2012年高考数学 仿真模拟卷3

2012届高考数学仿真模拟卷——新课标版（文18）
第Ⅰ卷（共60分）
一、
选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．函数3
()2f x x =的图像
Ａ．关于y 轴对称 Ｂ．关于x 轴对称 Ｃ．关于直线y=x 对称 Ｄ．关于原点对称
2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ． 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ． 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ． 若l α//，m α⊂，则l m // D ． 若l α//，m α//，则l m // 3．若()()()()
b m a b a b a -+-==//2,0,3,2,1，则=m A ．12-
B ．1
2
C ．2
D ．2- 4．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用 茎叶图表示（如图）1s ，2s 分别表示甲、乙选手分数的标 准差，则1s 与2s 的关系是（填“>”、“<”或“＝”） A ．12s s >
B ．12s s =
C ．12s s <
D ．不确定
5．若集合2
2{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =
Ａ．(2,1)- Ｂ． (2,1]- Ｃ．[2,1)- Ｄ．以上都不对
6．要得到函数sin(2)3
y x π
=+的图像可将x y 2sin =的图像
A ．向右平移
6π个单位长度 B ．向左平移6π
个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度
7．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为4
π
. 则该几何体的俯视图可以是
第4题图
8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示 该函数在区间(]1,2-上的图像,则(2011)(2012)f f += A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
9．数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2
217n S n n =-，则当S n 取
得最小值时n 的值为
Ａ．4或5 Ｂ．5或6 Ｃ．4 Ｄ．5
10．“3a =”是“直线4y x =+与圆()()2
2
38x a x -+-=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
11．已知变量x 、y 满足约束条件y x x y 1y 1≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则32z x y =+的最大值为
Ａ．3- Ｂ．
5
2
Ｃ．5- Ｄ．4 12．在命题p 的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为()f p ，已知命题p ：“若两条直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=”
．那么()f p = Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.
13．已知复数z 满足(34)5i z i -=，则||z = ；
14．执行右边的程序框图，输出的y = ；
第8题图
15．若2(1)
()1()(1)2
x
x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 则((2))f f = ； 16．若函数2()log (1)1f x x =+-的零点是抛物线
2x ay =焦点的横坐标，则=a ．
三、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知向量(3sin cos ,1)m x x =-，1
(cos ,)2
n x =，若()f x m n =⋅． (1) 求函数)(x f 的最小正周期；
(2) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且33,()2122
C c f =+=π （C 为锐角），2sin sin A B =，求C 、a b 、的值． 18.(本小题满分12分)
设数列{}n a 是一等差数列，数列{}n b 的前n 项和为2
(1)3
n n S b =-，若2152,a b a b ==．
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19.（本小题满分12分）
某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示. 已知
在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 . （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中
抽取教职工多少名？
（3）已知96,96≥≥z y ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 20.（本小题满分12分）
如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，
AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．
（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ；
第一批次 第二批次
第三批次
女教职工 196 x y 男教职工
204
156 z
（2）求证：BF ∥平面ACGD ；
（3）求三棱锥A BCF -的体积． 21.（本小题满分12分）
设椭圆M ：22
221y x a b +=(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线
122=-y x 的离心率互为倒数，且内切于圆422=+y x ．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）若直线m x y +=2交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点(1,
2)P ，
求△PAB 面积的最大值．
请考生在第22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. （10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直
径的O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E . （1）求证：E 是AB 的中点；
（2）求线段BF 的长.
23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知:2cos C ρθ=，直线:cos sin 4,l ρθρθ-=求过点C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （10分）选修4-5：不等式选讲
已知c b a ,,均为正数，证明：2222111
()63a b c a b c
+++++≥，并确定c b a ,,为何值时，
等号成立.
参考答案
A
E
B
F
O D
C
22题图
一、选择题：
1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ａ 6．Ｂ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ａ 11．Ｄ 12．Ｂ 二、填空题： 13．１ 14．7 15．1
16
16．14
三、解答题
17．.解 ：(1)2
1
()3sin cos cos 2
f x m n x x x =⋅=-+
…………………２分
1cos 212222
x x +=
-+
12cos 22x x =
-sin(2)6
x π
=- …………………４分 ∴ ()f x 的最小正周期为π. …………………６分
（2）∵ (
)sin 0,2122
3
C f C C C ππ
π
+==<<
∴=
……………………８分
∵ 2sin sin A B =．由正弦定理得2,b a =① ……………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2
2
92cos
3
a b ab π
=+-， ② ……………………10分
解①②组成的方程组，得a b ⎧=⎨=⎩ ……………………12分
18．解：⑴
11112
(1),23
S b b b =-=∴=-，
又 2212222(1)2,43
S b b b b b =-=+=-+∴=，∴ 252,4a a =-=， ……………2分 ∵{}n a 为一等差数列，∴公差526
233
a a d -=
==， ……………4分 即2(2)226n a n n =-+-⋅=-． ……………6分
⑵ ∵112(1)3n n S b ++=
- ①，2
(1)3
n n S b =- ②, ①—②得 1112
()3
n n n n n S S b b b +++-=-=， 12n n b b +∴=-， ……………9分
∴数列{}n b 是一等比数列，公比12,2q b =-=-，即(2)n n b =-.
∴()[]
1232
--=
n n S ． ……………………………………12分 19．解: (1)由16.0900
=x
,解得144=x . ……………3分
(2)第三批次的人数为200)156144204196(900=+++-=+z y , 设应在第三批次中抽取m 名，则
900
54
200=
m ，解得12m =. ∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分 （3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，
由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：
),99,101(),100,100(),101,99(),102,98(),103,97(),104,96(
)96,104(),97,103(),98,102(，共9个，
而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个，
∴4
()9
P A =
. ……………………………………12分 20．解:（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =,
平面DEFG 平面DE ADEB =
DE AB //∴.AB DE =DE AB = ,
∴ADEB 为平行四边形，AD BE //. …………2分
⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ， ⊂BE 平面BEF ,
∴平面⊥BEF 平面DEFG . …………4分
（2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ， 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，
∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // …………………………6分 ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //， 又BF ⊄平面ACGD 故 BF ∥平面ACGD . …………………………8分 （3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD.
1
3A BCF F ABC ABC
V V S
AD --==⋅⋅＝112
(12)2323
⋅⋅⋅⋅=.…………………………12分 21．解：（12，则椭圆的离心率为2
2
c e a =
= ……………2分 ,424422==+a y x ，则的直径为圆
得：⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧-===222224
2c a b a c
a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧===222
b
c a
所求椭圆M 的方程为22
142
y x +=． ………………………………………6分 (2 ) 直线AB
的直线方程：y m =
+.
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=1
4
2222y x m
x y ，得22440x m ++-=，
由0)4(
16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m
∵12
2x x m +=-，21244
m x x -= .
∴12
|||
AB x x =-===………………………………………9分
又P 到AB
的距离为3
|
|m d =.
则1||
2
ABC
S AB d ∆====
22(8)2m
m +-≤=当且仅当2(m =±∈-取等号
∴max ()ABC S ∆= ………………………………………………12分
22. 解析：（1）连接,,OD OF DF
四边形ABCD 是边长为a 的正方形， ,90BC CD EBC OCD ∴=∠=∠=，
,,,,OF OC DF DC OD OD OFD OCD ===∴∆≅∆ 1,,2
ODC ODF ECB FDC ODC ∴∠=∠∠=∠=∠ ,EBC OCD ∴∆≅∆
1
,2
EB OC AB ∴==
即E 是AB 的中点. （2）由BC 为O 的直径易得
11,,,22BEC BF CB BF CE S BF CE CB BE BF BE CE ∆⊥∴=
=∴=∴.
23. 解：C 的直角坐标方程是2220x y x +-=，即22(1) 1.x y -+= 直线l 的直角坐标方程为40.x y --= 圆心(1,0),C
所以过C 与l 垂直的直线方程为10x y +-=.
化为极坐标方程为cos sin 10,ρθρθ+-=即cos()4πρθ-=
24. 解：证明：（证法一）因为,,a b c 均为正数，由平均值不等式得
2
222
3
3(),
a b c abc ++≥
①
1
3
1113(),abc a b c -++≥ 所以2
231119().abc a b c -⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
② 故22
2
2
22
33
111()3()9()a b c abc abc a b c
-+++++≥+.
又223
3
3()9()abc abc -+≥ ③
所以原不等式成立.
当且仅当a b c ==时，①式和②式等号成立. 当且仅当223
3
3()9()abc abc -=时，③式等号成立. 即当且仅当14
3a b c ===时，原式等号成立.。