2020年广西壮族自治区桂林市恭城中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2020年广西壮族自治区桂林市恭城中学高二数学文下学期期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数，若有8个不相等的实数根，则m的取值范围是
A. B. (2,4) C. D.
参考答案：
A
【分析】
方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程
必存在2个大于1的不等实根.
【详解】
，函数为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），
若有8个不相等的实数根关于的二次方程必有两个大于1的不等实根，
.
【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围.
2. 已知直线是椭圆的右准线，如果在直线上存在一点M，使得线段OM（O为坐标原点）的垂直平分线过右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C ． D．
参考答案：
B
3. 已知x与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）
A .(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0) D (1.5,4)
参考答案：
D
略
4. 已知向量和向量垂直，则（）
A. B. C. D. 参考答案：
D
5. 设S n为等差数列{a n}的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24
，则k=（）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
参考答案：
D
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：
S k+2=（k+2）2，S k=k2
∴S k+2﹣S k=24转化为：
（k+2）2﹣k2=24
∴k=5
故选D
6. 若不等式组有解，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
参考答案：
A
7. 2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。

这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。

小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算
（A）、的值，从而求得的值．
【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，
事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，
则（A），，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
8. 如果数列{a n}的前n项和S n＝a n－3，那这个数列的通项公式是()
A．a n＝2(n2＋n＋1) B．a n＝3·2n
C．a n＝3n＋1 D．a n＝2·3n
参考答案：
D
略
9. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
略
10. 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）
A．一个点B．椭圆
C．双曲线D．以上选项都有可能
参考答案：
C
【考点】轨迹方程．
【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．
【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点
线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线
故选：C ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=x 2﹣2x ，当x ＞2时k （x ﹣2）＜xf （x ）+2g'（x ）+3恒成立，则
整数k
最大值为 ．
参考答案：
5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】k （x
﹣2）＜xf （x ）+2g′（x ）+3恒成立，等价于k （x ﹣
2）＜xlnx+2（x ﹣2）+3对一切x ∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a 的取值范围．
【解答】解：因为当x ＞2时，不等式k （x ﹣2）＜xf （x ）+2g′（x ）+3恒成立， 即k （x ﹣2）＜xlnx+2（x ﹣2）+3对一切x ∈（2，+∞）恒成立，
亦即k ＜
=
+2对一切x ∈（2，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k ＜+2对任意x ＞2恒成立．
设p （x ）=+2，则p′（x ）=，
令r （x ）=x ﹣2lnx ﹣5（x ＞2），则r′（x ）=1﹣=＞0，
所以r （x ）在（2，+∞）上单调递增．
因为r （9）=4（1﹣ln3）＜0，r （10）=5﹣2ln10＞0，
所以r （x ）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈（9，10）， 当2＜x ＜x 0时，r （x ）＜0，即p′（x ）＜0； 当x ＞x 0时，r （x ）＞0，即p′（x ）＞0．
所以函数p （x ）在（2，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，
又r （x 0）=x 0﹣2lnx 0﹣5=0，所以2lnx 0=x 0﹣5．
所以[p （x ）]min =p （x 0）=+2=+2∈（5，6），
所以k ＜[p （x ）]min ∈（5，6）， 故整数k 的最大值是5．
故答案为：5． 12. 若点A
与点B
分别在直线
的两侧，则
的取值范围为 .
参考答案：
试题分析：等价于
，解得：
.
考点：不等式表示的平面区域 13. 定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
在
上的零点个数是 ．
参考答案：
604
14. 观察下列式子：
，， ，由此可归纳出的一
般结论是 ． 参考答案：
15. 某程序框图如图所示，若输入的a ，b ，c 的值分别是3，4，5，则输出的y 值为 ．
参考答案：
4
【考点】程序框图．
【分析】算法的功能是求a ，b ，c 的平均数，代入计算可得答案． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a ，b ，c 的平均数，
∴输出y==4．
故答案为：4．
16. 设，那么实数a , b , c 的大小关系是_________.
参考答案：
17. 已知，
，，….，类比这些等式，若（
均为正实数），则
= ▲ ．
参考答案：
41 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
.
（1）求证：；
（2）已知时，恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案：
（1）构造
，则
，
-
+ 故，即
.
（2）构造，则，
①当
，即
时，
对
恒成立，则
，
此时，不等式
成立；
②当
，即
时，由（1）可知
在
上单调递增，则
在
上也单调递增，则
至多存在一个零点，
又
，
，则在
上单调递减，
此时，，故不等式此时不成立.
综上，
.
19. （本题满分12分）过圆外一点p(2,1)引圆的切线，求切线方程。

参考答案：
略
20. 4个男同学和3个女同学站成一排
（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
（2）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）
参考答案：
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】（1）因为要求甲乙之间恰有3人，可以先选3人放入甲乙之间，再把这5人看做一个整体，与剩余的2个元素进行全排列，注意甲乙之间还有一个排列；
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中；
（3）因为女同学从左往右按从高到低排，所以3个同学的顺序是确定的，只需先不考虑女同学的顺序，把7人进行全排列，再除以女同学的一个全排列即可得到结果．
【解答】解：（1）甲乙两人先排好，有种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有种排法这时共有=720种不同排法．
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有种排法，共有=960（种）不同排法．（3）从7个位置中选出4个位置把男生排好，有种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有=840种不同排法．
21. 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求和的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
参考答案：
（1）；（2）最小值为，最大值为.
【分析】
（1）由题意易得周期为，可得，再由对称轴可得值；（2）利用（1）可得解析式，由范围结合三角函数的性质可得最值．
【详解】（1）函数图象上相邻两个最高点的距离为，
的最小正周期，，
又图象关于直线对称，
，，
，．
（2）由（1）知，
，，
，，
，，
，．
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．
22. （本题满分12分）命题p：关于的不等式对于一切恒成立，命题q：函数是增函数，若为真，为假，求实数的取值范围；
参考答案：
设，由于关于的不等式对于一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故，
∴. 2分
函数是增函数，则有，即.
由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假.
①若p真q假，则∴；
②②若p假q真，则∴；
综上可知，所求实数的取值范围是｛或｝.
略。