2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：第一部分方法、思想解读专题对点练4(含答案)

专题对点练4　从审题中寻找解题思路
一、选择题
1.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )x 2
m 2
+n ‒
y 2
3m 2
-n A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)
332.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A .6B .7C .8D .9
3.已知F 1,F 2是双曲线C :=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2最小的内x 2a 2
‒
y 2
b 2
角为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( )A .x±y=0B .x±y=022C .x±2y=0D .2x±y=0
4.已知双曲线C :x 2-=1,过点P (1,1)作直线l ,使l 与C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l 的条数
y 2
4共有( )A .3
B .2
C .1
D .4
5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c ,其中b>a ,且对任意x ∈R 都有f (x )≥0,则M=的最小值为( )a +2b +3c
b -a A .B .C .D .
5-2325+2327-3527+35
26.(2018河北一模)设双曲线=1(0<a<b )的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(0,b )两点,已知原点到直线l 的距离
x 2a
2
‒
y 2
b 2为
c ,则双曲线的离心率为( )
3
4A .2B .C .D .32233
二、填空题
7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则= .
8.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i 行第j 列的数为a i ,j (i ,j ∈N *),则(1)a 9,9= ;
(2)表中的数82共出现 次.
234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………9.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若b 是和2的等比中项,c 是1和5的等差中
项,则a 的取值范围是 . 三、解答题
10.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列.(1)求数列{a n }的通项;
(2)设{b n -(-1)n a n }是等比数列,且b 2=7,b 5=71.求数列{b n }的前n 项和T n .
11.已知函数f (x )=4sin
·cos ωx 在x=处取得最值,其中ω∈(0,2).
(
ωx -
π4)
π
4(1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)将函数f (x )的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得
π
36到函数y=g (x )的图象,若α为锐角,g (α)=,求cos α.
43‒2
12.已知函数f (x )=ln x+a (1-x ).(1)讨论f (x )的单调性;
(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a-2时,求a 的取值范围.
专题对点练4答案
1.A 解析 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.
又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3,故选A .
2.B 解析 当0≤x<2时,令f (x )=x 3-x=0,得x=0或x=1,根据周期函数的性质,由f (x )的最小正周期为2,可知y=f (x )在[0,6)上有6个零点,又f (6)=f (3×2)=f (0)=0,
所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7.
3.A 解析 由题意,不妨设|PF 1|>|PF 2|,则根据双曲线的定义得,|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=6a ,
解得|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a.在△PF 1F 2中,| F 1F 2|=2c ,而c>a ,所以有|PF 2|<|F 1F 2|,
所以∠PF 1F 2=30°,所以(2a )2=(2c )2+(4a )2-2·2c·4a cos 30°,得c=a ,
3所以b=a ,
c 2-a 2
=2所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ,即x±y=0.224.D 解析 当直线l 斜率存在时,令l :y-1=k (x-1),
代入x 2-=1中整理有(4-k 2)x 2+2k·(k-1)x-k 2+2k-5=0.当4-k 2=0,即k=±2时,l 和双曲线的渐近线平行,有一个公共y 2
4点.
当k ≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.直线l 斜率不存在时,x=1也和曲线C 有一个切点.综上,共有4条满足条件的直线.
5.D 解析 由题意得a>0,b 2-4ac ≤0,即c ≥,则M=
.
b
2
4a a +2b +3c
b -a
≥
a +2
b +
3b 2
4a
b -a
=
1+2·b a +34·
(b a )
2
b a -1令=t ,则t>1,于是M ≥
(t-1)+,
1+2t +34
t
2
t -1
=
34(t -1)2
+72(t -1)+154
t -1
=
34154·1t -1+72≥352+
7
2当且仅当t-1=,即b=(1+)a , c=
a 时等号成立.55
b 24a =
3+5
2所以M=的最小值为.
a +2
b +3c
b -a 7+352
6.A 解析 ∵直线l 过(a ,0),(0,b )两点,
∴直线l 的方程为
=1,x a +y b 即bx+ay-ab=0.
又原点到直线l 的距离为c ,
34∴c ,即c 2,|ab |a 2+b 2=34a 2b 2a 2+b
2=316又c 2=a 2+b 2,∴a 2(c 2-a 2)=c 4,316即c 4-a 2c 2+a 4=0,316化简得(e 2-4)(3e 2-4)=0,∴e 2=4或e 2=.
2
又∵0<a<b ,∴e 2==1+>2,c 2
a 2
b 2
a 2
∴e 2=4,即e=2,故选A .
7.2　解析 (法一)因为b cos C+c cos B=2b ,所以b·+c·=2b ,化简可得=2.
a 2+
b 2-
c 22ab a 2+c 2-b 2
2ac (法二)因为b cos C+c cos B=2b ,
所以sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,
故sin(B+C )=2sin B ,故sin A=2sin B ,则a=2b ,即=2.
8.(1)82　(2)5　解析 (1)a 9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2,……第9行的公差为9,第9行的首项b 1=10,则b 9=10+8×9=82.
(2)第1行数组成的数列a 1,j (j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a 1,j =2+(j-1)·1=j+1;第i 行数组成的数列a i ,j (j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i 的等差数列,所以a i ,j =(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得a i ,j =ij+1=82,即ij=81,且i ,j ∈N *,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.
9.(2)　解析 因为b 是和2的等比中项,所以b==1.
2,1012×2因为c 是1和5的等差中项,
所以c==3.
1+5
2又因为△ABC 为锐角三角形,
①当a 为最大边时,有
{
12+32-a 2>0,
a ≥3,1+3>a ,解得3≤a<;
10②当c 为最大边时,有
{
12+a 2-32>0,
a +1>3,a ≤3,解得2<a ≤3.
2由①②得2<a<,
210所以a 的取值范围是(2).
2,1010.解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0),∵a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列,∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故a n =a 1+(n-1)d=2n.
(2)令c n =b n -(-1)n a n ,设{c n }的公比为q.∵b 2=7,b 5=71,a n =2n ,∴c 2=b 2-a 2=3,c 5=81,
∴q 3==27,q=3,
c 5
c 2∴c n =c 2=3n-1.
q n -2
从而b n =3n-1+(-1)n 2n.
T n =b 1+b 2+…+b n =(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n 2n ],
当n 为偶数时,T n =,当n 为奇数时,T n =.3n +2n -123n -2n -3
211.解 (1)f (x )=4sin
·cos ωx (ωx -π4)
=2sin ωx·cos ωx-2cos 2ωx 22=(sin 2ωx-cos 2ωx )-22
=2sin ,
(2ωx -π
4)
‒2∵f (x )在x=处取得最值,
2
∴2ω·
=k π+,k ∈Z ,π4‒π4∴ω=2k+,k ∈Z .∵ω∈(0,2),即0<2k+<2,∴-<k<,又k ∈Z ,∴k=0,则ω=,
∴f (x )=2sin ,∴T=.
(3x -π
4)
‒22π3(2)将函数f (x )的图象向左平移个单位长度,得到
π
36h (x )=2sin [3(x +π36)-π4]
‒2=2sin ,
(3x -π6)
‒2再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g (x )=2sin .(
x -π6)
‒2故g (α)=2sin ,
(α-π6)
‒2=43‒2sin
.(α-π6)
=23∵α为锐角,∴-<α-,π6<π3因此cos
.(α-π6)=1-(23)
2
=
53故cos α=cos =cos ·cos -sin ·sin .
(α-π6+π6)(α-π6)(α-π
6)
π6=53×32‒23×12=15-2612.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )= -a.若a ≤0,则f'(x )>0,
所以f (x )在(0,+∞)内单调递增.
若a>0,则当x ∈时,f'(x )>0;当x ∈时,f'(x )<0.(0,1a )(1a ,+∞)
所以f (x )在内单调递增,在内单调递减.(0,1a )
(1a ,+∞
)
(2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f (x )在x=处取得最大值,最大值为f =ln +a
=-ln a+a-1.(1a )(1a )(1-1
a )因此f >2a-2等价于ln a+a-1<0.
(1
a )令g (a )=ln a+a-1,则g (a )在(0,+∞)内单调递增,
g (1)=0.于是,当0<a<1时,g (a )<0;当a>1时,g (a )>0.因此,a 的取值范围是(0,1).。