2.4连续型随机变量及其密度函数

x0 x0
x
0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为
的指数分布．记为 X ~ E
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例7 设随机变量X的概率密度为
• （1）试确定常数C：由
ce 2 x , x 0 p( x ) 0, x 0
2 x
1
•（2）


p( x )dx c e
x 2
e
2 2
x
⑴．曲线关于直线 x 对称， 这表明：对于任意的 h 0，有 P h X P X h
f (x)
0 h

h
x
⑵．当 x 时，f x 取到最大值 f 1 2
(2)[0, ] 3 (4) [0, ] 2
练习题 设连续型随机变量X的密度函数为 1 xe f ( x) c 0
x2 2c
x0 其他
2
则式中c为（ （1） 任意实数 （3） 1
） （2）正数 （4）任意非零实数
均匀分布 若随机变量X 的概率密度为：
f (x)
1 , a xb f ( x) b a 0, 其它
x ,
二、
密度函数的性质
(1) 非负性 (2) 归一性
f x 0 x ,



f ( x )dx＝1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 这两条性质是判定一个函数 f ( x ) 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
f (x)
年的概率为多少？
解
3e 3 x f ( x) 0
x0 x 0,
(1)
p{ X 2} 3e
P X 3.5 X 1.5
2

3 x
dx e , .
3e 3 x dx e 6
6
2

p{ X 3.5, X 1.5} { X 1.5}

P ( A1 A2 A3 A4 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 )
2 4 15 1( ) 3 81
例5
x, 0 x 1 设 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 求 F(x). 0, 其它
x
当 2 x
1 2 2 F x P X x 0 d x (8 x 3 x ) d x 2 0 d x 8 0 1 2 (4 x 2 x 3 ) 0 1 8 x0 0 1 F ( x ) (4 x 2 x 3 ) 0 x2 8 x2 1 1 3 P 1 X 3 F 3 F 1 (4 3 3 3) 0 8 3 3 3 2 8 5 4 P X 1 1 P X 1 1 F 1 8 0
0

c dx 2
•得
c=2
1 1 •（3） P{ X } 1 P{ X } 1 2 2 1
0.5 0
1 2
p( x )dx
2e
2 x
dx e
1
例8 .电子元件的寿命X(年）服从参数为θ ＝1/3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两
3.5

1.5
3e 3 x dx
例9
顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟）X服
从参数θ =5的指数分布。若等待服务的时间超过10分钟， 则他就离开，假设他一个月内要来银行5次。以Y表示一 个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布 律及至少有一次他没有等到服务的概率。
解 Y是离散型， ~ B(5, p) ，其中 p = P{ X > 10} Y
这表示X 落在小区间[x,x+Δ x] 上的概率近似地等于
f x x .
（5） 对任意实数b，则 P X b 0
可见， 由P(A )=0, 由P(B )=1,
不能推出 不能推出
A
B = S
称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
f (x)
要注意的是: 密度函数
1
0
例3
设X是连续性随机变量，其分布密度为
A 8 x 3 x2 0 x 2 f x other 0 （1）确定常数A的值。 （2） 求 F(x).
(3) P 1 X 3
解 (1) 1




(4) P X 1
0
2 A (8 x 3 x 2 ) d x A(4 x x ) 0 8 A 0
a
b
则称X 服从区间(a, b)上的均匀分布，记作：
X ~ U a, b
P{c X c l }

cl c
cl
c
f ( x )dx
1 l dx . ba ba
随机变量X 取值在区间
上，并且取值在 a, b 中任意小区间内的概率与这个
说明:
a, b
小区间的长度成正比.
例1
设连续型随机变量 X的分布函数为
1 1 F x arctan x 2
试求 X 的密度函数．
x
设 解： X 的密度函数为 f x ，则
1 f x F x 1 x2 1
x
例2
1 e 2 x 设X 的分布函数为 F x 0


例4
某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
k x 2 f x 0
求 1、常数 k .
x 100 other
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
3、一台仪器中装有4只此种晶体管， 工作150h后， 至少有1只失效的概率。 1 2 k 1 k 100 解 1、 k x d x k 100 x 100 100
2
2 3


f x d x

0
2

2
(2) x 0 F x P X x 0 d x 0
0
x
1 A 8
0 x 2 F x P X x 0 d x f x d x 0 1 x 0 (8 x 3 x 2 )d x 1 (4 x 2 x 3 ) 8 0 8
连续型随机变量
定义1、对于随机变量X，若存在非负函数
f x x , 使对任意实数
x,
都有
则称X为连续型随机变量， f x 为 x 的概率密度函数， 简称概率密度或密度. 常记为 X ~ f x ,
F ( x )＝P ( X x )＝
x

f ( u)du
现在 X 的概率密度为
1/ 5e p ( x) 0
x/5
x0 x 0,
思考题
• 对男生的身高进行抽查,结果X是一个随机变量, X 的分布规律有什么特点?
•某门课的考试成绩也可以看作一个随机变量, 他也具有中间多、极端少的特点
正态分布的定义
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
面积为1
f (x)
F (x)
x
1
0
x
0
x
3
P ( x1 X x2 ) ＝F x2 F x1 ＝ x f ( t ) d t
x2
1
x1 x2
密度函数的几何意义 即X落在 [a, b] 上的概率 [a, b] 上曲线 y f x 之下的曲边 梯形的面积。
f (x)
0
x1 x2
x
（4）若 f x 在点x 处连续， 则有 F ( x ) f x
F x x F x P x X x x f x lim lim x 0 x 0 x x
P 若不计高阶无穷小，有： x X x x f x x
解
F(x)=

F ( x)
0
x

f (t )dt
x0
tdt
x 1

1 0
x
0
0 x 1
1 x 2 x2

tdt (2 t )dt
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
f x
1 2

x 2
2 2
e
x
则称随机变量 X 服从参数为 ， 2 的 正态分布．记作X N ， 2
F(x) 所确定的曲线叫 作正态曲线.
f (x)
0

x
正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数 2 由高等数学中的知识，我们有： f x 1
2. P X 150 100
150
x 2d x 100( 1 1 ) 1 100
100 150
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” 1, 2, 3, 4. i
3
1 P A i P X 150 3 由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为
b
x
练习题
设随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求一元二
次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。
思考题
银行取款，一般要排队等待，等待时间是一个随机
变量，直观想象等待时间这个随机变量的密度函数
应该是什么形状?
指数分布 如果随机变量 X 的密度函数为
x 1 e f x 0
均匀分布的分布函数
若随机变量 X 服从区间（a,b)上的均匀分布， 则 X的密度函数为
1 , a xb f ( x) b a 0, 其它
则 X的分布函数为
0 xa F x ba 1 xa a xb b x
F (x)
1
a
Hale Waihona Puke 0x0 x0x
0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为
的指数分布．记为
1 X ~ E

指数分布的分布函数
0 F x 1 x 1 e
x0 x0
说明 指数分布的另一形式
如果随机变量 X 的密度函数为
e x p x 0
对连续型随机变量，若已知 F x ，我们通过求导 也可求出 f x .
密度函数复习
1、定义域？值域？ 2、几何意义？
3、反映什么内容？
4、密度函数的值有什么意义？ 5、密度一词如何理理解？ 密度函数反映随机点在数轴上的分布疏密
练习题
已知
0 x 0 F ( x ) x 1/ 2 0 x 1/ 2 1 x 1/ 2
f ( x ) 在某点处 a 的高度
x
f (a ) 并不是 X a 的概率.
但是这个高度越大，则X 取
a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线 的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度.
对连续型随机变量X, 有
P ( a X b ) P ( a X b)
P ( a X b) P ( a X b)
P X 3 f x .
x0 x0
求 P X 2
解
P X 2 F 2 1 e 4 P X 3 1 P X 3 1 F 3
e
6
2e 2 x f x F x 0
x0 x0
则F(X)是(
(1) 连续型 (3) 非连续型
D
)随机变量的分布函数
(2)离散型 (4)非连续亦非离散型
练习题 设在区间[a , b]上,随机变量X的密度函数f ( x ) sin( x ) 而在[a , b]外,f ( x ) 0, 则区间[a , b]等于(
1
)
(1) [0, / 2] (3) [- / 2,0]