2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测 文科数学参考答案

2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
文科数学参考答案
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 8- 14. 2
213
x y -=
15. 20π 16.12 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．（12分） 【命题意图】本题考查等差数列，等比数列，错位相减法．难度：中档题．
【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为152123a a a =-=，，
所以11142()23a d a d a d +-+=-+=，得2d =， ………………………2分 所以12(1)21n a n n =+-=- ………………………3分
所以12224n a n n n b +=== ………………………5分
（2）由（1）知(21)4n n n a b n =-⋅ ………………………6分
23143454(21)4n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯ ①
23+141434(23)4+(21)4n n n T n n =
⨯+⨯++-⨯-⨯ ②
由①-②得，2313142[444](21)4n n n T n +-=⨯+⨯++
+--⨯ ……………………8分
即1
1164342(21)43
n n n T n ++--=+⨯--⨯- ………………………10分
所以1
20(65)49
n n n T ++-⨯=． .………………………12分
18．（12分）【命题意图】本题考查独立性检验，古典概型计算．难度：中档题．
【解】（1）解： 22⨯列联表如下：
………………………2分
将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得
22
200(80483240)3200
13.853
1128812080231K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯
………………………5分 因为13.8537.879>，所以我们有99.5%的把握认为选课与性别有关 ……………………6分 （2）因为男生中选羽毛球课和选健美操课的人数之比为2:1，所以用分层抽样的方法抽取一个容
量为6的样本，得到这6人中选羽毛球课的人数为4人，记为1234,,,A A A A .
选健美操课的人数为2人，记为12,B B . ………………………8分 从中任取两人的所有基本事件为：
121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15种.
其中至少有一人选择了羽毛球课包含了14种， 故所求的概率14
15
P =
． ………………………12分 19．(12分) 【命题意图】本题考查空间几何体面面关系和点到面的距
离．难度：中档题．
【证明】（1）连接AC ，在ABC △中，1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒
，由余弦定理得AC ，
222AB AC BC ∴+=，AB AC ∴⊥ ………………………………2分
在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，又1AA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AA AC ∴⊥，
又
1AB
AA A =，AC ∴⊥平面11ABB A ……………………………3分
点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，//MN AC ∴，MN ∴⊥平面11ABB A …………4分 又MN ⊂平面1A MN ，∴平面1A MN ⊥平面11ABB A ． ………………………………6分
【解】（2）由题意可得，点C 到平面1A MN 的距离等于点A 到平面1A MN 的距离，记为h
12AMN S AM MN =
⋅=
△
1112A MN S A M MN =⋅△ 11A A MN A AMN V V --∴=，1111
33
A MN AMN S h S A A ∴=⋅⋅△△ …………………………10分
解得h =
………………………12分 （其它解法正确同样给分）
20．（12分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生探究问题的能力，考查的核心素养是数学运算，逻辑推理．难度：较难题． 【解】（1）由题意知，2b =
，将点（代入：2
42
1,4
a +=解得，28a = ， 所以，椭圆E 的标准方程：22
184
x y +=． ……………………………4分
（2）由题设知，坐标原点到直线l ：y kx m =+的距离为1
，1=，得：22
1m k =+
……………………………5分
B B
1
联立：2218
4y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，整理得：
22221)4280k x kmx m +++-=（， ………………7分 当直线与椭圆相交两点时，满足：0∆>，即：222=4)4(21)(28)0km k m ∆-+->（， 得：2=56240k ∆+>恒成立．
设1122,),(,)A
x y B x y （，得：2121222428
,2121
km m x x x x k k -+=-=++ ， ………………8分
于是，||AB =，
设：221(1)k t t +=≥，则：2
1
2
t k -=
，
代入得：||AB = ………………10分
因为1t ≥，所以当=1t 时，||AB 取得最大值，
为此时，0k =，直线l 方程：1y =或1y =- 综上，||AB
的最大值为l 方程：1y =或1y =-. ………………12分 21．（12分）【命题意图】本题考查导函数及其应用．难度：较难题．
【解】（1）若2a =时，()e 22()e 2x x f x x f x =-+⇒'=-， ………………2分
令()e 20x f x '=->，得ln2x >，令()e 20x f x '=-<，得ln2x <，
()f x ∴在(ln 2)-∞，
上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增 综上，()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增 ………………………5分 （2）由题意可知，即求min ()()f x g x >成立的a 的取值范围，
()e e x x g x -=+，,2[]1x ∈-，21
e [,e ]e
x ∴∈，e e 2x x -+∴≥（当且仅当0x =时取等号），
即()g x 的最小值为2 ……………………………7分 当0a <时，()0x f x e a '=->，()f x ∴在(+)-∞∞，上单调递增，
且有33
3
()=e 32e 102a a f a -+=-<<，不满足min ()2f x > ……………………………8分
当0a =时，易知()2f x >，显然成立
当0a >时，令()0x f x e a '=->，得ln x a >，令()0x f x e a '=-<，得ln x a <，
()f x ∴在(ln )a -∞，
上单调递减，在(ln +)a ∞，上单调递增， min ()(ln )ln 2f x f a a a a ∴==-+ ……………………………10分
ln 22a a a ∴-+>，解得，0e a ≤<
所以实数a 的取值范围为e [0，）． …………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【命题意图】本题主要考查曲线方程的变换，直线与圆的位置关系以及极坐标运算等知识，考查运算求解能力，数形结合思想．难度：中档题．
【解】（1）2sin 2+1x y cos αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得曲线C 的普通方程()2
214x y +-=. ……………………2分
cos sin 0ρθθ-=，得直线l
的极坐标方程πsin 6ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
…………5分
（2）曲线C 的极坐标方程为22sin 30ρρθ--=， ……………………………6分
将π
6
θ=带入曲线C 的极坐标方程得：230ρρ--=，12121,3ρρρρ∴+=⋅=-.…………7分 将π
6
θ=
带入直线l 的极坐标方程得：2=ρ . ……………………………8分 所以MA MB ⋅=()()()1212121222421ρρρρρρρρρρ-⋅-=-⋅-=-++⋅=． ……10分
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）【考查意图】本题考查绝对值不等式．难度：中等题．
【解】（1）当5m =时，251
()311251x x f x x x x +<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪-+>⎩
，，，， ……………………………2分
所以2501x x +≤⎧⎨<-⎩或3011x ≤⎧⎨-≤≤⎩或2501x x -+≤⎧⎨>⎩
……………………………4分
解得，55
22
x x ≤-≥或
所以不等式的解集为55|22x x x ⎧
⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭或 ……………………………5分
（2）由二次函数2222(1)1=-+=-+y x x x ， ……………………………6分
知函数在1=x 处取得最小值1，
因为21
()21121x m x f x m x x m x +<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪-+>⎩
，，
，， ……………………………7分 在1=x 处取得最大值2-m ， ……………………………8分 所以要使二次函数222y x x =-+与函数()=y f x 的图象恒有公共点，只需21-≥m ，即3≥m 所以m 的取值范围为[3+)∞，
． ………………10分。