) 的切线方程为
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
B(M ) OP(K )
所以只要证 OP(K ) OP(K ).
设 OA BM A,OB AM B.
O(P) O(P), O(A, B, P, M ) O(A, B, P, M ).
分别以AM, BM截得
AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
注意到 M M , AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
定理1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条 经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
注：若已知两个射影线束 A + λB ↔ A′ + λB′ 的对应式
a b c d 0
则由此构成的二阶曲线方程为
(ad bc 0)
: aAA dBB bAB cAB 0
(4.2)
定理2 设二阶曲线 Γ 由射影线束 O(P) 与 O′(P) 生成，则在 Γ 上任意取定相异二点 A和B，与 Γ 上的动点 M 连线可得两个射 影线束 A(M ) B(M ).
x1x3 x2 x3 x32 0,
即
x3 x1
0 x2
x3
0
这是一条退化的二阶曲线。
二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外
相异的实切线
一般地,点P在上 过P有的两条重合的实切线
(1)
1.切点的定义
一般地，过平面上一点有 Γ′ 的两条直线。若过平面上某 点 P 有且仅有 Γ′ 的一条直线，则称 P 为 Γ′ 的一个切点。
2. 切点方程
一般 ( Γ′ 在l上的切点)：Tl2 TllT
(5' )
特殊 ( l 属于 Γ′ )：
Tl 0
(6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。
二次曲线的射影定义
例3 求证：x1x3 – x22 = 0 与 4u1u3 – u22 = 0 表示同一条二次曲 线.
证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展开即得 4u1u3 – u22 = 0.
(2)
为简便计，我们引入记号
Spp aij pi pj
Sqq aijqiq j
Spq aij piqj
Sqp aij qi pj
Sp aij pi xj
Sq aijqi xj
aij a ji , Spq Sqp.
代入(2)式得
Sqq2 2Spq Spp 0
(3)
二次曲线的射影定义
定理3′ (Maclaurin) 一条非
退化二阶曲线的全体切线构成 退化二级曲线的全体切点构成
一条非退化二级曲线。
一条非退化二阶曲线。
设 : S aij xi xj 0.
由本定理，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
x3
)
a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或 S XAX 0. (A A, 秩(A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
(2).
S x1
p
x1
S x2
p
x2
Sห้องสมุดไป่ตู้x3
p
x3
0.
请自行证明这 三种写法确实 都与Sp=0等价.
(3).
S x1
p1
S x2
p2
S x3
p3
0.
(3)式与解析几何中 的切线方程一致
二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
设 : T bijuiuj 0 (bij bji ) | bij | 0
PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
aij ( pi qi )( pj qj ) 0,
即
aij ( pi pj piqj qi pj 2qiqj ) 0
二次曲线的射影定义
整理得
2 aijqiqj ( aij piqj aijqi pj ) aij pi pj 0
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
C(B, A, B, A) C(B, A, B, A).
又
C(B, A, B, A) AB(B, E, D, A) C(B, A, B, A) AB(D, A, B, E).
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 为退化二阶曲线，否则称为非 退化二阶曲线。
定义2′ 如果 T 可以分解为 两个一次因式的乘积，则称 T = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
S
2 p
S pp S
(5)
(5) 式为一个二次方程，故经过平面上一点 P 一般有两条切线。 如果 P 在 Γ 上，则 Spp = 0，从而，二阶曲线上一点 P 处的切线 方程为
Sp 0
(6)
二次曲线的射影定义
注：Sp = 0 常用的等价写法
a11 a12 a13 x1 (1). ( p1, p2 , p3 ) a12 a22 a23 x2 0.
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
但是 S OAOB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
OP(K ) OP(K ).
二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。
推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。
推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点 的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束。
二次曲线的射影定义
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A(M ) B(M ).
设
AM OP BM OP
K K
则有 A(M ) OP(K )
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。
推论3′ 二级曲线上四条定 直线被其上任意一条直线所截 得四点的交比为定值。
注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
二次曲线的射影定义
三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论，我们有
二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义
定义1 坐标满足
3
S aij xi x j 0 (aij a ji ) (1) i, j1
的所有点 (x1, x2, x3) 的集合称 为一条二阶曲线. 其中 (aij) 为 三阶实对称阵, 秩 (aij)≧1。
定义1' 坐标满足
3
T bijuiu j 0 (bij bji ) (1') i, j1
内
共轭的虚切线
二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
问题：已知二阶曲线
3
:
S aij xi x j 0 (aij a ji )
(1)
i, j1
求过定点 P(p1, p2, p3) 的 Γ 的切线方程。
设 Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线 PQ 上任一点可表为
xi = pi + λqi 。
解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
aAA dBB bAB cAB 0
(2)
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
从而Q(q1,q2,q3) 在过 P(p1, p2, p3) 的切线上 (3) 对 λ 有二重根
S
2 pq
SqqS pp
(4)
(4) 式即为 Q(q1,q2,q3)是 Γ 过 P(p1, p2, p3) 的切线上的点的充要条 件。习惯地，将其中的流动坐标 qi 换为 xi ，得到二阶曲线过点 P(p1, p2, p3) 的切线方程为
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
B(M ) OP(K )
所以只要证 OP(K ) OP(K ).
设 OA BM A,OB AM B.
O(P) O(P), O(A, B, P, M ) O(A, B, P, M ).
分别以AM, BM截得
AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
注意到 M M , AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
定理1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条 经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
注：若已知两个射影线束 A + λB ↔ A′ + λB′ 的对应式
a b c d 0
则由此构成的二阶曲线方程为
(ad bc 0)
: aAA dBB bAB cAB 0
(4.2)
定理2 设二阶曲线 Γ 由射影线束 O(P) 与 O′(P) 生成，则在 Γ 上任意取定相异二点 A和B，与 Γ 上的动点 M 连线可得两个射 影线束 A(M ) B(M ).
x1x3 x2 x3 x32 0,
即
x3 x1
0 x2
x3
0
这是一条退化的二阶曲线。
二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外
相异的实切线
一般地,点P在上 过P有的两条重合的实切线
(1)
1.切点的定义
一般地，过平面上一点有 Γ′ 的两条直线。若过平面上某 点 P 有且仅有 Γ′ 的一条直线，则称 P 为 Γ′ 的一个切点。
2. 切点方程
一般 ( Γ′ 在l上的切点)：Tl2 TllT
(5' )
特殊 ( l 属于 Γ′ )：
Tl 0
(6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。
二次曲线的射影定义
例3 求证：x1x3 – x22 = 0 与 4u1u3 – u22 = 0 表示同一条二次曲 线.
证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展开即得 4u1u3 – u22 = 0.
(2)
为简便计，我们引入记号
Spp aij pi pj
Sqq aijqiq j
Spq aij piqj
Sqp aij qi pj
Sp aij pi xj
Sq aijqi xj
aij a ji , Spq Sqp.
代入(2)式得
Sqq2 2Spq Spp 0
(3)
二次曲线的射影定义
定理3′ (Maclaurin) 一条非
退化二阶曲线的全体切线构成 退化二级曲线的全体切点构成
一条非退化二级曲线。
一条非退化二阶曲线。
设 : S aij xi xj 0.
由本定理，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
x3
)
a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或 S XAX 0. (A A, 秩(A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构