2019年北京市高考数学试卷(文科)

2019年北京市高考数学试卷（文科）
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合A={ x|-1＜x＜2} ，B={ x |x＞1} ，则A∪B=（）
A. B. C. D.
2. 已知复数z=2+ i，则z? =（）
A. B. C. 3 D. 5
3. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A. B. C. D.
4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2=1（a＞0）的离心率是，则a=（）
5. 已知双曲线-y
A. B. 4 C. 2 D.
6. 设函数f（x）=cosx+ b sin x（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
m2-m1= lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）
A. B. C. D.
8. 如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上
的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面
积的最大值为（）
A.
B.
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二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9. 已知向量=（-4，3），=（6，m），且⊥，则m=______．
，
10. 若x，y 满足
则y-x 的最小值为______，最大值为______．，
，
11. 设抛物线y
2=4x的焦点为F，准线为l，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为______．12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上
小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为______．
13. 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
______．
14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60元/盒、65元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水
果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付______元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则
x的最大值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15. 在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=- ．
（Ⅰ）求b，c 的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
16.设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支
付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校
所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
不大于2000元大于2000元支付方式
仅使用A27人3人
仅使用B24人1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中
点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
19.已知椭圆C：+=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
圆C交于两个不同点P、Q，直线（Ⅱ）设
O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±）1与椭
AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|?|ON|=2，求证：直线l经过定点．
20.已知函数f（x）=x3-x2+x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为l的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记
F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
答案和解析
21.【答案】C
【解析】
解：∵A={x|-1 ＜x＜2}，B={x|x ＞1}，
∴A∪B={x|-1 ＜x＜2} ∪{x|x ＞1}= （-1，+∞）．
：C．
故选
直接由并集运算得答案．
算题
．
考查
并集及其运算，是基础的计
本题
22.【答案】D
【解析】
解：∵z=2+i，
∴z? = ．
：D．
故选
直接由求解．
算题
．
的计
考查
本题
复数及其运算性质，是基础
23.【答案】A
【解析】
增，和在（0，+∞）上都是解：在（0，+∞）上单调递
减函数．
：A．
故选
判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．
调性．
数函数和反比例函数的单
幂函数、指数函数、对
考查
24.【答案】B
【解析】
解：模拟
程序的运行，可得
k=1，s=1
s=2
体，k=2，s=2
不满
行循环
足条件k≥3，执
体，k=3，s=2
行循环
足条件k≥3，执
不满
出s的值
为2．
，满
此时
足条件k≥3，退出循环，输
故选：B．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
25.【答案】D
【解析】
2=1（a＞0），得b2=1，
解：由双曲线-y
又e= ，得，即，
解得，a= ．
故选：D．
由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2=c2 联立求得a 值．
本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．
26.【答案】 C
【解析】
解：设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），
则“b=0?”“（f x）为偶函数”，
“（f x）为偶函数”? “b=0，”
∴函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），
则“b=0是”“（f x）为偶函数”的充分必要条件．
故选：C．
“b=0?”“（f x）为偶函数”，“（f x）为偶函数”? “b=0，”由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与
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解：设太阳的星等是m1=-26.7，天狼星的星等是m2=-1.45，
由题意可得：，
∴，则．
故选：A．
把已知熟记代入m2-m1= lg ，化简后利用对数的运算性质求解．
本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
28.【答案】 B
【解析】
解：由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，
即有QO=2，Q 到线段AB 的距离为2+2cosβ，
AB=2?2sin β=4sin，β
扇形AOB 的面积为?2β?4=4，β
△ABQ 的面积为（2+2cos ）β?4sin β=4sin β+4sin βcos β=4，sin β+2sin2 βS△AOQ+S△BOQ=4sin β+2sin2- β?2?2sin2 β=4s，in β
即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin．β
故选：B．
由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线
QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属
于中档题．
29.【答案】8
【解析】
解：由向量=（-4，3），=（6，m），且⊥，
得，
∴m=8．
故答案为：8．
⊥则，代入，，解方程即可．
本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
30.【答案】-3 1
【解析】
解：由约束条件作出可行域如图，
A（2，-1），B（2，3），
令z=y-x，作出直线y=x，由图可知，
平移直线y=x，当直线z=y-x 过A 时，z有最小值为-3，过B 时，z有最大值1．故答案为：-3，1．
由约束条件作出可行域，令z=y-x，作出直线y=x，平移直线得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
2+y2=4 11.【答案】（x-1）
【解析】
解：如图，
抛物线y2=4x 的焦点为F（1，0），
∵所求圆的圆心F，且与准线x=-1 相切，∴圆的半径为2．
则所求圆的方程为（x-1）2+y2=4．
故答案为：（x-1）2+y2=4．
由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合
的解题思想方法，是基础题．
31.【答案】40
【解析】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积V= ．
故答案为：40．
由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
32.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m∥α
【解析】
解：由l，m 是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：
若l⊥α，l⊥m，则m∥α．
故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．
由l，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，
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则m∥α．
中线
、
面、面面间
的位置
空间
本题
的判断，考查
考查
满足条件的真命题
推理能力与计
算能力，属于中档题．
，考查
关系等基础
知识
33.【答案】130 15
【解析】
客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140（元），，顾
解：①当x=10时
客需要支付140-10=130（元）；
即有顾
②在促销活动中，设订单总金额为m元，
可得（m-x）×80%≥m×70%，
即有x≤，
意可得m≥120，
由题
可得x≤=15，
则x的最大值为15元．
：130，15
故答案为
①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；
②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）×80%≥m×7，0%解不等式，
结合恒成立思想，可得x 的最大值．
应
用，考查
运算能力，属于中档题．
化简
的
本题
题
考查
不等式在实
际问
34.【答案】解：（1）∵a=3，b-c=2，cosB=- ．
2=a2+c2-2accosB ∴由余弦定理，得 b
= ，
∴b=7，∴c= b-2=5；
（2）在△ABC 中，∵cosB =- ，∴sinB= ，
由正弦定理有：，
∴sinA= = ，
∴sin（B+C）=sin（-A）=sin A=．
【解析】
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（1）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方
程，解方程即可；
（2）sin（B+C）=sin（-A）=sinA，根据正弦定理可求出sinA．
本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．
35.【答案】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
∴（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），
∴（-2+2d）
2=d（-4+3d），
解得d=2，
∴a n=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12．
（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得：
22
S n=-10n+=n-11n=（n-）-，
∴n=5或n=6时，S n取最小值-30．
【解析】
（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{a n}的通项公式．
2-11n=（n-）2-，由此能（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得S n=-10n+
=n
求出S n的最小值．
本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
36.【答案】解：（Ⅰ）由题意得：
从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，
∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40，
∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×=400人．
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，
从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，
该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，
∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p==．
（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，
理由如下：
上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．
现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，
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发现他本月的支付金额大于2000 元的概率为，
虽然概率较小，但发生的可能性为．
故不能认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化．
【解析】
（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，求出A，B 两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数．
（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
37.【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，
∴BD ⊥PA，BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，PA、AC 平面PAC，
∴BD ⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，
∴△是等边三角形，
∵E 为CD 的中点，
∴⊥，
∵∥，
∴AB⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD ，
∴PA⊥AE，
∵PA∩AB=A，PA、AB 平面PAB，
∴AE⊥平面PAB，
∵AE 平面PAE，
∴平面PAB⊥平面PAE．
解：（Ⅲ）棱PB 上存在中点F，使得CF∥平面PAE．
理由如下：分别取PB、PA 的中点F、G,连接CF、FG、EG，
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在三角形PAB 中，∥且，
在菱形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以CE∥AB，且，
所以CE∥FG，且，
即四边形CEGF 为平行四边形，
所以∥，
又，，
∴.
【解析】
（Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）推导出AB⊥AE，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平
面PAE．
（Ⅲ）棱PB上存在中点F，分别取PB、PA 的中点F、G,连接CF、FG、EG，推导出四边形CEGF 为平行四边形，所以，进而CF∥平面PAE．
本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判
断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理
能力与计算能力，属于中档题．
38.【答案】解：（Ⅰ）椭圆C：+ =1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
可得b=c=1，a= = ，
2
则椭圆方程为+y =1；
2+2 y2=2 联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，
（Ⅱ）证明：y=kx+t 与椭圆方程x
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
△=16k
2t2-4（1+2 k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=- ，x1x2= ，
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（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）22
=（1+t-2t）+k
?+（kt-k）?（-）=，
|OM|?|ON|=2，即为|?|=2，
2
即有|t
-1|=（t-1）2
，由t≠±，1解得t=0，满足
△＞0，
即有直线
l方程为y=k x，恒过原点（0，0）．
【解析】
（Ⅰ）由题
意可得b=c=1，由a，b，c的关系，可得a，进
而得到所求椭圆方程；
2+2y2=2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线（Ⅱ）y=kx+t与椭
圆方程x
恒过定点的求法，计
算可得结
论
．
本题
考查
椭圆
的方程和运用，考查联立直线
方程和椭圆方程，运用韦
达定理，
考查
直线
恒过定点的求法，考查
化简
整理的运算能力，属于中档题．
39.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=，
由f′（x）=1得x（x-）=0，
得，．
又f（0）=0，f（）=，
∴y=x和，
即y=x和y=x-；
（Ⅱ）证明：欲
证x-6≤f（x）≤x，
只需证-6≤f（x）-x≤0，
令g（x）=f（x）-x=，x∈[-2，4]，
则g′（x）==，
可知g′（x）在[-2，0]为正，在（0，）为负，在[，]为正，
∴g（x）在[-2，0]递增，在[0，]递减，在[，]递增，
又g（-2）=-6，g（0）=0，g（）=-＞-6，g（4）=0，
∴-6≤g（x）≤0，
∴x-6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
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F（x）=|f（x）-（x+ a）|
=|f（x）-x-a|
=|g（x）-a|
∵在[-2，4]上，-6≤g（x）≤0，
令t= g（x），h（t）=|t -a|，
当t∈[-6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，
化为
则问题转
①当a≤-3 时，M（a）=h（0）=|a|=-a，
3；
此时-a≥3，当a=-3 时，M（a）取得最小值
②当a≥-3 时，M（a）=h（-6）=|-6-a|=|6+a|，
∵6+a≥3，∴M（a）=6+ a，
也是a=-3 时，M （a）最小为3．
为
-3．
时 a 的值
综上，当M（a）取最小值
【解析】
数f ′（x），由f ′（x）=1 求得切点，即可得点斜式方程；
（Ⅰ）求导
数研究g（x）
-6≤（f x）-x≤0，再令g（x）=f（x）-x，利用导
不等式转化为
（Ⅱ）把所证
；
点即可得证
调性和极值
在[-2，4]的单
合绝
函数h（t）=|t-a|，结（Ⅲ）先把F（x）化为|g（x）-a|，再利用（Ⅱ）的结
论，引进
称
轴
对
t=a与-3 的关系分析即可．
函数的对
调性，通过
对值
称性，单
大．
度较
数的综合应
用，构造法，转化法，数形结合法等，难
此题考查了导
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