2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(十)学生版

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（十）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·珠海一中]已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，
(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N 的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
3．[2018·湖南联考]已知双曲线方程为22
12015
x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．3
4y x =±
B ．4
3
y x =±
C ．2
y x =±
D ．3
y x =±
4．[2018·茂名联考]如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =
，1
y x
=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．
1
4
B ．18
C ．
π4
D ．
π8
5．[2018·烟台期末]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．3
B ．4-
C ．5-
D ．6
6．[2018·耀华中学]设α与β均为锐角，且1cos 7
α=，sin()αβ+=，则cos β的值
为（ ） A ．
71
98
B ．
12
C ．
7198
或12 D ．
7198或59
98
7．[2018·陆川县中学]设函数()()2
2
()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得()04
5
f x ≤
成立，则实数a 的值是（ ） A ．15
B ．
25
C ．
12
D ．1
8．[2018·太原模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
43 B ．83
C ．2
D ．4
9．[2018·淄博模拟]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这
段文字写成公式，即S =．现有周长为且))
sin :sin :sin 11A B C =
的ABC △，则其面积为（ ）
A ．
4
B ．
2
C ．
4
D ．
2
10．[2018·南平质检]已知数列{}n b 满足11b =，2b =该数列的前23项的和为（ ） A ．4194
B ．4195
C ．2046
D ．2047
11．[2018·天一大联考]过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（a ，b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ）
A ．0,5⎡⎣
B ．5⎡⎤⎣⎦
C ．5,5⎡+⎣
D ．5⎡⎣
12．[2018·宜昌调研]定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，
()212x a x x b <<<使得()()()1f b f a f x b a -'=
-，()()()
2f b f a f x b a
-'=-，则称()f x 为区间
[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32
132m g x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．48,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．(),-∞+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．[2018·天津一中]若复数z （i 为虚数单位），则z =__． 14．[2018·长郡中学]已知向量()12=-，m ，()4x =，n ，若⊥m n ，则2+=m n ______． 15．[2018·怀化质检]执行如下图所示的程序框图，则输出的结果
__________．
16．[2018·定州中学]已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，O 为坐标原点，A ，B 为抛
物线上的点，若OAB △为等边三角形，且面积为p 的值为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．[2018·兰州一诊]已知向量()cos2,sin2x x =a ，)
=
b ，函数()f x m =⋅+a b ．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值为5，求m 的值．
18．[2018·长郡中学]某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人
数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用
最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率
为16，获得“二等奖”的概率为1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否
中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．
参考公式：1221ˆn
i i i n
i i x y nxy b x nx
==-∑=-∑，ˆˆa y bx =-，7
1
364i i
i x y ==∑．
19．[2018·烟台期末]已知四棱锥S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，
AB DC ∥，90DAB ∠=︒，2AB DC =
，AD =，M 是SB 中点． （1）求证：CM ∥平面SAD ；
（2）若直线DM 与平面SAB
所成角的正切值为2
，F 是SC 的中点，求二面角C AF D --的余弦值．
20．[2018·宜昌调研]如图，()10N ,是圆M ：()2
2116x y ++=内一个定点，P 是圆上任意
一点．线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q ．
（1）当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹E 是什么曲线？并求出其轨迹方程；
（2）过点()01G ,作直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，点A 关于原点
O 的对称点为D ，求ABD △的面积S 的最大值．
21．[2018·淄博模拟]设函数()()2
1e 2
x k f x x x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0k >时，讨论函数()f x 的零点个数．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．[2018·哈市附中]已知曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以
极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C
的参数方程为：132 x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，
点()30A ,．
（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．
23．[2018·九江一中]已知函数()12f x x x =--+． （1）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；
（2）在（1）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（十）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A
8．A
9．A
10．A
11．D
12．B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．i ±
14．10
15．9
16．2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）πT =；（2）5m =+．
【解析】（1）由题意知：()())
cos 2,sin2f x x x m =⋅
+
sin2x x m =++·········2分
π2sin 23x m ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，·········4分
所以()f x 的最小正周期为πT =．·········6分
（2）由（1）知：()π2sin 23f x x m ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，
当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，ππ4π2333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，．·········8分
所以当π4π
233
x +
=时，()f x 的最小值为m ．·········10分
又∵()f x 的最小值为5，∴5m =，即5m =+·········12分
18．【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）答案见解析．
【解析】（1）依题意：()1
123456747
x =
++++++=，·········1分
()1
58810141517117
y =
++++++=，·········2分 7
2
1
140i
i x ==∑，7
1
364i i i x y ==∑，7
1227
173647411
2140716
7ˆi i i i i x y xy b
x x
==--⨯⨯∑==
=-⨯-∑，·········3分
11243ˆˆa
y bx =-=-⨯=，·········4分 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y
x =+．·········5分 （2）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：·········6分
()1110224P X ==⨯=，()111
3002233P X ==⨯⨯=，
()11115
6002332618
P X ==⨯+⨯⨯=，
()1119002369P X ==⨯⨯=，()111
12006636P X ==⨯=．·········11分
所以，总金额的分布列如下表：
总金额X 的数学期望为
11511
030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．·········12分
19．【答案】（1）证明见解析；（2）
13
． 【解析】（1）证明：取SA 中点N ，连接MN ，DN ，
在SAB △中，MN AB ∥，1
2
MN AB =
，NM DC ∴∥，NM DC =， ∴四边形CDNM 为平行四边形．·········2分 ∴CM DN ∥，·········3分
又CM ⊄平面SAD ，DN ⊂平面SAD ，
CM ∴∥平面SAD ．·········4分
（2）由已知得：AB ，AD ，AS 两两垂直，以AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．·········5分
AD SA ⊥，AD AB ⊥，SA AB A =，AD ∴⊥平面SAB ， DMA ∴∠就是DM 与平面SAB 所成的角．
在Rt AMD △中，tan 2
AMD ∠=
，即2AD AM =，·········7分
设2AB =，则AD =1DC =，2AM ∴=；
Rt SAB △中，M 为斜边SB 中点，4SB ∴=，
AS ∴==
则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()
C ，()
D ，(0,0,S ，1,22F ⎛ ⎝，
所以()
AD =，()
AC =，1,22AF ⎛= ⎝．
设()111,,x y z =m 是平面ACF 的一个法向量，则
111110·0 1·
002x AC AF x y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩m m ， 令11y =
，得()
=m ．·········9分 设()222x y z =,,n 是平面ADF 的一个法向量，则
22220·0 1·
002AD AF x y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎪⎩⎩n n ， 令21z =
，()
01n ∴=-,．·········11分
cos 13m n m n m n ⋅∴<>=
==⋅,． ∴二面角C AF E --
的余弦值为
13
．·········12分 20．【答案】（1）22
143
x y +=；（2
．
【解析】（1）由题意得42QM QN QM QP MP MN +=+==>=， 根据椭圆的定义得点Q 的轨迹E 是以M 、N 为焦点的椭圆，·········2分
2a ∴=
，c =1b ∴=，∴轨迹方程为22
143
x y +=．·········4分
（2）由题意知1
222
ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△（d 为点O 到直线l 的距离），
设l 的方程为1y kx =+，联立方程得221 14
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
消去y 得()2234880k x kx ++-=，
设()11A x y ,，()22B x y ,，则122834k x x k -+=
+，122
8
34x x k
-=+，·········6分
则
AB ==，·········8分
又d =，·········9分
2
34ABD
S d AB k
∴==+△，·········10分
t =，由20k ≥，得1t ≥
，
21212ABD S t t t
∴=
=++△，1t ≥，易证12y t t =+在()
1+∞,递增，123t t
∴+≥
， ABD S ≤
△，ABD ∴△面积
S ．·········12分 21．【答案】（1）答案见解析；（2）函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，
()()()e 1e e e x x x x f x x kx x kx x k '=+--=-=-，·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．
∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，
，单调递增区间是[)0+∞,；·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．
∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]ln 0k ,
上单调递减；·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；·········4分
④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在[]0ln k ,上单调递减．·········5分
（2）()01f =-，
①当01k <≤时，由（1）知，当()0x ∈-∞,时，
()()()()()2
2max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，
此时()f x 无零点，·········6分
当[)0x ∈+∞,时，()222e 2e 20f k =-≥->．
又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[)0+∞,上有唯一的零点， ∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；·········7分 ②当1k >时，由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，
()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；·········8分 当[)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，
()()()22
11
111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．
令()21
e 2
t g t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-，
∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()22e 20g t g ''>=->， ∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()22e 20g t g >=->，即()10f k +>．
∴()f x 在[)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分
综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点．·········12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）224x y x +=，)3y x =-；（2）3AP AQ ⋅=．
【解析】（1）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=，222x y ρ=+，
cos x ρθ∴=，sin y ρθ=；224x y x ∴+=，
1C ∴的直角坐标方程为：224x y x +=，
13232
x t y
t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，3)y x ∴=-，2C ∴的普通方程为)3y
x =-．·········5分 （2）将1322
x t y ⎧
⎪=-⎨=⎪
⎪⎪⎩，224x y x +=代入，
得：2
2131343242t t t ⎛⎫⎛
⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，239122t t t ∴-+=-，230t t ∴--=，
121t t ∴+=，123t t ⋅=-，
由t 的几何意义可得：12123AP AQ t t t t ⋅===．·········10分 23．【答案】（1）4M =；（2）证明见解析．
【解析】（1）若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可． 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =．·········5分
（2）根据（1）知正实数a ，b 满足2234a b +=， 由柯西不等式可知()
()()2
223313a b a b ++≥+，
所以，()2
316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤ (当且仅当1a b ==时取“=”)．·········10分。