高考数学浙江专版三维二轮专题复习 压轴大题抢分专练(四)

压轴大题抢分专练（四）
1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)右焦点F (1,0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，自A ，B 向直
线x ＝5作垂线，垂足分别为A 1，B 1，且
|AA 1|
|AF |
＝ 5. (1)求椭圆C 的方程；
(2)记△AFA 1，△FA 1B 1，△BFB 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，证明：S 1·S 3
S 22
是定值，并求出该定值．
解：(1)设A (x ，y )，则|AA 1|＝|5－x |，|AF |＝
x －
2
＋y 2
，由|AA 1||AF |＝5，得x 25＋y
2
4
＝1，
而A 是椭圆C 上的任一点，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 2
4
＝1.
(2)证明：由题意知，直线AB 的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，x 25＋y
2
4
＝1，得(4m 2＋5)y 2
＋8my －16＝0，
∴y 1＋y 2＝－8m 4m ＋5，y 1y 2＝－16
4m ＋5.①
由题意，S 1＝12|AA 1||y 1|＝1
2
|5－x 1||y 1|，
S 3＝12
|BB 1||y 2|＝1
2
|5－x 2||y 2|， S 2＝1
2
|A 1B 1|·4＝2|y 1－y 2|，
∴S 1S 3S 22
＝1
16·－x 1
－x 2－y 1y 2
y 1－y 2
2
＝
116
·－my 1
－my 2－y 1y 2
y 1－y 2
2
＝－116·y 1y 2[16－4m y 1＋y 2＋m 2
y 1y 2]y 1＋y 22－4y 1y 2，
将①代入，化简并计算可得S 1S 3S 22
＝1
4， ∴
S 1·S 3S 2
2是定值，且该定值为1
4
.
2．设a n ＝x n ，b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n 2，S n 为数列{a n ·b n }的前n 项和，令f n (x )＝S n －1，x ∈R ，n ∈N *
.
(1)若x ＝2，求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
2n －1a n 的前n 项和T n ； (2)求证：对任意n ∈N *
，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1上有且仅有一个根；
(3)求证：对任意p ∈N *
，由(2)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n
.
解：(1)∵x ＝2，∴a n ＝2n
，令c n ＝
2n －1
2
n ， T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1
2＋322＋…＋
2n －1
2
n ， ① 12T n ＝122＋323＋…＋2n －1
2
n ＋1， ② ①－②得12T n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
23＋…＋12n －2n －12n ＋1
＝1
2＋2×122⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32
n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋3
2
n .
(2)证明：对任意n ∈N *
，当x >0时，由函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 3
32＋…＋x n n
2(x ∈R ，n ∈N *
)，
可得f ′(x )＝1＋x 2＋x 2
3＋…＋x n －1
n
>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
令f n (x n )＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1
n
2>0，即f n (1)>0.
又f n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝－1＋23＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2322
2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23332＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23442＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n n 2≤－13＋14·∑i ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23i ＝－13＋14
×
⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－
23
＝－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
<0，
根据函数的零点判定定理，可得存在唯一的x n ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1，满足f n (x n )＝0. 当n ＝1时，显然存在唯一的x 1＝1满足f 1(x 1)＝0.
综上所述，对任意n ∈N *
，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1上有且仅有一个根．
(3)证明：当x >0时，∵f n ＋1(x )＝f n (x )＋
x n ＋1
n ＋
2
>f n (x )，∴f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝
0.
由f n ＋1(x )在(0，＋∞)上单调递增， 可得x n ＋1<x n ，即x n －x n ＋1>0， 故数列{x n }为递减数列，
即对任意的n ，p ∈N *
，x n －x n ＋p >0.
由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋x 3n
32＋…＋x n n
n
2＝0，①
f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 2＋x 3n ＋p
3＋…＋x n
n ＋p n ＋⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤x n ＋1n ＋p n ＋
2＋
x n ＋2
n ＋p
n ＋
2＋…＋
x n ＋p n ＋p
n ＋p
2
＝0，②
用①减去②并移项，利用0<x n ＋p ≤1，可得
x n －x n ＋p ＝∑k ＝2n
x k n ＋p －x k n k 2
＋∑k ＝n ＋1
n ＋p
x k n ＋p
k 2 ≤
∑k ＝n ＋1
n ＋p x k
n ＋p
k 2
<
∑k ＝n ＋1n ＋p 1
k 2<∑k ＝n ＋1
n ＋p
1
k k
－
＝1n －1n ＋p <1
n
. 综上可得，对于任意p ∈N *
，由(2)中x n 构成的数列{x n } 满足0<x n －x n ＋p <1
n
.。