2021-2022学年河南省郑州外国语中学初三数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年河南省郑州外国语中学初三数学第一学期期末试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）同学们，我们是2022届学生，这个数字2022的相反数是( ) A ．2022
B ．
1
2022
C ．2022-
D ．1
2022
-
2．（3分）18.2万用科学记数法表示为( ) A ．51.8210⨯
B ．518.210⨯
C ．418.210⨯
D ．60.18210⨯
3．（3分）如图是四家车企的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）下列计算正确的是( ) A ．22a a a ⋅= B ．235222a a a += C ．358()a a =
D ．3311
()28
x x -=-
5．（3分）如图．在ABC ∆中，AB AC =，分别以点A ，B 为圆心．大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 分别交BC 、AB 于点D 和点E ，若52C ∠=︒．则CAD ∠的度数是( )
A ．22︒
B ．24︒
C ．26︒
D ．28︒
6．（3分）若方程2210ax x ++=有实数根．则实数a 的取值范围是( ) A ．1a <
B ．1a
C ．1a 且0a ≠
D ．1a <且0a ≠
7．（3分）现有四张卡片依次写有“中”、“考”、“必”、“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率是( )
A ．13
B ．
14
C ．
16
D ．
56
8．（3分）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用
B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外
书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为( ) A ．10801080
615x x =+- B ．10801080
615x x =-- C ．
10801080
615x x
=-+ D ．
10801080
615x x
=++ 9．（3分）如图，ABC ∆中，229AB AC ==，8BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则ADE ∆的面积是( )
A ．20
B ．16
C ．12
D ．10
10．（3分）如图，在矩形ABCD 中，1BC =，60ADB ∠=︒，动点P 沿折线AD DB →运动到点B ，同时动点Q 沿折线DB BC →运动到点C ，点P ，Q 在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P ，Q 在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t 秒，PBQ ∆的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写一个大于2-小于1-的无理数 ．
12．（3分）在不等式组2029x x -⎧⎨⎩
的解集中，最大的整数解是 ．
13．（3分）已知某函数的图象经过(3,2)A ，(2,3)B --两点，下面有四个推断： ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象与直线y x =平行； ②若此函数的图象为双曲线，则(6,1)--也在此函数的图象上；
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交； ④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线1
2
x =左侧，所有合理推断的序号是 ．
14．（3分）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为6，中心为O ，在正方形外有一点P ，6OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的最大值为 ．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，22BC =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到△A EF '，连接A C '，A D '．则当△A DF '是直角三角形时，
FD 的长是 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，再求值：222()a ab b a b a b a b ab
---÷
--，其中23a =，23b = 17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计
图：
请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 人，n = ，a = ； （2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；
（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．
18．（9分）如图，反比例函数(0)k
y x x
=>和一次函数y mx n =+的图象过格点（网格线的交点）B 、P ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，关于x 的不等式
k
n mx x
->的解集是： ． （3）在图中用直尺和2B 铅笔画出1个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点B ，点P ； ②矩形的面积等于5
4
k 的值．
19．（9分）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD 为6m ，坡角ABD ∠为30︒，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB ∠为16︒，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC 增加的长度．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin160.28︒≈，cos160.96︒≈，tan160.29)︒≈
20．（9分）为纪念一二⋅九运动86周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：3辆甲型客车与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人． （1）请帮忙算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
（2）我校八年级学生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
21．（10分）已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为(3,4)，且过点(0,13)． （Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移(0)m m >个单位长度后得到新抛物线． ①若新抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且3OB OA =，求m 的值；
②若1(P x ，1)y ，2(5,)Q y 是新抛物线上的两点，当11n x n -时，均有12y y ，请直接写出n 的取值范围． 22．（10分）如图，在菱形ABDE 中，120ABD ∠=︒，点C 是边AB 的中点，点P 是对角线AD 上的动点（可与点A ，D 重合），连接PC ，PB ．已知6AD cm =，若要PC PB ，求AP 的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP 长为x cm ，PC 长为1y cm ，PB 长为2y cm ，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值，表格中的a = ； /x cm 0 1 2 3
4 5 6 1/y cm
1.73 1.00 1.00 a
2.64
3.61
4.58 2/y cm
3.46
2.64
2.00
1.73
2.00
2.64
3.46
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，并画出函数1y 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC PB 时，估计AP 的长度的取值范围是 ；请根据图象估计当AP = 时，PC 取到最小值．（请保留小数点后两位）
23．（11分）问题提出
如图（1），ABC
=，EC DC
=，点E
∠=∠=︒，BC AC
∆和DEC
∆都是等腰直角三角形，其中90
ACB DCE
在ABC
∆内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出表示AF，BF，CF之间的数量关系的等式：；（2）再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C作CG CF
⊥，交BF于点)
G
问题拓展
如图3，若ABC
BAC EDC
∠=∠=︒，点E
∠=∠=︒，90
∆都是含30︒的直角三角形，有90
ACB DCE
∆和DEC
在ABC
∆内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分） 1．【解答】解：2022的相反数是2022-， 故选：C ．
2．【解答】解：18.2万5182000 1.8210==⨯． 故选：A ．
3．【解答】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C ．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C ．
4．【解答】解：A ．23a a a ⋅=，故本选项不合题意；
B ．22a 与32a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C ．3515()a a =，故本选项不合题意；
D ．3311
()28
x x -=-，故本选项符合题意．
故选：D ．
5．【解答】解：由作法得MN 垂直平分AB ，
DA DB ∴=， DAB B ∴∠=∠，
AB AC =， 52B C ∴∠=∠=︒，
18025276BAC ∴∠=︒-⨯︒=︒， 52DAB B ∠=∠=︒，
765224CAD BAC DAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
6．【解答】解：当0a ≠时，是一元二次方程， 原方程有实数根，
∴△2241440a a =-⨯=-，
1a ∴；
当0a =时，210x +=是一元一次方程，有实数根． 故选：B ．
7．【解答】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的有2种结果， 所以抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率为21
126
=， 故选：C ．
8．【解答】解：每个A 型包装箱可以装书x 本，每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B 型包装箱可以装书(15)x +本．
依题意得：10801080
615x x
=-+． 故选：C ．
9．【解答】解：AB AC =，AD 平分BAC ∠，
AD BC ∴⊥，2BD CD ==，
10AD ∴==， 11
4102022
ADC S CD AD ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=，
点E 为AC 的中点，
ADE ∴∆的面积1
102
ADC S ∆=⨯=，
故选：D ．
10．【解答】解：四边形ABCD 是矩形， 1AD BC ∴==，90A C ∠=∠=︒，//AD BC ， 60ADB DBC ∴∠=∠=︒， 30ABD CDB ∴∠=∠=︒，
22BD AD ∴==，
当点P 在AD 上时，21(22)(1)sin 60)(01)2S t t t t =
⋅-⋅-⋅︒-<<，
当点P 在线段BD 上时，21(42)1)2)2S t t t =--=+-<，
观察图象可知，选项D 满足条件， 故选：D ．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：写一个大于2-小于1-的无理数2
π
-，
故答案为：2
π
-
．
12．【解答】解：2029x x -⎧⎨⎩
①
②，
解不等式①，得2x ， 解不等式②，得92
x
， 所以不等式组的解集是922
x ， 所以最大整数解是4， 故答案为：4x =．
13．【解答】解：①设过(3,2)A ，(2,3)B --两点的直线的关系式为y kx b =+，则32
23k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，
解得1
1k b =⎧⎨=-⎩
，
所以直线的关系式为1y x =-， 所以直线1y x =-与直线y x =平行， 因此①正确；
②设过(3,2)A ，(2,3)B --两点的反比例函数的关系式为k
y x
=， 则，326k =⨯=， 因为6(1)6-⨯-=，
所以，(6,1)--也在此函数的图象上， 故②正确；
③设过(3,2)A ，(2,3)B --两点的抛物线的关系式为2y ax bx c =++，
则932423a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩
，
所以1a b +=，
当抛物线开口向下时，有0a <，则0b >， 对称轴02b
x a
=-
>， 由图象可知，当对称轴032b
x a
<=-<时，抛物线与y 轴的交点在正半轴， 当32b
a
-
>时，抛物线与y 轴的交点在负半轴， 因此③不正确；
④当抛物线开口向上时，有0a >，而1a b +=，即1b a =-+， 所以对称轴111122222
b a x a a a -+=-
=-=-<， 因此函数图象对称轴在直线1
2
x =左侧，故④正确， 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④．
14．【解答】解：如图：设AB 的中点是E ，OP 过点E 时，点O 与边AB 上所有点的连线中，OE 最小，此时d PE =最大，
正方形ABCD 边长为2，O 为正方形中心，
1AE ∴=，45OAE ∠=︒，OE AB ⊥，
1OE ∴=， 2OP =， 1d PE ∴==；
故答案为：1．
15．【解答】解：如图①所示，当90DA F '∠=︒时，90EA F A '∠=∠=︒，
E ∴，A '，D 在同一直线上，
由题可得，22AD BC ==，112AE AB A E '===， Rt ADE ∆中，22221(22)3DE AE AD =+=+=，
312A D '∴=-=，
DA F A '∠=∠，A DF ADE '∠=∠，
ADE ∴∆∽△A DF '，
∴
DF DA DE DA '=，即2322
DF =， 解得322DF =； 如图②所示，当90A FD '∠=︒，90AFA '∠=︒，
由题可得，1452
AFE AFA '∠=∠=︒， 45AEF AFE ∴∠=∠=︒，
1AF AE ∴==，
221DF AD AF ∴=-=-；
综上所述，DF 的长为
322或221-． 故答案为：322
或221-．
三、解答题（共75分）
16．【解答】解：原式222a ab b ab a b a b
-+=⋅-- 2()a b ab a b a b
-=⋅-- ab =，
当23a =23b =
原式(23)(23)=+
43=-
1=．
17．【解答】解：（1）抽取的学生有8040%200÷=（人)， 3036054200
︒⨯=︒， 54n ∴=，
50100%25%200
⨯=， 25a ∴=， 故答案为：200，54，25；
（2）参加朗诵社团活动的学生人数为200(503080)40-++=（人)，
补全条形统计图如图：
；
（3）估计参加乒乓球社团活动的学生人数为240040%960⨯=（人)．
答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数960人．
18．【解答】解：（1）反比例函数(0)k y x x
=>的图象过格点(2,2)P ， 224k ∴=⨯=，
∴反比例函数的解析式为4y x
=， 一次函数y mx n =+的图象过格点(2,2)P ，(4,1)B ，
∴2241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得123
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为1
32
y x =-+； （2）反比例函数值大于一次函数值时x 的取值范围是02x <<或4x >，
故答案为02x <<或4x >；
（3）如图所示：
矩形PBDC 、矩形PBEF 即为所求作的图形．
．
19．【解答】解：在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，6AD m =，
22612()AB AD m ∴==⨯=，
在Rt ACD ∆中，16ACD ∠=︒，6AD m =，
6621.43()sin sin160.28
AD AC m ACD ∴==≈≈∠︒， 则自动扶梯AC 增加的长度为：21.43129.4()m -≈，
答：自动扶梯AC 增加的长度约为9.4m ．
20．【解答】解：（1）设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是a 人、b 人，
由题意可得：3427623199a b a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得3245a b =⎧⎨=⎩
， 答：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是32人、45人；
（2）设租用甲型客车x 辆，则租用乙型客车(20)x -辆，总费用为w 元，
8001000(20)20020000w x x x =+-=-+，
w ∴随x 的增大而减小，
我校八年级学生共850人，
3245(20)850x x ∴+-， 解得11313x ， x 为整数，
∴当3x =时，w 取得最小值，此时19400w =，2017x -=，
答：最节省费用的租车方案是租用甲型客车3辆，乙型客车17辆，最低费用是19400元．
21．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2y ax bx c =++的顶点为(3,4)，
设2(3)4y a x =-+，
将点(0,13)代入2(3)4y a x =-+，
解得1a =，
2613y x x ∴=-+；
（Ⅱ）①抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移(0)m m >个单位长度， 2(1)4y x m ∴=-+-，
抛物线与x 轴有两个交点，
40m ∴->，
4m ∴>，
令0y =，则1x =或1x =，
点A 在点B 的左侧，
1OA ∴，1OB ，
3OB OA =，
31∴=，
4∴=，
∴2，
8m ∴=； ②新抛物线的对称轴为直线1x =，
∴对称轴与P 点的距离为1|1|x -，对称轴与Q 点的距离为4， 12y y ，
1|1|4x ∴-，
135x ∴-，
当11n x n -时，均有12y y ，
13n ∴--，5n ，
25n ∴-．
22．【解答】解：（1）如图：
3x =时，
6AD cm =，3AP x cm ==，
P ∴是AD 中点，
四边形ABDE 是菱形，
P ∴为对角线AD 与BE 的交点，
90APB ∴∠=︒， C 是AB 中点， 12CP AB ∴=， 120ABD ∠=︒， 30PAB ∴∠=︒，
12
BP AB ∴=， 2 1.73CP BP y ∴===，即 1.73a =，
故答案为：1.73；
（2）画出函数1y 的图象如图：
（3）由图象可知，当PC PB 时，估计AP 的长度的取值范围是03AP ， 根据图象估计当 1.50AP =时，PC 取到最小值， 故答案为：03AP ，1.50．
23．【解答】问题探究：（1）解：结论：2BF AF CF -=； 理由：如图（2），90ACD ACE ∠+∠=︒，90ACE BCE ∠+∠=︒， BCE ACD ∴∠=∠，
BC AC =，EC DC =，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
BE AD ∴=，EBC CAD ∠=∠，
而点D 、F 重合，故BE AD AF ==， 而CDE ∆为等腰直角三角形，
故2DE EF CF ==，
则2BF BD BE ED AF CF ==+=+； 即2BF AF CF -=；
故答案为：2BF AF CF -=；
（2）证明：如图（1），由（1）知，()ACD BCE SAS ∆≅∆，
CAF CBE ∴∠=∠，BE AD =，
过点C 作CG CF ⊥交BF 于点G ，
90ACF ACG ∠+∠=︒，90ACG GCB ∠+∠=︒， ACF BCG ∴∠=∠，
CAF CBE ∠=∠，BC AC =，
()BCG ACF ASA ∴∆≅∆，
GC FC ∴=，BG AF =，
故GCF ∆为等腰直角三角形，则2GF CF ， 则2BF BG GF AF CF =+=+，
即2BF AF CF -；
问题拓展：解：结论：32BF AF FC -=． 理由：ABC ∆和DEC ∆都是含30︒的直角三角形， 3BC AC ∴=，3EC CD =， ∴3BC
EC
AC CD ==，
ACB DCE ∠=∠，
BCE ACD ∴∠=∠， BCE ACD ∴∆∆∽， CAD CBE ∴∠=∠， 过点C 作CG CF ⊥交BF 于点G ，
由（2）知，BCG ACF ∠=∠， BGC AFC ∴∆∆∽， ∴3BG
BC
GC
AF AC CF ===
则3BG AF ，3GC FC =， 在Rt CGF ∆中，222GF GC FC CF =+=， 则32BF BG GF AF FC =++， 即32BF AF FC =．。