2012年全国部分地区中考数学试题分类解析汇编 第12章 反比例函数

2012年全国部分地区中考数学试题分类解析汇编
第12章 反比例函数
1．（2012某某）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k
y x
=的图象过点A ，则k 的值是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．4
D ．﹣4 考点：反比例函数系数k 的几何意义。

解答：解：因为图象在第二象限， 所以k ＜0，
根据反比例函数系数k 的几何意义可知|k|=2×2=4， 所以k=﹣4． 故选D ．
2．（2012某某）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a
y x
=
在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。

解答：解：∵二次函数图象开口向下， ∴a ＜0， ∵对称轴x=﹣＜0，
∴b ＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点， ∴c=0，
∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数a
y x
=位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合． 故选C ．
3．（2012某某）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ∥y 轴，分别交函数
1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．
1
2
k PM QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ 的面积是()121
2
k k + 考点：反比例函数综合题。

解答：解：A ．∵P 点坐标不知道，当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误； B ．根据图形可得：k 1＞0，k 2＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故
=|
|，故此选项错
误；
C ．根据k 1，k 2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；
D．∵|k1|=PM•MO，|k 2|=MQ•MO，△POQ的面积=MO•PQ=MO（PM+MQ）=MO•PM+MO•MQ，∴△POQ的面积是（|k1|+|k2|），故此选项正确．
故选：D．
4．（ 2012•某某）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y2，则x的取值X围是（）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
考
点：
反比例函数与一次函数的交点问题。

专
题：
数形结合。

分
析：
根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值X围即可．
解答：解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．故选D．
点
评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
5. （ 2012•某某）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图像表示大致为（）
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。

专题：数形结合。

分析：根据矩形的面积等于长乘以宽的关系，在面积不变的条件下，得y=x 9
，则y 是x 的
反比例函数，且x ＞0．
解答：解：∵y=x 9
（x ＞0），
∴y 是x 的反比例函数， 故选C ．
点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v 是t 的反比例函
数．
6．（2012•某某）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不能确定 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。

分析： 根据一次函数与反比例函数图象的性质作答． 解
答： 解：y=x+1的图象过一、二、三象限；
函数
的中，k ＞0时，过一、三象限．
故有两个交点．
故选C．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，只有正确理解性质才能灵活解题．点
评：
7．（2012•某某）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（）
A．3B．4C．D．5
考点：反比例函数综合题；三角形的面积。

专题：计算题。

分析：设P的坐标是（a ，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA 、PB 的值，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：∵点P在y=上，
∴设P 的坐标是（a，），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A 在y=﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得：﹣，
解得：x=﹣2a，
∴B的坐标是（﹣2a，），
∴PA=﹣（﹣）=，PB=a﹣（﹣2a）=3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××3a=．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出
A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
8．（2012某某）若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：计算题。

分析：将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标，从而得到此交点的坐标，将该交点坐标代入y=即可求出k的值．
解答：解：将x=﹣1代入直线y=2x+1得，y=﹣2+1=﹣1，
则交点坐标为（﹣1，﹣1），
将（﹣1，﹣1）代入y=得，
k=﹣1×（﹣1）=1，
故选B．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合两函数解析式是解题的关键．
9．（2012某某）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ） A ． y=﹣
B ． y=﹣
C ． y=
D ． y=
考点：待定系数法求反比例函数解析式。

专题：计算题。

分析：设解析式为，由于反比例函数的图象经过点（﹣1，2），代入反比例函数即可求
得k 的值．
解答：解：设反比例函数图象设解析式为，
将点（﹣1，2）代入得，
k=﹣1×2=﹣2， 则函数解析式为y=﹣． 故选B ．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，将点（﹣1，2）代入反比例函数，求出系数k 是解题的关键．
10．（2012某某）如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，
交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的
图像与△ABC 有公共点，则k 的取值X 围是（ ）
A ．2≤k ≤9
B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤5
D ．5≤k ≤8
考点：反比例函数综合题． 专题：综合题．
分析：先求出点A 、B 的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与
△ABC 相交于点C 时k 的取值最小，当与线段AB 相交时，k 能取到最大值，根据直线
A
B
C
O
x
y
第10题图
y＝－x＋6，设交点为(x，－x＋6)时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
解答：解：∵点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x＝1时，y＝－1＋6＝5，
当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，
∴点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，
设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，
则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵ 1≤x≤4，
∴当x＝3时，k值最大，
此时交点坐标为(3，3)，
因此，k的取值X围是2≤k≤9．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键．
11．（2012•某某州）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（）
A．﹣6 B．﹣9 C．0D．9
考点：反比例函数图象的对称性。

专题：探究型。

分析：先根据点A（x
1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=上的点可得出x1•y1=x2•y2=3，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=
﹣x2，y1=﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
解答：解：∵点A（x
1，y1），B（x2，y2）是双曲线y=上的点
∴x1•y1=x2•y2=3①，
∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，
∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此题的关键．
12．（2012•某某）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为()
A．B．C．D．
y＝
考点：根据实际问题列反比例函数关系式。

专题：应用题。

分析：设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解．
解答：
解：设y＝，
400度近视眼镜镜片的焦距为，
∴k＝0.25×400＝100，
∴y＝．
故选C．
点评：
反比例函数的一般形式为y＝(k是常数，且k≠0)，常用待定系数法求解函数解析式．
13．（2012•某某）在反比例函数的图象上有两点(－1，y1)，，
则y 1－y 2的值是() A ． 负数 B ． 非正数 C ． 正数 D ． 不能确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：
反比例函数
：当k ＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y
随x 的增大而增大．
解答：
解：∵反比例函数
中的k ＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大； 又∵点(－1，y 1)和均位于第二象限，－1＜－，
∴y 1＜y 2，
∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数， 故选A ．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同
一象限内．
14．（2012•某某）已知点A (－1，y 1)、B (2，y 2)都在双曲线y ＝3＋2m x
上，且y 1＞y 2，则m 的
取值X 围是【 】
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＞－32
D ．m ＜－32
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．
【分析】将A （-1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线y=3+2m x ，求出 y 1与y 2的表达式，再根据 y 1＞y 2则列不等式即可解答．
【解答】解：将A （-1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线y=3+2m x 得，
y 1=-2m-3， y 2=3+2m 2 ， ∵y 1＞y 2，
∴-2m-3＞3+2m 2 ，
解得m ＜-3 ∕2 ，
故选D ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数函数图象上的点
符合函数解析式．
15．（2012•某某）对于函数x
y 6=，下列说法错误．．的是 （ ） A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 当x>0时，y 的值随x 的增大而增大
D. 当x<0时，y 的值随x 的增大而减小 知识点考察：反比例函数的性质。

分析：画出x y 6=
的图像，然后观察y 随x 的变化。

答案：C 点评：①要看清题目的要求（下列说法错误．．
的是）②要熟悉反比例函数的性质。

③要建立型数结合思想。

16.（2012•某某）如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数y=﹣的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
解析：设A 的纵坐标是b ，则B 的纵坐标也是b ．
把y =b 代入y=得，b=，则x=，，即A 的横坐标是，；
同理可得：B 的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=5．
故选D．
17．（2012六盘水）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为（）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 考点：反比例函数综合题。

分析：首先表示出矩形边长，再利用长与宽的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．
解答：解：∵反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．
∴四边形OBAC为矩形，
设宽BO=x，则AB=，
则s=x+≥2=2，
当且仅当x=，即x=1时，取等号．
故函数s=x+（x＞0）的最小值为2．
故2（x+）=2×2=4，
则四边形OBAC周长的最小值为4．
故选：A．
点评：此题考查了反比例函数的综合应用以及函数的最值问题，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质，即a+b≥2，难度一般．
1．（2012•某某）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是．
考
点：
反比例函数与一次函数的交点问题。

专
题：
计算题。

分
析：
将（1，k）代入一次函数y=2x+1，求出k的值即可得到反比例函数解析式．
解答：解：将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3；则反比例函数解析式为y=．
故答案为．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要知道，函数图象的交点坐标符合函数的解析式．
2．（2012•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为y= ．
考
点：
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象的对称性；正方形的性质。

专
题：
探究型。

分析：由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，进而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，进而得出反比例函数的解析式．
解答：解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x=3，
∵点P（3a，a）在直线AB上，
∴3a=3，解得a=1，
∴P（3，1），
∵点P在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴此反比例函数的解析式为：y=．
故答案为：y=．
点本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式及正方形的性质，根据题意得出
评：直线AB的解析式是解答此题的关键．
3．（2012•某某）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x 轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是P1（0，﹣4）P2（﹣4，﹣4）P3（4，4）．
考
点：
反比例函数综合题。

分
析：
先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．
解答：解：如图∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8，
∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：
P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
故答案为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．
点评： 此题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P 点的所有情况都画出来．
4．（2012某某）如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n 的代数式表示）
考点：反比例函数综合题。

解答：解：设反比例函数解析式为k y x =
，则 ①与BC ，AB 平移后的对应边相交；
与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），
则1.42
k =， 解得142.85
k ==， 故反比例函数解析式为145y x =。

则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：14141455(1)5(1)
n n n n -=++；
②与OC ，AB 平移后的对应边相交； 0.62
k k -
=， 解得65k =。

故反比例函数解析式为65y x
=。

则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：66655(1)5(1)
n n n n -=++。

故第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为5(4)11n n +或65(1)
n n +。

故答案为：
5(4)11n n +或65(1)n n +。

5．(2012•某某)如图，双曲线y ＝经过Rt△OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ．
考点： 反比例函数综合题。

专题： 综合题。

分析： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，易得△OAC ∽△ONM ，则OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，而OA
＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b )，得到N 点坐标为(a ，b )，由点A 与点B 都在y ＝图象上，
根据反比例函数的坐标特点得B 点坐标为(a ，b )，由OA ＝2AN ，△OAB 的面积为
5，△NAB的面积为，则△ONB的面积＝5＋＝，根据三角形面积公式得NB•OM ＝，即×(b－b)×a＝，化简得ab＝12，即可得到k的值．
解答：解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON，
而OA＝2AN，即OA：ON＝2：3，设A点坐标为(a，b)，则OC＝a，AC＝b，
∴OM＝a，NM＝b，
∴N点坐标为(a，b)，
∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y＝图象上，
∴k＝ab＝a•y，
∴y＝b，即B点坐标为(a，b)，
∵OA＝2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为，
∴△ONB的面积＝5＋＝，
∴NB•OM＝，即×(b－b)×a＝，
∴ab＝12，
∴k＝12．
故答案为12．
点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y＝图象上的点的横纵坐标的积都等于k；利用相似三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标．
6．(2012•某某)如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：数形结合。

分析：根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移2b个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值X围即可．
解答：
解：由k1x＜＋b，得，k1x－b＜，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，
直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点A′的横坐标为－1，交点B′的横坐标为－5，
当－5＜x＜－1或x＞0时，双曲线图象在直线图象上方，
所有，不等式k1x＜＋b的解集是－5＜x＜－1或x＞0．
故答案为：－5＜x＜－1或x＞0．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键．
7．（2012•某某）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是．
考点：根据实际问题列反比例函数关系式。

分析：由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y=，由200度近视镜的镜片焦距是先求得k的值．
解答：解：由题意设y=，
由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，
∴y=．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y=．
故答案为：y=．
点评：本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
8．（2012•某某）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值X围是k＞2；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）
考点：反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：根据反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．针对四个说法依次分析可得答案．
解答：解：①根据函数图象在第一象限可得k﹣2＞0，故k＞2，故①正确；
②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；
③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增
大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；
④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增
大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；
故答案为：①②④．
点评：此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质．
9．（2012•某某）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D 在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 .
考点：反比例函数系数k的几何意义。

分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
解答：解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2．
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．(2012•某某)如图，M为双曲线y＝上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．
考点：反比例函数综合题。

专题：综合题。

分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y＝－x＋m，易得A(0，m)，B(m，
0)，得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐
标为(a，b)，则ab＝，
并且CE＝b，DF＝a，则AD＝DF＝a，BC＝CE＝b，于是得到AD•BC＝a•b＝2ab＝2．
解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y＝－x＋m，
令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得x＝m，
∴A(0，m)，B(m，0)，
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为(a，b)，则ab＝，
CE＝b，DF＝a，
∴AD＝DF＝a，BC＝CE＝b，
∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2．
故答案为2．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．
11．（2012.某某）如图，双曲线
k
y(k0)
x
=>与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、
Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为▲ ．
【答案】4。

【考点】反比例函数综合题
【分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，
k
y(k0)
x
=>也关于y=x对称，P点坐标是（1，
3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

1．（2012义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
考点：反比例函数综合题。

解答：解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴=n，
解得n=；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2﹣t）2+12，
解得t=，
∴OG=t=．
2.（2012•某某）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值X围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB 为斜边的直角三角形时，求k的值．考
点：
二次函数综合题。

分析：（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A 点与B 点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．
解答：解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y=，
代入A（1，﹣2）得：﹣2=，
解得：m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函数y=k （x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，
要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣时，才能使得y随着x 的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜﹣；
（3）由（2）可得：Q（﹣，k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A 点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点O平分AB，
∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ==，
∵OA==，∴=，
解得：k=±．
点评：此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．
3．（2012•某某）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB 与y轴所夹锐角为60°．
（1）求线段AB的长；
（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．
考
点：
反比例函数综合题。

分析：（1）过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，根据A、B两点纵坐标求AD，解直角三角形求AB；
（2）根据A点纵坐标设A（m，7），解直角三角形求BD，再表示B点坐标，将A、B
两点坐标代入y=中，列方程组求k的值即可．
解答：解：（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，
由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6，
∴AB===12；
（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=，A点坐标为（m，7），∵BD=AD•tan60°=6，
∴B点坐标为（m+6，1），
∴，
解得k=7，
∴所求反比例函数的解析式为y=．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点．
4．(2012•某某)如图，等边△OAB和等边△AFE 的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．
(1)求该双曲线所表示的函数解析式；
(2)求等边△AEF的边长．
考
点：
反比例函数综合题。

专
题：
代数几何综合题。

分析：(1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．
解答：解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC＝2，∠ A OB＝60°，
∴OG＝1，CG＝，
∴点C的坐标是(1，)，
由＝，得：k＝，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝；
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH ＝a，则DH＝a．∴点D 的坐标为(4＋a，)，
∵点D是双曲线y＝上的点，
由xy＝，得(4＋a)＝，
即：a2＋4a－1＝0，
解得：a 1＝
－2，a 2＝－－2(舍去)，
∴AD ＝2AH ＝2－4， ∴等边△AEF 的边长是2AD ＝4－8．
点评： 本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C 、D 的坐标是解题
的关键．
5．（2012某某）如图，一次函数y kx b =+的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数n y x
=的图象在第二象限的交点为C ，CD⊥x 轴，垂足为D ，若OB=2，OD=4，△AOB 的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）直接写出当0x <时，0k kx b x
+->的解集．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

解答：解：（1）∵OB=2，△AOB 的面积为1
∴B（﹣2，0），OA=1，
∴A（0，﹣1）
∴120b k b =-⎧⎨-+=⎩，
∴121
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴112
y x =-- 又∵OD=4，OD⊥x 轴，
∴C（﹣4，y ），
将4x =-代入112y x =-
-得y=1， ∴C（﹣4，1）
∴14
m =-， ∴4m =-， ∴4y x
=- （2）当0x <时，0k kx b x +-
>的解集是4x <-．
6．（2012某某）(本小题满分8分)
如图，一次函数2y x b =-+(b 为常数)的图象与反比例函数k y x
=
(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1-，4)．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点B 的坐标．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

解答：解：（1）∵两函数图象相交于点A（﹣1，4），
∴﹣2×（﹣1）+b=4，=4，
解得b=2，k=﹣4，
∴反比例函数的表达式为y=﹣，
一次函数的表达式为y=﹣2x+2；
（2）联立，
解得（舍去），，
所以，点B的坐标为（2，﹣2）．
7．（2012•某某）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考
反比例函数综合题。

点：
分（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，。