高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题（含答案）
一、单选题
1．已知空间向量()3,4,5AB =-，则AB =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．52
2．设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =- B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =- C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-
D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =
3．已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16
B ．23
C ．
2121
D ．
421
21
4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，1
2
CM BM =
，N 是PD 的中点，向量MN AB x AD y AP =-++，则（ ）
A ．13x =，1
2
y =-
B ．16
x =-，1
2y =
C ．1
3
x
，12y =
D ．16
x =
，1
2y =-
5．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A ．
485
85
B ．485
85
-
C ．0
D ．1
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题
①直线EF 与直线AC 平行；
②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是
3
π．
其中，真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．在以下命题中：
①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；
②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，
C 四点共面
④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底
⑤若{}
,,a b c 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．已知向量(4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，则下列结论正确的是（ ） A ．(10,5,2)a b +=- B ．(2,1,6)a b -=-
C ．(24,6,8)a b ⋅=-
D ．||6a =
10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点．有下列结论：
①三棱锥11A MND -在平面11D DCC 上的正投影图为等腰三角形； ②直线//MN 平面11A DC ；
③在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB ；
④若F 为棱AB 的中点，且三棱锥M NFB -的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为6π． 其中正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2
cos 3
BOC ∠=
，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是( )
A 235
B 665
C 13
D 312．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，
90BAD ∠=︒，1
12
PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大
小为30，则ADQ △面积的取值范围是（ ）
A ．2150,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
B ．250,5⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．2100,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
D ．3100,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
二、填空题
13．已知a =(3，2，－1)，b = (2，1，2)，则()()
2a b a b -⋅+=___________． 14．若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C - ，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.
15．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，3AB =，点N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.
16．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11
11AC B D F =，若
1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.
三、解答题
17．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，3BC =3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.
沿着DE 将ADE 折起，得到几何体A BCDE -，如图2
(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；
(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.
18．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2a ，
M 是棱1DD 的中点.求证：1DB ∥平面11A MC .
19．四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90PDA BAD ∠=∠=︒，1
2
PD DA AB CD ===，S 为PC
中点，BS CD ⊥．
（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；
（2）平面SAD 交PB 于Q ，求CQ 与平面PCD 所成角的正弦值．
20．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥4EF AD =，，
3,2BC AB BF EF ====，120ABF ︒∠=．
（1）证明：AC DE ⊥；
（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的大小．
21．如图（1）,在直角梯形ABCD 中,AB CD ∥,AB BC ⊥,22CD AB BC ==,过A 点作AE CD ⊥,垂足为E ,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥,如图（2）.
（1）求证:平面DAB ⊥平面DAE ; （2）求二面角D AB E --的大小.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，
2AD =，PAB 为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.
(1)求证：//AE 平面PBC ； (2)求二面角A EB C --的余弦值.
23．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2DE =，//ED AF 且90DAF ∠=︒．
(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦； (2)求点C 到直线BD 的距离；
(3)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．
24．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，2AC =，2BC CD ==，
BC CD ⊥，E 为空间内一点，且CDE 为以CD 为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）若2BE =，试求平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值
参考答案
1．D2．B3．B4．B5．A6．B7．B8．D9．D10．D11．B12．A 13．2
14
15．13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
16．2 17．（1）
证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE 折起， 所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥， 又AE
BE E =，
所以DE ⊥平面ABE ， 又因为DE ⊂平面BCDE ， 所以平面ABE ⊥平面BCDE ； （2）
解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥， 所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角， 所以60AEB ∠=︒， 又因为AE BE =， 所以ABE 是等边三角形， 连接CE ，
在图1中，因为90C ∠=︒，BC =，3AC = 所以60EBC ∠=︒，
AB =因为E 是AB 的中点，
所以BE BC == 所以BCE 是等边三角形. 取BE 的中点O ，连接AO ，CO ， 则AO BE ⊥，CO BE ⊥，
因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE ⋂平面BCDE BE =，
所以AO ⊥平面BCDE ， 所以OB ，OC ，OA 两两垂直，
以O 为原点，OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴建系，如图所示.
30,0,2A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭
，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以3322AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22AC ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，332AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，
则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33
0,233
0.22
z y z ⎧
-=⎪⎪⎨⎪
-=⎪⎩
取1z =，得平面ABC 的一个法向量为()3,1,1n =，
所以
333111
25cos ,52n AD AD n n AD ⎛⎛⎫
⨯+-⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则5
sin θ=
. 18．以点D 为原点，分别以DA ､DC 与1DD 的方向为x ､y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则
()0,0,0D ､()2,0,0A a ､()0,2,0C a ､()2,2,0B a a ､()10,0,2D a ､()12,0,2A a a ､
()10,2,2C a a ､()12,2,2B a a a ，M 是棱1DD 的中点得()0,0,M a ，()12,2,2DB a a a =.设面11
A MC
的一个法向量为
()
,,n x y z =，
()
12,0,MA a a =，
()
10,2,MC a a =，则
1120,0,20,0,ax az n MA ay az n MC ⎧+=⋅=⎧⎪
⇒⎨
⎨+=⋅=⎪⎩⎩
令1y =，则()1,1,2n =-.又110DB n DB n ⋅=⇒⊥，因为1DB ⊄平面
11
A MC ，所以
1DB ∥
平面
11
A MC .
19．（1）取CD 中点为M ，则DM AB =且//DM AB ， 所以四边形ABMD 为平行四边形，可得//BM AD ， 所以BM CD ⊥，又由BS CD ⊥，BM BS B ⋂=，
所以CD ⊥平面BSM ，又因为SM ⊂平面BSM ，所以CD SM ⊥, 又由//SM PD ，所以CD PD ⊥，AD PD ⊥，CD
AD D =，所以PD ⊥平面ABCD ．
（2）延长CB ，DA 交于N ，连SN 与PB 交点即为Q ，
因为B 为CN 中点，S 为PC 中点，故Q 为PNC △的重心，故2PQ QB =，
以D 为原点，,,DA DC DP 方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1AB =，则()1,1,0B ，()0,0.1P ，
设(),,Q x y z 且2PQ QB =，可得()
()()
212112x x y y z z ⎧=-⎪=-⎨⎪-=-⎩
，所以221
,,333x y z ===，
可得241,,333CQ ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
因为AD PD ⊥，AD CD ⊥且PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ． 平面PCD 的法向量为()1,0,0DA =，
可得2
cos ,211CQ DA CQ DA CQ DA
⋅===⋅⋅．
即CQ 与平面PCD
20．（1）因为AD∥BC∥EF，AD⊥平面ABF，
所以BC⊥平面ABF，EF⊥平面ABF，
所以四边形ABCD与四边形BCEF都是直角梯形，
以B为坐标原点,
BA BC所在直线分别为x轴、y轴，
过点B且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(1,0,3),(1,2,3),(0,3,0),(2,4,0)
A F E C D
--，
所以(2,3,0),(3,2,3)
AC DE
=-=--，
所以6600
AC DE
⋅=-+=，所以AC DE
⊥.
（2）由（1）知，(3)
AE=-，(2,1,0)
CD=，(3,23)
DE=--，，
设平面CDE的法向量为(,,)
n x y z
=，
则
CD n
DE n
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即
20
3230
x y
x y z
+=
⎧⎪
⎨
--=
⎪⎩
，
取=1x -，则
32,3y z ==，所以31,2,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
为平面CDE 的一个法向量， 设直线AE 与平面CDE 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭， 则|||341|3sin |cos ,|2||||4343AE n AE n AE n θ⋅++=〈〉===⋅⨯，所以3πθ=， 所以直线AE 与平面CDE 所成角的大小为
3
π. 21．证明：（1） AE CD ⊥,AB CD ∥,
∴ AE AB ⊥
DE EC ⊥,AB EC ∥, ∴DE AB ⊥
又AE DE E =,故:AB ⊥平面DAE ,
AB ⊂平面DAB ,故:平面DAB ⊥平面DAE .
（2）以E 为原点,EA 为x 轴,EC 为y 轴,ED 为z 轴,建立空间直角坐标系,如图:
设2DE EC ED ===,
∴ ()2,0,0A ,()0,0,2D ,()0,0,0E ,()2,2,0B ,
可得:()2,0,2AD =-,()0,2,0AB =,
设平面DAB 的法向量(),,n x y z =,
则22020n AD x z n AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩
,取1x =,得()1,0,1n =, 平面ABE 的法向量()0,0,1m =,
设二面角D AB E --的大小为θ,
则12cos 22m n m n θ⋅===⋅, ∴ 45θ=︒,
∴二面角D AB E --的大小为45︒.
22．（1）如图，取PC 的中点F ，连接EF ，BF ，
∵PE DE =，PF CF =，∴//EF CD ，2CD EF =，
∵//AB CD ，2CD AB =，∴//AB EF ，且EF AB =.
∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF .
∵BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，故//AE 平面PBC .
（2）取AB 中点O ，CD 中点M ，以O 为原点，OM 为x 轴，AB 为y 轴，OP 为z 轴，建立
空间直角坐标系：则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,2,0C ，()0,0,1P ，()1,2,0D -，11,1,2
2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11,2,2
2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =，()1,1,0BC =， 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，平面CBE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 则111120112022m AB y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令11x =，则()1,0,1m =-， 222220112022n BC x y n BE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，21x =，则()1,1,5n =--， 设m 与n 的夹角为θ，则66cos 3233m n m n θ⋅=
==⋅，由二面角A EB C --为钝角，则余弦值为63-
.
23．（1）解：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，
则()2,0,0B ，()0,0,2D ，()1,1,2E ，()2,2,0F ，()0,2,0C ，
则(2,0,2),(1,1,2),(0,2,0)DB BE BF =-=-=
设平面BEF 的法向量(,,)n x y z =，
则200
n BE x y z n BF y ⎧⋅=-++=⎨⋅==⎩令1z =，则2x =，0y =，所以(2,0,1)n =， ∴向量DB 和()2,0,1n =所成角的余弦为22222202
10212(2)DB n
DB n ⋅+-=⋅++-．
即BD 和面BEF 10 （2）解：因为()2,0,2DB =-，()2,2,0BC =-，所以()()2202024DB BC ⋅=⨯-+⨯+⨯-=-，22DB =，22BC =C 到直线BD 的距离
()2222422622DB BC d BC DB ⎛⎫⋅-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）解：假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，即EP mPF =，设(),,P x y z ，即()()1,1,22,2,x y z m x y z ---=---，所
以()()12122x m x y m y z mz ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得12112121m x m m y m z m +⎧=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩
集P 点坐标为12122(,,)111m m m m m +++++， 则向量12122(,,)111m m AP m m m
++=+++，向量1212(,,)111m CP m m m +=-+++， 因为()2,0,2DB =-
所以()()12122202011112122020111m m m m m m m m m ++⎧⨯+⨯+-⨯=⎪⎪+++⎨+-⎪⨯+⨯+-⨯=⎪+++⎩
，解得12m =． 所以存在p ，求EP 与PF 的比值12
24．解：（1）取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，
因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，
又因为2BC CD ==，所以OC BD ⊥112
CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥
又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，
二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角，
∴平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方
取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．
OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，
∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，
OF =
，EF =， 设EFO πθ∠=-，
则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D
，A ，(0,1,0)B -
11111113cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
13322,cos ,sin ,244BE E θθ⎛==∴=∴=∴ ⎝⎭
所以(1,1,0)CD =-
，13,44CE ⎛=- ⎝⎭
，
设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，
01304
4x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩， 令1x =
，则1,1,n ⎛=- ⎝⎭
因为平面ABD 的一个法向量为
(1,0,0)OC =，
所以1|cos ,|4OC n
〈〉==，
即平面ABD 与平面ECD。