圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线强化训练专题练习(四)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检
测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．（汇编年高考辽宁卷（文））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为
F
,F C 与过原点的直线相交于,A B
两点,连接了
,A F B F ,若
4
10,8,cos ABF 5
AB B F ==∠=,则C 的离心率为 （ ）
A ．
3
5
B ．
57
C ．
45
D ．
67
2．(汇编全国1理)已知双曲线)0( 1222>=-a y a
x 的一条准线与抛物线x y 62
-=的
准线重合，则该双曲线的离心率为 （A ）2
3
（B ）2
3
（C ）
2
6
（D ）
3
3
2
3．（汇编山东理8）双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( )
(A) y =±3x (B) y =±
3
1
x (C) y =±3x (D) y =±33
4．（汇编山东理8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是（ ）
A ．14
32
2=-y x B ．
13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 5．（汇编宁夏理6）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，点
11122
2()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．2
2
2
123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+
Ｄ．22
13FP FP FP =·
6．（汇编湖南理）如果双曲线
112
132
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是（ ） A ．
5
13 B ．13 C ．5 D ．
13
5 7．（汇编重庆文）（12）已知以F 1（2,0），F 2（-2,0）为焦点的椭圆与直线
043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A ．23
B ．62
C ．72
D ．24
8．（汇编全国卷Ⅱ文）双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = ( )
A.3
B.2
C.3
D.6
9．（汇编四川卷）直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）72
10．（汇编）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若
FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= ▲ ．
12．抛物线2
1
2
y x =
的焦点坐标为 ▲ ． 13．已知定点)4,3(A ，点P 为抛物线x y 42
=上一动点，点P 到直线1-=x 的距离为
d ，则d PA +的最小值为 ．
14．两个正数a 、b 的等差中项是3，一个等比中项是22，则双曲线22
221x y a b
-=的离
心率为 ．
15．抛物线2
4x y =的焦点坐标为
16．如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶
点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 .
A
B
C D
x
y
O
评卷人
得分
三、解答题
17．已知椭圆22
22:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为
12,A A ,且121FA FA ⋅=-.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.
18．（本题满分10分）将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a ，0)，B (－a ，0)，C (0，b )，其中a ＞0，b ＞0．过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →
为定值
答案: （本题满分10分）
解：（1）x 2
4＋y 2＝1．（说明：没有过程得2
分） ………………………………………4分
（2）根据题意可设直线l 的方程为1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2
4＋y 2
＝1．可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0． 解得x ＝0或x ＝
－8k 4k 2
＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为（－8k
4k 2＋1
，1－4k 2
4k 2＋1
）．…………6分
x
y
O
2
－2
又直线AC 的方程为x
2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，
联立
⎩⎨⎧x
2＋y ＝1，
y ＝1＋2k
2－4k (x ＋2)．
……………………………………………………………………8分 解得⎩⎨⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1．
因此Q （－4k ，2k ＋1），又P （－1
k ，0）， 所以OP →•OQ →
＝（－1k ，0）•（－4k ，2k ＋1）＝4． 故
OP
→•
OQ
→为
定
值． ……………………………………………………………………………10分
19．（1）若椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>,过点(3,2)-，离心率为33，求椭圆的标准
方程；
（2）双曲线的渐近线方程为3
4
y x =±，焦点坐标为(5,0),(5,0)
-，求该双曲线的标准方程.
20．已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线的 方程为x ＝
5
5
，离心率e ＝ 5. (1)求该双曲线的方程；
(2)如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的 点，点M 在双曲线的右支上，求MA ＋MB 的最小值，并求此时 M 点的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．A 7．C
8．A 本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r =3. 9．AB
解析：A 直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线
作垂线，垂足分别为,P Q ，联立方程组得243y x
y x ⎧=⎨=-⎩，消元得21090x x -+=，解得
12x y =⎧⎨=-⎩，和9
6x y =⎧⎨=⎩
，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB 的面积为48，选A. 10．D
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 12． 1
(,0)8
13．; 14．5
5;2
15．（0，）
16．2
2
13
y x -= 评卷人
得分
三、解答题
17． 解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得2
2a =，所以2
1b =.
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=. …………………………………………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1),
22
y k x x y =-⎧⎨
+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，
则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，02
21k
y k -=+， 所以22
22(,)2121
k k
M k k -++. 直线MD 的方程为2
2212()2121
k
k y x k k k +
=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则2
2
(,0)21
k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.
所以22
232(,)2121
k k E k k -++.
若点E 在椭圆C 上，则2222
232()2()22121
k k
k k -+=++. 整理得4
2k =，解得2
2k =
.所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.
此时点E 到y 的距离为
12327
-. ………………………………………………14分
18． 19．
20．(1)由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，
b >0)．
设c ＝a 2
＋b 2
，由准线方程x ＝55得a 2c ＝5
5
，
由e ＝5得c
a ＝5，解得a ＝1，c ＝5，从而
b ＝2，
因此双曲线的方程为x 2
－y 2
4
＝1.
(2)如图所示，设点D 的坐标为(5，0)，则点A ，D 是双曲
线的焦点． MA －MD ＝2a ＝2，
所以MA ＋MB ＝2＋MB ＋MD ≥2＋BD .因为B 是圆x 2
＋(y －
5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故BD ≥CD －1＝10－1，从而MA ＋MB ≥2＋BD ≥10＋1，
当点M 、B 在线段CD 上时上式取等号，MA ＋MB 的最小值
为10＋1.因为直线CD 的方程为y ＝－x ＋5，点M 在双曲线的右支上，故x >0.由方程
组⎩⎨⎧
4x 2－y 2
＝4，y ＝－x ＋5，
解得x ＝－5＋423，y ＝45－423，
M 点的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
－5＋423，
45－423.。