高三数学统计案例试题答案及解析

高三数学统计案例试题答案及解析
1.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）
D.阅读量
【答案】D
【解析】根据公式分别计算得：A.
， B. C. D. ，选项D的值最大，所以
与性别有关联的可能性最大为D. 【考点】关联判断
2. 对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表
由
附表：
则下列说法正确的是：（ ） A ．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”； B ．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别无关”； C ．有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”； D ．有以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”； 【答案】C 【解析】因为,所以有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”.
3. 设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A ∈S(m,n),记r i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n ）：
记K(A)为∣r 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

对如下数表A ，求K （A ）的值；
1
1
-0.8
（2）设数表A ∈S （2,3）形如
求K （A ）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【答案】（1）0.7 （2）1 （3）
【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力
【解析】（1）因为，
所以
不妨设.由题意得.又因为，所以，
于是，，
所以，当，且时，取得最大值1。

（3）对于给定的正整数t，任给数表如下，
…
任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表
，并且，因此，不妨设，
且。

由得定义知，，
又因为
所以
所以，
对数表：
11…1…
-1-1
则且，
综上，对于所有的，的最大值为
4.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
序号12345678910
有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（ ） A. 99.9% B. 99% C. 97.5% D. 95% 【答案】B
【解析】(1)表格为
0 根据上述列联表求得k ＝≈8.802.
当H 0成立时，K 2(χ2)>6.635的概率约为0.01，而这里8.802>6.635， 所以我们有99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
5. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到 （保留三位小数），所以判定 （填“有”或“没有”）95%的把握认为主修统计专业与性别有关系。

（参考公式：
）
【答案】，有 【解析】略
6. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x 174
176
176
176
178
则y对x的线性回归方程为
A.y = x-1
B.y = x+1
C.y =" 88+"
D.y = 176
【答案】C
【解析】线性回归方程，，
7.从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子,每个盒子放一球,则1号球不放一号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为(▲)
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【解析】略
8.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况
（1）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；
（2）设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望
【答案】（1）
（2）期望1
【解析】解：（1）设“从第一小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.
由于事件A、B相互独立，且 ......4分
所以选出的4人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为
......6分
（2）可能的取值为0,1,2,3，则
，
，......10分
的分布列为
∴的数学期望 ......12分
9.（本题满分12分）
某公司有电子产品件，合格率为96％，在投放市场之前，决定对该产品进行最后检验，为了减
少检验次数，科技人员采用打包的形式进行，即把件打成一包，对这件产品进行一次性整体检验，如果检测仪器显示绿灯，说明该包产品均为合格品；如果检测仪器显示红灯，说明该包产品
至少有一件不合格，须对该包产品一共检测了次
（1）探求检测这件产品的检测次数；
（2）如果设，要使检测次数最少，则每包应放多少件产品？
【答案】解：（1）因为每一件产品被检验的次数是一随机变量，所以的取值为或
则随机变量的概率分布为
P
……………4分
所以每一件产品被检验的期望为=
于是，这件产品被检验的次数为……………………………6分
（2）由题设可知，所以=
=（当且仅当即）时等号成立
因此，要使检测的次数最少，每包应放5件。

…………………………………………12分
（不验证等号扣1分）
【解析】略
10.17．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成
绩后，得到如下的列联表：
优秀非优秀总计
已知在全部105人中抽到随机抽取2人为优秀的概率为
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”。

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人；把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的人的序号，试求抽到6或10的概率。

【答案】
【解析】略
11.（本题满分12分）
某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
频率分布表
【答案】解：（1）由题可知，第2组的频数为人, ……………… 1分
第3组的频率为, ……………… 2分
频率分布直方图如
下: ……………… 5分
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, ……… 6分第4组:人, ……… 7分
第5组:人, ……… 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
…………… 10分
第4组至少有一位同学入选的有:
9种可能。

所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为………… 12分
【解析】略
12.若列联表如下：
色盲不色盲合计
A.1.4967
B.1.64
C.1.597
D.1.71
【解析】略
13.炼钢时，通过加入有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求，假设为了炼出某特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在500g到1000g之间，用0.618法安排实验，则第二次试点加入量可以是g.
【答案】691
【解析】略
14.（本小题满分12分）
甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的数学科目成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：（规定考试成绩在[120，150]内为优秀）
甲校：
（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附：
【答案】解：（1）依题甲校抽取55人，乙校抽取50分，…………2分
故x=6，y="7 " …………4分
估计甲校优秀率为
乙校优秀率为…………6分
（2）
20
30
…………8分
…………10分
又因为…………11分
故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. …………12分
（注：未经过计算，或计算错误答出有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异的同学不得分.）
【解析】略
15.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用
列联表计算得，经查对临界值表知．
对此，四名同学做出了以下的判断：
：有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
：若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
：这种血清预防感冒的有效率为
：这种血清预防感冒的有效率为
则下列结论中，正确结论的序号是
①；②；
③；④
A．①③B．②④C．①④D．都不对
【答案】C
【解析】略
16.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】略
17.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】略
18.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如下图所示，其中支出在元的同学有人，则的值
为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
19.（本题满分12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：
若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人)：
（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率.
参考数据及公式：
①随机变量,其中为样本容量；
②独立检验随机变量的临界值参考表：
学生的数学成绩与物理成绩之间有关系
故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为
【解析】解：（1）2×2列联表为(单位:人):
数学成绩优秀数学成绩不优秀合计
…4分
（2）提出假设：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.
根据列联表可以求得. …6分
当成立时，.所以我们有的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. …8分
（3）由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. …10分
故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为. …12分
20.已知与之间的一组数据:
0123
则与的线性回归方程必过点( )
A． (2 ,2)B．(1.5, 0)C．(1, 2)D．(1.5, 4)
【答案】D
【解析】略
21.某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.
（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
【答案】（1）分布列见解析，Eξ＝20；（2）
【解析】（1）先分别求出ξ＝30,60,240的概率，然后利用对立事件概率之和为1，可以求得ξ＝0的概率，从而写出分布列和期望；（2）四次抽奖，每一次获奖概率相同，属于独立重复试验，
用二项分布方法处理。

试题解析：（1）甲抽奖一次，基本事件总数为＝120，奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.
一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P（ξ＝240）＝
三球连号的情况有1，2，3；2，3，4; 8，9，10共8种，所以P（ξ＝60）＝
仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4； 8，9各有6种.
得奖金30的概率为P（ξ＝30）＝
奖金为0的概率为P（ξ＝0）＝
ξ的分布列为：
6分
（2）由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P＝ 10分
四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数η～B（4，）故.12分
【考点】概率，随机变量分布列与期望
22.近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
（参考公式，其中）
【答案】（1）3人;（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．
【解析】（1）根据题中所给数据，通过2×2连列表，直接将如图的列联表补充完整；通过分层
抽样求出在患三高疾病的人群中抽9人的比例，即可求出女性抽的人数．（2）通过题中所给共
识计算出，结合临界值表，即可说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关．
试题解析：解（1）：
患三高疾病不患三高疾病合计
在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为
∴女性应该抽取人． 6分
（2）∵ 8分
， 10分
那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系． 12分．
【考点】1．分成抽样；2．独立性检验．
23.（本小题满分12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：
（月）
（千
克）
(1)在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点
图．
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归直线方程．
(3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．
（参考公式：，）
【答案】(1) 如图
(2) ；(3).
【解析】(1) 将有序数对所对应的点（1,0.5）、（2,0.9）、（3、1.7）、（4,2.1）、（5、2.8）、在平面直角坐标系中标出即可；(2) 先根据题目所给数据计算出，，，
，，，再将其代入中，再计算即可得到线性
回归方程；(3)将代入，可得预测值.
试题解析： (1)散点图如图所示
3分
(2)由题设，， 4分
，，， 6分
故 8分
9分
故回归直线方程为 10分
(3)当时， 11分
饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为千克． 12分
【考点】线性回归方程.
24.根据如下样本数据
0．52．0
得到的回归方程为．若，则每增加1个单位，就( )．
A．增加个单位 B．减少个单位
C．增加个单位 D．减少个单位
【答案】B
【解析】因回归方程所在直线经过样本点的中心，而通过样本数据计算出将其
代入，解得得回归方程为则每增加1个单位，就减少个单位．
【考点】回归方程．
25.已知回归直线斜率的估计值为2，样本点的中心为点(4，5)，则回归直线的方程为．
【答案】
【解析】设回归直线方程为，又经过点(4，5)，故，
【考点】回归直线
26.已知的取值如下表：
从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】由所给数据，得，，将代入到回归方程，
得，解得.
【考点】回归直线过样本点的中心.
27.（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀
请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加
该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可
以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的
分布列和期望；
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下
列联表：
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性
别无关”．
【解析】（Ⅰ）随即变量的所有可能值为0，1，2，3，
，即可求出结果．（Ⅱ）假设
冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，根据列联表，得到，因为，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”．
试题解析：解：（Ⅰ）随即变量的所有可能值为0，1，2，3
∴随即变量的分布列是
+1+2+3= 6分
（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，根据列联表，得到的观测值为：
．10分
（说明：表示成不扣分）．
因为，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． 12分
【考点】1．离散型分布列；2．独立性检验．
28.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为成立的可能性不足1%，那么的一个可能取值为( )
A．7.897B．6.635C．5.024D．3.841
【答案】A
【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然所以选A.
【考点】独立性检验
29.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（
=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.656.3 6.8289.8 1.61469108.8
表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）
（Ⅲ）46.24
【解析】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
【考点】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识30.已知下列表格所示数据的回归直线方程为 y =" 3.8x" + a，则a的值为__________.
【答案】
【解析】因为回归直线方程恒过点，则
，代入，
得
【考点】回归直线方程。