2022年秋成才之路高中数学练习章末整合提升(北师大版必修一)：第1、2章测试题

第一、二章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·北京理，1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝ 导学号18160480 ( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1} D ．{－1,0,1,2}
[答案] C
[解析] 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{x |－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是导学号18160481( ) A ．2.5∈M B ．0⊆M
C ．∅∈M
D ．集合M 是有限集 [答案] A
[解析] 由于－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M . 3．函数y ＝
2
x －1
的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是导学号18160482 ( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤
12，2
B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) [答案] A
[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5) ∴x －1∈(－∞，0)∪[1,4) 当x －1∈(－∞，0)时，
2x －1
∈(－∞，0)；
当x －1∈[1,4)时，
2
x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.
4．已知函数f (x )＝1＋x 2
1－x 2，则导学号18160483 ( )
A ．f (x )是奇函数且f (1
x )＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数且f (1
x )＝f (x ) C ．f (x )是偶函数且f (1
x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1
x )＝f (x ) [答案] C
[解析] f (－x )＝1＋(－x )2
1－(－x )2＝1＋x 2
1－x 2
＝f (x )， 又f (1
x )＝
1＋(1x )21－(1x )
2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C. 5．抛物线y ＝2x 2－x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是导学号18160484 ( ) A ．x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，78
B ．x ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，78
C ．x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，74
D ．x ＝14，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，74
[答案] B
[解析] ∵y ＝2x 2－x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋7
8，
∴对称轴为x ＝14，顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，78.
6．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∪N ＝M 成立的a 的值是 导学号18160485 ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．1或－1
[答案] A
[解析]由M∪N＝M知N⊆M.
∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.
而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1.
7．生产肯定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企
业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋1
2x
2(万元)，若售出一件商品收入是
20万元，那么该企业为猎取最大利润，应生产这种商品的数量为导学号18160486 ()
A．18件B．36件
C．22件D．9件
[答案] A
[解析]y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－1 2x
2
＝－1
2x
2＋18x－20.
∴x＝18时，y有最大值．
8．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)＝导学号18160487 ()
A．3 B．3x
C．6x＋3 D．6x＋1
[答案] B
[解析]由f[g(x)]＝f(2x＋1)＝6x＋3＝3(2x＋1)，知f(x)＝3x.
9．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝导学号18160488 () A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析]本题考查集合的运算，由条件易知∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．
10．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试推断M与P的关系是导学号18160489 ()
A．M P B．P M
C．M＝P D．M⃘P，且P⃘M
[答案] A
[解析]由题设可知M、P都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.
∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P.
这说明集合M中的任何一个元素1＋a2(a∈N＋)都是集合P的元素，∴M⊆P.
又1∈P，此时a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＝1，即a＝2.
而1∉M，由于此时1＋a2＝1在a∈N＋时无解．
∴综合知M P.
11．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是导学号18160490 ()
A．(
3
2，2] B．(
3
2，＋∞)
C．[1，
3
2) D．(－∞，
3
2)
[答案] D
[解析]∵f(x)在[0，＋∞)单调递减且f(x)为奇函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)<f(a－1)，
∴2－a>a－1，∴a<
3
2，故选D.
12．假如奇函数y＝f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)上，满足f(x)＝x－1，那么使f(x－1)<0成立的x的取值范围是导学号18160491 ()
A．x<0 B．1<x<2
C．x<2且x≠0 D．x<0或1<x<2
[答案] D
[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)
，
∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎨⎧
x －1<0x <0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或2≤x <3}，B ＝{x |－2≤x <4}，则(∁U A )∪B ＝__________.导学号18160492
[答案] {x |x ≥－2} [解析]
由数轴得，∁U A ＝{x |－1≤x <2或x ≥3}，
再由数轴得，(∁U A )∪B ＝{x |x ≥－2}． 14．若⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎩⎨
⎧
x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________.导学号18160493 [答案] －1
2
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2
y ＝－1，
由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－1
2.
15．函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数g (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0<a <12的定义域为________．导
学号18160494
[答案] [a,1－a ]
[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ＋a ≤1
0≤x －a ≤1
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≤x ≤1－a ，
a ≤x ≤1＋a . ∵0<a <1
2，得a ≤x ≤1－a . ∴g (x )的定义域为x ∈[a,1－a ]．
16．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：导学号18160495
①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；
②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像；
④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )肯定是单函数． 其中的真命题是________．(写出全部真命题的编号) [答案] ②③
[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，
不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件冲突，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不肯定单调，因而f (x )不肯定是单函数，故④不正确．故答案为②③.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．导学号18160496 (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，
∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2
a ＋1≤9
，解得2≤a ≤8， ∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．
18．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－4x ＋3.导学号18160497
(1)求f (f (－1))的值； (2)求函数f (x )的解析式．
[解析] (1)由于f (－1)＝－f (1)＝0， 故f (f (－1))＝f (0)，
由奇函数的性质知f (0)＝0， 从而有f (f (－1))＝0.
(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0；
当x <0时，－x >0，
故f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )＋3]＝－x 2－4x －3.
综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－4x ＋3，x >0，
0，x ＝0，
－x 2－4x －3，x <0.
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .
导学号18160498
(1)画出偶函数f (x )的图像；
(2)依据图像，写出f (x )的单调区间；同时写出函数的值域． [解析] (1)f (x )的图像如图所示．
(2)由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． f (x )的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)，值域为{y |y ≥－1}．
20．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.导学号18160499 (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，
则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .
从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1 又f (0)＝
c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，
令g (x )＝x 2
－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2
－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 21．(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )
①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；
(2)对任意的x ∈R ，都有f (1
x )＝－f (x )； (3)推断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有 f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0. (2)对任意x >0，用1
x 代替y ，有 f (x )＋f (1x )＝f (x ·
1
x )＝f (1)＝0， ∴f (1
x )＝－f (x )．
(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数． 取x 1<x 2<0，则x 1x 2
>1，∴f (x 1
x 2
)>0，
∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2
)＝f (x 1
x 2
)>0，
∴f (x 1)>f (x 2)，
∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋1
2)2
.
(1)求f (1)；
(2)求a ，b ，c 的值；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0，① 令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋1
2)2＝1， ∴f (1)＝1.
(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝1
2，
由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0， 即ax 2－1
2x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是
⎩⎨⎧
a >0
Δ≤0
即⎩⎨⎧
a >0，14－4ac ≤0.
∵c ＝1
2－a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0(2a －12)2≤0⇒a ＝1
4，
∴a＝c＝1
4，b＝
1
2.
(3)由(2)得：g(x)＝f(x)－mx＝1
4x
2＋
1
2x＋
1
4－mx＝
1
4[x
2＋(2－4m)x＋1]
∵x∈[－1,1]时，g(x)是单调的，
∴|－2－4m
2|≥1，解得m≤0或m≥1.
∴m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。