苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系教案(1)

1.2.1平面的基本性质及推论（一）
教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程：
（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在
这个平面内
1、直线与平面的位置关系
2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,
点A 在平面α内,记作α∈A ,
直线a 在平面α内,记作α⊂a
（二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些
公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.
（三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题：
(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?
(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?
(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?
(五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结：
本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.
2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共
线”问题.
3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.
课后作业：略
1.2.1平面的基本性质及推论（二）
教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：
（一） 推论1：直线及其外一点确定一个平面 （二） 推论2：两相交直线确定一个平面 （三） 推论3：两平行直线确定一个平面
（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内． 求证：AB 和CD 既不平行也不相交．
证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，
α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ， α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB
和CD 既不平行也不相交．
卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；
2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．
求证：c b a 、、交于一点或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ． 因为，β⊂a ，故β∈A ，
同理，γ∈A ，
故c A ∈．
所以c b a 、、交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证.
例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．
求证：R Q P 、、三点共线．
证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平
面β的公共点，
所以R Q P 、、三点共线．
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２． 例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L
分别是
、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.
求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ，
因为 L E 、是CB CD 、的中点， 所以 BD EL //．
又 矩形11B BDD 中BD KF //， 所以 EL KF //，
所以 EL KF 、可确定平面α， 所以 L K F E 、、、共 面α，
同理 KL EH //，
故 L K H E 、、、共面β．
又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，
A B C P
Q
R
α
C
A A B
B C D D E
F
G
H K
L
1
1
11
故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．
同理可证α∈G ，
所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合． 课堂练习：
1.判断下列命题是否正确
(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( ) (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件． 3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为 部分． 5.空间五个点最多可确定 个平面．
6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .
7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：
本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用 课后作业：略
1.2.2空间中的平行关系（1）
教学目标：1、理解公理4
2、掌握等角定理及其应用 教学重点：1、理解公理4 2、掌握等角定理 教学过程：
（五） 复习平面几何中有关平行线的传递性的结论
（六） 公理4：平行于同一直线的两条直线平行（应指出：此“公理”并不是真正
的公理，可以证明，但不一定给学生证明）
（七） 异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线
（八） 异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直
线是异面直线（注：第（三）、（四）两条课标均未设计，但应重视）
（九） 等角定理：见教材
（十） 空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。

得到两条相交直线，这
两条相交直线成的直角或锐角叫做两直线成的角.
（十一） 例子与练习
(1)在立方体1111D C B A ABCD -中过点1A 能作 条直线，与直线AC 、1BC 都成︒
50
角.
(2)空间三条直线c b a 、、，下面给出三个命题：①b a ⊥，c b ⊥则c a //；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 是异面直线；③若a 、b 共面，b 、c 共面，则a 、c 共面；上述命题正确的个数是 .
(3)过空间一点能否作直线与两给定异面直线都相交？过一点能否作一平面与两给定的异面直线都相交？
(4)空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点;求证：①MN 与BC 异面；②MN BD AC 2>+. (5)下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②平行于同一直线的两条直线平行. 其中正确的是 .
(6)已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 课堂练习：(略)
小结：本节课学习了公理4和等角定理，了解异面直线的概念和直线成角的概念 课后作业：略
1.2.2空间中的平行关系（2）
教学目标：1、直线与平面平行的概念
2、直线与平面平行的判定与性质 教学重点：直线与平面平行的判定与性质 教学过程：
（一） 复习公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点
都在这个平面内
（二） 按直线与平面的公共点的个数给直线与平面的位置关系分类：1、直线与平面
有且只有一个公共点——相交；2、直线与平面无公共点——平行； 3、直线与平面有无数个公共点——直线在平面内.
（三） 直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
那么平面外的直线与这个平面平行.——线线平行，线面平行.
(此定理的证明方法是反证法应讲明证明方法步骤：反设、归谬、结论)
（四） 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线
的平面和这个平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线平行.——线面平行，线线平行.
（五） 例子与练习
例1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线都不相交
D.无数条直线都不相交
解析：直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C 例2、“平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“α//l ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
解析：如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B
例3、已知：正方形ABCD 与正方形ABEF 不共面，AN =DM . 求证： MN //平面BCE .
证法一：
如图，连结AM 并延长交BC 于G ， 则
NE AN =MB DM =MG
AM
，所以EG MN //. 又MN ⊄平面BCE , EG ⊂平面BCE . 故MN //平面BCE .
证法二：如图，过N 作直线NH //EB 交直线AB 于H 连结MH . 因为
HA BH =NA EN =MD
BM
, 所以 HM //AD //BC, 于是 平面MHN //平面CBE. MN ⊂平面MHN, 所以 MN //平面BCE .
卡片:判断直线与平面平行常用的方法有: (1)根据直线与平面平行的定义;
(2)根据直线与平面平行的判定定理;
(3)若两平面平行,那么其中一个平面内的任意直线平行与另一平面.(此条可讲完下节后补充)
课堂练习：教材第47页 练习A1.2.3、B
小结：本节课学习了直线与平面平行的概念,直线与平面平行的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A ：7、9.
1.2. 2空间中的平行关系（3）
教学目标：1、平面与平面平行的概念
2、平面与平面平行的判定与性质 教学重点：平面与平面平行的判定与性质 教学过程：
（一） 直线与平面无公共点——平行 （二） 平面与平面无公共点——平行
（三） 平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线与另一平面平行，
那么这两个平面平行.——线面平行，面面平行.
(此定理的证明方法是反证法应进一步巩固证明方法步骤：反设、归谬、结论) 推论：一个平面内有两条相交直线与另一平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行.——线线平行，面面平行
（低一级的位置关系判定高一级的位置关系）
（四） 直线与平面平行的性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么
它们的交线平行.——面面平行，线线平行.
（五） 例子与练习
1、已知：在正方体1111D C B A ABCD -中；求证：平面BD A 1//平面C D B 11.
A
B C
D
E
F
M
N
G
A B
C D
E
F
M
N H
解析：因为11//CD B A 11//C B BD
所以平面BD A 1//平面C D B 11
卡片：判断两平面平行的方法主要有： （1）两平面平行的定义；
（2）如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行；
（3）如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两相交直线，则两平面平行；
2. 平面α//平面β，A 、B α∈，B 、D β∈,点E 、F 分别在线段AB 、CD 上，且FD
CF
EB AE =
.求证：EF //β
3. 若不共线三点到平面α的距离相等且不为0，则该三点确定的平面β与平面α的关系为（ ）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.重合 4. 求证：平行于同一平面的两个平面平行.
课堂练习：教材第50页 练习A 、B
小结：本节课学习了平面与平面平行的概念, 平面与平面平行的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A ：8.B:5、7.
1.2.3空间中的垂直关系（1）
教学目标：1、直线与平面垂直的概念
2、直线与平面垂直的判定与性质 教学重点：直线与平面垂直的判定与性质 教学过程：
（一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直
（二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直
（三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、
直线的垂面
（四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么
这条直线与这个平面垂直
（五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这
个平面
（六） 直线与平面垂直的性质：
（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线 （2）垂直于同一平面的两条直线平行
（七） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个
（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个
（八） 例子与练习
例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥
CD
证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ， 因为ΔACD 为等腰三角形,
所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,
所以CD ⊥AB .
例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB
证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,
即VC ⊥MD .
又VN ⊥AB ,CD ⊥AB
所以AB ⊥平面VCN
所以VC ⊥AB ，
所以VC ⊥平面AMB .
例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .
(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线. (2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线. 证明：（1）连OE 、OF ， 因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， 由三垂线定理的逆定理知： OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，
由已知：PE ＝PF ，故ΔPEO ≌ΔPFO ，所以EO ＝FO 所以AO 是∠BAC 的平分线. （2）过P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC ,
垂足为E 、F ，
因为∠PAB =∠PAC ，所以易知ΔPEA ≌ΔPFA ，
则PE ＝PF.
（以下同（1））
课堂练习：教材第55页 练习A 、B
小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A ：13、14、15
1.2.3空间中的垂直关系（2）
教学目标：1、平面与平面垂直的概念
2、平面与平面垂直的判定与性质 教学重点：平面与平面垂直的判定与性质 教学过程：
（一） 两平面垂直的概念
（二） 平面与平面垂直的判定：如果一平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互
A
B C
D E
A
B C D
V N
M A
B C
E F O P
相垂直
（三） 平面与平面垂直的性质：
（1）平面与平面垂直，则在第一个平面内垂直与交线的直线垂直于第二个平面 （2）平面与平面垂直，过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在第一个平面内且垂直与交线
（四） 例子与练习
例1求证：若两相交平面垂直于同一平面，那么，其交线也垂直于这个平面. 已知：平面α、β、γ，γα⊥，γβ⊥且a =⋂βα 求证：γ⊥a 证明：方法一：
设b =⋂γα，c =⋂γβ 在γ内作b MP ⊥，c MQ ⊥
由平面与平面垂直的性质可得：α⊥MP 因为 α⊂a 所以 a MP ⊥ 同理 a MQ ⊥ 故 γ⊥a 方法二：
设b =⋂γα，c =⋂γβ
在α内作直线k b ⊥，在β内作直线c l ⊥ 由平面与平面垂直的性质得：γ⊥k ，γ⊥l 故 k l //
又因为 β⊂l ,β⊄k 得β//k
因为 a =⋂βα，α⊂k 故 a k // 所以 γ⊥a
例2如图，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD //CE 且CE =CA =2BD ,M 是EA 的中点. 求证:（1）DE =DA
（2）平面BDM ⊥平面ECA
证明：（1）如图设N 为AC 的中点，连结BN 、MN
.
B
M D
C E N
因为 △ABC 为正三角形， 所以 AC BN ⊥
又因为 EC MN //，EC BD //
所以BD MN //且BD CE MN ==
2
1
故 四边形MNBD 是平行四边形，DM BN // 由于 AC BN ⊥，EC BN ⊥ 所以 ⊥BN 平面AEC 所以 ⊥MD 平面AEC 所以 AE MD ⊥ 故 DE =DA
（2）由（1）知⊥MD 平面AEC ，⊂MD 平面BDM
所以 平面BDM ⊥平面ECA 课堂练习：教材第59页 练习A 、B
小结：本节课学习了平面与平面垂直的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A ：16。