基于卡尔曼滤波技术的非线性模型在线模糊辨识

基于卡尔曼滤波技术非线性模型在线模糊辨识
吴召明张学庆宋晓云赵乐生王芳
（莱芜钢铁集团自动化部, 山东省莱芜市, 271104）
摘要: 本文提出一个用于非线性模型在线辨识模糊算法。

该算法将非线性输入输出系统用时变线性系统模型来拟和。

并把此非线性系统模型表示成模糊模型形式, 用在线调整模糊模型方法来辨识时变线性模型相关参数。

在以往模糊辨识方法中, 均未给出在线调整非线性系统模糊辨识算法。

本文将递推模糊聚类方法与卡尔曼滤波法用于在线调整模糊模型参数。

仿真算例表明了此算法有效性。

关键词: 非线性系统; 在线辨识; 模糊集合; 卡尔曼滤波
中图法分类号: TN911.72
Online Fuzzy Identification for Nonlinear Model Based on Kalman filter
WU Zhao-ming ZHANG Xue-qing SONG Xiao-yun ZHAO Le-sheng WANG Fang
(Automatization Department of LaiGang Group, ShanDong Province LaiWu City, 271104)
Abstract: An online fuzzy identification method for nonlinear model is presented. In the method, nonlinear system is substituted by time-varying linear system, and the multi-input and single output model is expressed by fuzzy model. The parameters of the time-varying nonlinear system are identified by method of online adjusting fuzzy mode. In past, fuzzy identifying methods, there existed fuzzy identifying algorithms not to online tune nonlinear systems. In the paper, a online identification algorithm based on recursive fuzzy clustering method is presented. The result of emulation example demonstrated that the method is effective.
Keyword: nonlinear system; online identification; recursive fuzzy clustering; Kalman filter
0 序言
近几年来, 对非线性模型辨识问题引发越来越多重视, 尤其对于复杂、病态、非线性动力系统, 基于模糊集合模糊模型, 利用模糊推理规则描述系统动态特征, 是一个有效方法。

这种方法是基于局部线性函数模糊建模方法, 该方法已被大家广泛使用, 但以往这种模糊模型建模算法存在部分问题, 如, 算法很复杂, 没有在线辨识算法。

针对上述问题, 本文提出一个用于在线辨识非线性模型模糊辨识方法。

此方法在局部线性函数模糊模型]1[基础上得到系统全局非线性模
型输出, 采取基于递推模糊聚类方法来自适应模糊推理调整模糊模型, 并采取卡尔曼滤波方法来实时估量模型时变参数。

仿真算例表明此算法跟踪辨识系统非线性模型是有效。

1 系统模糊模型建立
设一个非线性系统
)(x f y = （1） 辨识此模型, 可先将此模型用时变参数模型进行拟和
x t y T )(θ= （2） 其中],,,[21m x x x x =为输入变量, θ为系统时变参数向量, 在线辨识目就是实时辨识与修正系统参数
)(t T θ, 可将（2）式变成以下形式
k
T
k
v k x y Tw k k +=+=+)()()1(θθθ （3）
k w 为模型噪声向量, 假定为零均值高斯白噪声, 有方
差矩阵T
k
k w Ew =k Q , （0>k Q ）, k v 为量测噪声向量,
假定为零均值高斯白噪声向量, 有方差K T
k
k R v Ev =, )0(<k R , 本文将利用卡尔曼滤波与模糊辨识方法在
线实时估量系统时变参数, 与传统在线递推最小二乘法相比, 此方法不仅能够提升系统参数辨识精度, 还含有良好跟踪速度。

用模糊模型实现非线性系统建模, 其输入和输出处理都是正确数据, 所以, 模型能够简化成模糊规则 If x is i v
then
)()()1(i w i i i i i Γ+=+θθ
)()(i v i z y i i T i +=θ, q i ,,2,1 = (3)
和模糊模型
∑∑===
q
i i
q
i i
i u
y
u y 1
1
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤---=,
0,1i i i i i
i i r v x if r v x if r v x u q i ,,2,1 =
(4) 其中, T m x x x x ],,,[21 =是系统输入向量,
],,,,1[21m x x x z =, ],,,,[210i
m i i i i a a a a =θ是第i 条规
则对应局部参数, i v 是第i 条规则对应输入局部区域中心向量, i r 是对应半径, i u 是输入x 属于第i 条规则
隶属度, i y 是规则i 对应输出, q 表示规则个数。

2 模型在线模糊辨识方法
利用模糊规则(3)表示非线性系统, 实质上对系统进行了输入输出局部线性化, 很显然规则输入局部区域用i i r v x ≤-表示。

假如对于任意输入x 都能找到一个或多个输入局部区域, 使i i r v x ≤-, 那么规则输入区域并集就覆盖了输入空间。

但有时候因为训练样本可能不会充满整个输入空间, 或者因为输入空间聚类个数不一定很多, 可能会出现划分好输入区域之并集小于输入空间情况, 为此提出以下自适应模糊推
理方法:当新输入数据属于某条或某几条规则输入区域时, 能够用通常方法进行推理, 即用式(9)推理.而当新输入数据)(t x 不属于任何规则对应输入区域时, 则需用以下步骤进行自适应模糊推理 （1） 设 i i r adap =)0( （q i ,,2,1 =） （2） i i i r k adap k adap β+-=)1()(
if )()(k adap v t x i i <-,
then )
()(k adap v t x u i i i -=
else 0=i u （5）
(3) if
01
=∑=q
i i
u
, then 1+=k k , 转到 (2)
if 01
≠∑=q
i i u , then ∑∑==⋅=
q
i i
q
I T i i u z s y 1
1
)
(θ （6）
其推理过程是认为i r β步长, 逐步增加每个输入区域半径, 直到某一区域或一些区域包含新输入)(t x 。

对于式(3)描述模糊规则, 在线辨识目是要依据不停得到输入输出数据实时地估量规则输入区域参数},{i i r v 以及输出参数i θ。

通常输入区域参数要依据输
入数据结构确定, 为此, 本文采取聚类算法对输入空间进行自适应划分, 其算法以下
]
2[
1）选择聚类个数q(即规则数目), 初始化中心点
i v ),,2,1(q i =;
2)对于任意输入)(t x , 依输入样本密度确定最近中
心点c v ,
j j j
c c v t x p v t x p -=-)()(min , ∑==
q
i i
j
j n n p 1
（7） 其中, j p 表示中心点, j v 为周围样本密集程度, j n 为j v 被选为最近点次数。

3）修正c v 1+=c c n n , c
c n a 1=
, ))()(()()1(k v t x a k v k v c c c c -+=+,
)()1(k v k v j j =+ )(c j ≠
（8） 使用j j v t x p -)(可使死点有竞争机会, 从而避免通常竞争学习中死点问题。

规则输入区域参数i r 不仅决
定了输入区域大小, 而且还决定了相邻输入区域或是相邻规则重合程度。

在模糊系统中, 规则之间相互重合是很关键, 它表现了规则模糊特征。

为了实现在线估量各规则输入区域半径, 能够首先给出期望相邻输入区域之间重合度σ, 然后按下式在线确定输入区域半径 σ
j
i i
j q
j i v v r -=≠=min
,,2,1 , （21<<σ）),,2,1(q i = （9）
因为规则结论部分是线性函数, 所以当任意时
刻输入)(t x 属于某一或一些规则输入区域时, 其对应
局部参数i θ（q i ,,2,1 =）能够用卡尔曼滤波估量以
下
If i i r v t x ≤-)(,
Then
)()|1(k k k i i θθ=+
k K k i Q k P k k P ΓΓ+=+)()|1(
1
))1()
1()|1()1()(1()|1()1(-+++++++=+k R k H k k P k H k H k k P k K T ))
|1(*)1()
1()(1()|1()1(k k k H k y k K k k k i i i ++-++++=+θθθ
)|1())1()1(()1(k k P k H k K I k P i +++-=+
(10) If i i r v t x ≤-)( Then
)()1(k k i i θθ=+ (11)
在估量i θ时, 每次i θ是否修正要依据训练样本是否属于某一或一些输入区域而定。

假如训练样本
)}(),({t y t x 属于多个输入划分区域, 那么它将同时修
正多个i θ。

总而言之, 能够采取下述在线估量算法实时估量模糊规则参数i v , i r , i θ。

步骤1: 确定规则个数q 及重合度)21(<<σσ。

步骤2: 初始化输入中心点i v 及i θ, 以及方差)0(i P , 1=i n , q i ,,2,1 =这里α是一个较大数, I 为
单位矩阵。

步骤3: 输入训练样本)}(),({t y t x 。

步骤4: 先按式(7)确定最近中心点c v ,然后按式(8)
修正c v 。

步骤5: 按式(9)修正i r （q i ,,2,1 =） 步骤6: 按式(10)或式(11)修正i θ。

步骤7: 转到步骤3。

3仿真算例
本文以一个二阶非线性离散方程为例来验证本文所开发算法有效性, 此方程以下,
)()
1()(1]
5.2)()[1()()1(22t u t y t y t y t y t y t y +-+++-=
+ (12)
利用输入信号 )25/2sin()(t t u π=200,,2,1 =t 从对象(12)式中产生200个样本点。

采取本文方法建立系统模
糊模型, 我们确立)1(-t y , )(t y , )(t u 作为输入向量,
规则数为5。

本文采取模型逼进性能指标
∑=-=
N
t t y t y N e 1
2*))()((1来衡量辨识正确程度, 其中)(t y 是模型实际输出, )(*t y 是估量输出, N 是采样点
数, 图1给出了采取本文方法辨识结果, 辨识精度为0.0214, 时延为0.3秒, 实线为理论值, 虚线为辨识值。

从以上计算结果能够看出, 利用本文所提出模糊辨识方法来辨识非线性系统模型, 能够很好跟踪模型输出结果改变趋势, 辨识精度较高, 跟踪效果很好。

4 结论
本文提出一个用于非线性模型在线模糊辨识方
法, 该方法利用模糊聚类法对结构系统响应数据进行模糊处理, 利用卡尔曼滤波方法实现规则参数在线局部估量, 同时本文提出了自适应模糊推理概念和方法。

此方法因为使用了模糊方法来处理数据, 所以对所辨识模型逼进度高, 所用规则数少, 辨识过程中可选择参数对辨识结果不敏感。

仿真算例表明此方法对非线性系统含有良好跟踪性。

参考文件
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its application to modeling and control .IEEE Transit., Man, and Cybern, 1985, SMC-15(1):116-132.
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Via Fuzzy Logic. IEEE Trans on System Man and Cabernet 1996, 26(1):100-106.
[6] Yoshinari Y. Construction of Fuzzy Model Technique.
Fuzzy Sets and Systems. 1993,34(2):157-165.
作者介绍:
吴召明－男, 山东莱芜人, 北京邮电大学硕士硕士,
工作单位: 莱钢集团自动化部, 关键研究方向: 自动控制、 系统辨识与信号处理。

张学庆－男, 山东莱芜人, 工作单位: 莱钢集团自动
化部, 职称: 工程师
宋晓云－女, 山东莱芜人, 工作单位: 莱钢集团自动
化部, 职称: 工程师
赵乐生－男, 山东莱芜人, 工作单位: 莱钢集团自动
图1 实际输出与估量输出比较
y (t )
时间（s）
化部, 职称: 高级工程师
王芳－女, 山东莱芜人, 北京邮电大学硕士硕士, 工作单位: 莱钢集团自动化部, 关键研究方
向: 系统辨识与信号处理、自动控制。

第一作者联络方法:
吴召明－
具体地址: 山东省莱芜市钢城区自动化部
邮编: 271104
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