基于接触摩擦的少片变截面钢板弹簧的刚度分析_唐应时

nc ⎡ = ⎢t N N s
s=1 ⎣
+ tT
l l
⎜⎜⎝⎛Ts
+
gN l
N 0 ⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 。
(8)
其中：gN≤0；D 为所有等效节点位移组成的向量。 2.3 少片变截面钢板弹簧的接触定义
图 4 所示为隐藏掉实体单元的接触面单元。整个 钢板弹簧总成共定义了 3 个接触对，每一对包含 1 个 目标面和 1 个接触面，定义凹面为目标面，凸面为接
程：
δd
T s
g
⎡ ⎢t
N
N
s
⎣
+ tT
l l
⎜⎜⎝⎛Ts
+
gN l
N 0 ⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 。
(6)
其中：gN≤0；l
为接触发生前目标段的长度；
δd
T s
为
3
节点接触对的位移向量；
δd
T s
=(us,
vs,
u1,
v1,
u2,
v2)；
tN, tT 为接触面上的法向和切向接触力；Ns={0, 1, 0,
可以看出在加载过程中钢板弹簧的负载和挠度基本上是线性变化的而弹簧的静态刚度没有发生明显变化符合该型号钢板弹簧的设计要求39030荷步的刚度平均值为4068钢板弹簧的负载挠度静态刚度和最大应力tableloaddeflectionstaticstiffnessmaximumstresstaperleafspring载荷步少片变截面钢板弹簧的试验分析在进行弹簧特性试验时用夹紧机构对钢板弹簧的卷耳进行夹紧支承
TANG Ying-shi1, CHAI Tian1, HE Jin-jun1, SU Jia-li1, LI En-bao2
(1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;
第3期
唐应时，等：基于接触摩擦的少片变截面钢板弹簧的刚度分析
695
等宽度、厚度呈现两端薄、中间厚的钢板弹簧。而少 片变截面钢板弹簧是指少片(1~4 片)其截面如上所述 发生变化的钢板弹簧[1]。弹簧片间的摩擦随着金属材 料的研究而越来越受到研究者的关注，材料的表面经 证明有大量的摩屑，其形状互不一致，摩屑形状有块 状、片状、颗粒状、针状、条状等，而摩屑以颗粒状、 针状为主，体积比另外 3 种形状的摩屑体积大，并且 有纤维[2]。目前，国外对钢板弹簧的研究基于有限元 数值计算方法，通过建立钢板弹簧的有限元模型，充 分考虑结构的大变形和片间的接触状态，来分析钢板 弹簧的强度。国内对钢板弹簧的强度分析，大多是借 助简化的力学模型，基于材料力学的小挠度梁线弹性 理论的基础进行计算，通过把问题抽象成简单的数学、 力学模型，在一定假设条件下进行计算[3]。同时，一 些研究者利用多刚体动力学理论，研究钢板弹簧动刚 度随静载荷、动载荷及激振频率和振幅的关系[4]。随 后，还有些研究者则利用 ANSYS 有限元软件进行接 触模拟，分析钢板弹簧的迟滞特性，分析不同摩擦因 数对钢板弹簧迟滞特性和阻尼特性的影响[5]。综合考 虑国内对钢板弹簧的研究现状，对少片变截面钢板弹 簧分析计算时很少考虑钢板弹簧片间摩擦的实际情 况，本文作者根据有限元理论，利用 ANSYS 有限元 软件，在对少片变截面钢板弹簧分析时充分考虑钢板 弹簧的片间接触摩擦，以实现对钢板弹簧的刚度分析。
696
中南大学学报(自然科学版)
第 40 卷
Fig.3
(a) 接触前；(b) 接触后 图 3 接触对接触原理 Contact principles of contact surface
分别简化为 1 个接触节点 s 和由节点 1、节点 2 组成 的目标段[10−11]。n 和 t 为目标段的法向和切向的单位 向量，定义自然坐标系 ξ，则
ξ
=
1 l ( xs
−
x1 ) gt
，ξ∈[0,
1]。
(4)
式中：xs 为接触节点 s 的坐标向量；l 为接触发生后目
标段的长度。首先定义接触节点 s 和目标段的距离 gN：
g N = [ xs − (1 − ξ ) x1 − ξx2 ]g n 。
(5)
式中：x1 和 x2 为目标段节点 1 和 2 的坐标向量。 根据各节点的虚位移，可得 1 个接触对的虚功方
图 1 少片变截面钢板弹簧的分块 Fig.1 Block of taper leaf spring
图 2 少片变截面钢板弹簧单元划分 Fig.2 Division of taper leaf spring unit
2 少片变截面钢板弹簧的有限元方 程和接触定义
2.1 一般的有限元方程 根据哈密尔顿原理，在所有可能的随时间变化的
第 40 卷第 3 期 2009 年 6 月
中南大学学报(自然科学版) Journal of Central South University (Science and Technology)
Vol.40 No.3 Jun. 2009
基于接触摩擦的少片变截面钢板弹簧的刚度分析
唐应时 1，柴 天 1，和进军 1，苏嘉理 1，李恩报 2
(1. 湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南 长沙，410082； 2. 湖南易通汽车配件科技发展有限公司，湖南 长沙，410137)
摘 要：根据每一片变截面钢板弹簧在自由状态下的三维尺寸、曲率半径和自由弧高，利用 Unigraphics 的二次
开发功能，建立每一片钢板弹簧的实体模型。在 ANSYS 软件中，采用映射单元划分法，建立钢板弹簧的有限元
钢板弹簧是一种常见的弹性元件，主要用于汽车 的非独立悬架中，它传递垂直载荷和其他的作用力及 力矩，并抑制、缓和由冲击载荷引起的振动，保证车
辆正常行驶。其中，钢板弹簧的刚度是悬架特性中最 主要的参数。目前，钢板弹簧主要有 2 种类型：一种 是等厚度、宽度不变的传统多片钢板弹簧；另一种是
收稿日期：2008−06−15；修回日期：2008−09−20 基金项目：“985 工程”汽车先进设计制造技术科研创新平台资助项目 通信作者：唐应时(1946−)，男，湖南湘乡人，教授，从事汽车底盘结构设计与优化研究；电话：0731-8821841；E-mail: ystang_hnu@
接触算法收敛的相互匹配关系，以及分析少片变截面钢板弹簧的刚度。
关键词：少片变截面钢板弹簧；接触单元；有限元；刚度
中图分类号：U463.218
文献标识码：A
文章编号：1672−7207(2009)03−0694−05
Analf spring based on contact friction
2. Hunan Yitong Automobile Parts Science＆Technology Development Company Limited, Changsha 410137, China)
Abstract: Parametric model of taper leaf spring was constructed by developing program of Unigraphics. Through inputting the parameters such as dimensions, curvature and arc height, a solid model of each leaf spring was constructed automatically and respectively. Using the solid model, FEM model of the taper leaf spring could be constructed by mapped mesh in the software of ANSYS. The friction between leaves was simulated based on contact theory by adding contact elements to the contact surface of each leaf spring, and setting all kinds of relevant parameters, and then the stiffness of taper leaf spring was calculated. Comparing the differences between test result and simulation results, it is found that the simulated calculation results by the program are in good agreement with the field data, the relative error is 5.58% which proves that these models can be used to study the stress on taper leaf spring in case of frictional force. They can be used to study the matching coefficient of contact stiffness with convergence of contact algorithm in nonlinear FEM analysis. In addition, they can be used to analyze stiffness of taper leaf spring. Key words: taper leaf spring; contact element; FEM; stiffness
1 少片变截面钢板弹簧有限元模型 的建立
传统钢板弹簧分析是采用简化力学模型，基于材 料力学小挠度梁的线弹性理论。这里利用钢板弹簧 固有特性和固有特性总刚度理论，进行参数化建模[6]。 为节省有限元模型在 ANSYS 软件中的计算时间，以 及提高模型的计算精度，有限元分析采用映射法，即 利用六面体单元进行单元划分。该六面体单元有 8 个 节点，每个节点具有 X, Y, Z 3 个方向的平动自由度。 把弹性模量设置为 2.1×1011 Pa，泊松比为 0.3[7]。
位移中，最精确的解是使拉格朗日泛函 L 取得最小 值[9]，即
∫δ t2 Ldt = 0 ； t1
(1)
L=T − II +Wf 。
(2)
式中：T 为整个问题域的动能； II 为整个问题域的弹 性应变能；Wf 为外力所做的功。
根据位移变分的任意性，并经过方程的组装，得
出整体有限元系统方程：
MI + KI = F 。
模型，并在钢板弹簧的接触面中应用接触理论添加接触单元，模拟板间摩擦和计算钢板弹簧的刚度。对钢板弹簧
试验分析结果表明：刚度仿真计算值和试验测量值基本吻合，相对误差为 5.58%，说明该模型可以用于研究考虑
钢板之间存在摩擦作用力时的变截面钢板弹簧的受力情况，可用于探讨非线性有限元分析过程中接触刚度系数和
少片变截面钢板弹簧的分块情况如图 1 所示。把 已经分割好的实体模型导入到有限元分析软件中。对 模型进行单元划分，划分单元时在实体与实体的断开 接触面上采用完全一致的网格密度，因为刚刚划分成 功的有限元模型被分为很多份，本文采用合并的办法， 把这些分块重新连接在一起，这样，就可以把各分块 合并为一整体[8]。单元划分情况如图 2 所示。
(3)
式中：M 为总体质量矩阵；K 为总体刚度矩阵；I 为 所有等效节点位移组成的向量；F 为所有等效节点力 向量组成的向量。 2.2 添加摩擦接触单元后的有限元方程
为了模拟片与片之间的接触摩擦问题，分别在簧 片接触面上加一层摩擦接触单元，其节点固定在相接 触实体的节点上。对整体而言，增加摩擦单元后，整 体结构的总节点数不增加，总体自由度数也不增加， 但是单元总数增加。为了简化接触摩擦问题的描述， 下面将 2 个面接触的问题简化为由 3 个节点组成的接 触对。如图 3 所示，接触对由接触面和目标面组成，
触面。为了使少片变截面钢板弹簧之间产生接触，直 接在接触面上添加接触单元，使接触面承受接触力。 由于其有限元分析计算属于状态非线性有限元分析， 在穿透量达到下极限时，接触刚度应定义得较小。在 接触刚度的定义中，接触刚度定义太大会导致结果不 收敛，太小则会降低计算精度。为此，采用下面方法： 先选取较小的刚度系数进行试运算，如果程序提示需 要更多的迭代步来完成残余力和位移的收敛，表明需 要降低刚度系数；当得到收敛的计算结果时，若程序 提示渗透过多，则需要加大刚度系数。通过反复调试， 以满足计算精度的要求[13]。经调试以后，接触刚度系 数选取为 0.001。
−(1−ξ), 0, −ξ}T；Ts = {1, 0, − (1 − ξ ), 0, − ζ , 0}T ；N0={0,
0, 0, −1, 0, 1}T。
假设接触面上参加接触的节点数为 nc，添加摩擦 接触单元后的有限元整体方程为[12]：
MD + KD + Fc = F 。
(7)
式中：
∑ Fc