连山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

连山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 2． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6
D ．12
3． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)
2(),2()(x x x f x f x 则)1(f 的值为（ ）
A ．8
B ．8
1 C ．
2 D ．21
4． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞ 5． 已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
6． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ）
A ．M=P
B ．P ⊊M
C ．M ⊊P
D ．M ∪P=R
7． 已知双曲线﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．5
8． 下列命题的说法错误的是（ ） A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题
B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”
9． 已知圆C 1：x 2
+y 2
=4和圆C 2：x 2
+y 2
+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x+y=0 B ．x+y=2 C ．x ﹣y=2 D ．x ﹣y=﹣2 10．下列函数中，为奇函数的是（ ） A ．y=x+1 B ．y=x 2 C ．y=2x D ．y=x|x|
11．若复数
2b i
i
++的实部与虚部相等，则实数b 等于（ ） （A ） 3 （ B ） 1 （C ） 13 （D ） 12
-
12．方程1x -=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
二、填空题
13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．
14．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数
（为自然对数的底数），若
，则实数 的取值范围为______．
15．设x ∈（0，π），则f （x ）=cos 2x+sinx 的最大值是 ．
16．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．
17．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．
18．若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于。

三、解答题
19．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨
迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，
线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：=1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．
21．已知在△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求向量．
22．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．
（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；
（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥a＋b.
23．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点
（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式
（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数
y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．
24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，
228b S =（*n N ∈）．
（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T ．
连山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 2． 【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3
﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23
﹣2=6．
故选C ．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()3
1
1328
f f -===
，故选B 。

考点：分段函数。

4． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）
取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
12
111
a a ⎧>⎪⎪⎨
⎪+<⎪，∴2a <，选A ．
【解析】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，
∴==，
∴λ=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．
6．【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}；
∴P⊊M．
故选B．
7．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
8．【答案】A
【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；
B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；
C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确．
故选：A．
【解析】【分析】由题意可得圆心C 1和圆心C 2，设直线l 方程为y=kx+b ，由对称性可得k 和b 的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），
∵圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2
+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y=kx+b ，
∴
•k=﹣1且
=k •
+b ，
解得k=1，b=2，故直线方程为x ﹣y=﹣2， 故选：D ． 10．【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A ； 由于y=x 2为偶函数，故排除B ；
由于y=2x
为非奇非偶函数，故排除C ； 由于y=x|x|是奇函数，满足条件， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】
b ＋i 2＋i ＝(b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2b ＋15＋2－b 5i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝1
3.故选C.
12．【答案】A 【解析】
试题分析：由方程1x -=2
2
1x -=，即22(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：∵数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n
． 故a 1=s 1=3，n ≥2时，a n =S n ﹣s n ﹣1=3n
﹣3
n ﹣1
=2•3n ﹣1，
故a n=．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an 的关系，属于中档题．
14．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
15．【答案】．
【解析】解：∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣+，
故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
16．【答案】（﹣2，﹣6）．
【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，
则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=﹣（2，6）=（﹣2，﹣6），
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．17．【答案】4．
【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1
所以f（1）+f′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．
18．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

三、解答题
19．【答案】（１） 24y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222
(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系． 【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是)('x f 不恒等于的参数的范围．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线
为参数）可化为普通方程：（x ﹣1）2+y 2=1，
由
可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2（1+sin 2θ）=2．
（Ⅱ）射线
与曲线C 1的交点A 的极径为，
射线
与曲线C 2的交点B 的极径满足，解得，
所以
．
21．【答案】
【解析】解 （1）∵=（﹣1，﹣2）﹣（2，4）=（﹣3，﹣6），
=（4，3）﹣（2，4）=（2，﹣1），
=﹣3×2+（﹣6）×（﹣1）=0，
∴AB⊥AC．
（2）=（4，3）﹣（﹣1，﹣2）=（5，5）．
设=λ=（5λ，5λ）
则=+=（﹣3，﹣6）+（5λ，5λ）=（5λ﹣3，5λ﹣6），
由AD⊥BC得5（5λ﹣3）+5（5λ﹣6）=0，
解得λ=，
∴=（，﹣）．
【点评】本题考查向量的垂直与共线的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|
＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，
∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.
（2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，
∴a＋b≤2，
∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，
即f（x）≥a＋b.
23．【答案】
【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．
解得．又n=e m﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．
（2）ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|
=
，
令u （s ）
=
．
则u （s ），v （t ）分别表示函数y=e
x ﹣1，y=ln （t ﹣1）图象上点到直线x ﹣y ﹣1=0的距离． 由（1）知，u min （s ）=v min （t ）．
而f ′（x ）=e
x ﹣1，令f ′（s ）=1得s=1，所以u min （s ）
=．
故．
【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．
24．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =
-，16n n b -=；（2）21
n n +. 【解析】
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为， 由题意得2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,36.
d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴21n a n =-，12n n b -=或1(52)3
n a n =-，16n n b -=． （2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，
∴
111111()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=-++…． 考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.。