数学悖论与谬误的区别与联系

叫谬误。一般的，谬误是用来形容思维上的错误，把不正确的事情说 成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可 证其为错误的论证类型， 也就是说经过一系列错误的推理而必然得到 的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简：
在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有 逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。 任何一个论证都是为了说明它的结果是真的， 但这两种情形下是 不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过 程如何的正确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是 真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题， 也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正 但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能 欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被 某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确 理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。 由上述可知，数学悖论和谬误都是一种矛盾命题，但两者之间也 有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系 的的不断充实和完善悖论也就随之消失。 谬误在学习的任何过程中都 有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。 2．1．2．2 数学悖论与谬误的联系 在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常
被用来解释现实世界，然而有时经验会告诉我们，当推理和数学论证 的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬 误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种 悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学 或现实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些 “别扭"的谬误，那么数学就成为了一块“净土” 。所以在某些谬误不 能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如： 如果 x2=Y2 那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的 X = Y，X = -y，-X =-y，-x=Y 这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为 X =Y，X = -y 除非 x=0，否则要么这两个等式中有一个是错误的， 要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽 略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错 误的时候，就是一个悖论。 这在数学这门学科不断完善的过程中是经常会遇到的， 当0还 没被发现之前，某些运算，如被除中有 0 的运算中出现的谬误，就 是一个悖论，在 O 出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这 样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。 前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的 先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以 严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这
达哥拉斯悖论自然消失。 第一次数学危机使得古希腊数学从以数为基础转向了以几何 为基础。公元前 300 年左右欧几里得在柏拉图、欧多克斯等人工作 的基础上建立起历史上第一个数学公理体系——《几何原本》 。 2．3．2 贝克莱悖论与第二次数学危机 进入十七世纪以后，科技的发展给人们带来了前所未有的惊奇 与挑战。1608 年，人类的第一架天文望远镜对准了星空，展现给世 人的不只是令人惊奇不已的天文奇观，同时也提出了亟待解决的四 个问题：瞬时速度问题，曲线的切线问题，函数极值问题，求积问 题(曲线长度、曲面面积)。 此后长达半个世纪的时间里，几乎所有的科学家都致力于寻求 解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算 法，并且在相当短的的时期内取得了迅速的发展。代表人物有伽利 略、开普勒、笛卡尔、费马等。遗憾的是，这些科学家虽然沿着不 同的方向逼近了微积分这一新的科学领域，对于求解各类微积分问 题做出了宝贵的贡献，但由于其所用方法缺乏一般性，最终也只能 说为微积分的创立奠定了基础。 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹就是在这样的情况下登 场了，时代的需要与个人的才华使他们站在一个更高的高度，将前 人的贡献与分散的努力综合起来完成了创立微积分最关键的一步。 牛顿于伽利略去世那年(1642)的圣诞出生于英格兰林肯郡的一个农 民家庭，是遗腹子且早产。少年牛顿并不是神童，但酷爱读书与制
之，对任一集合 Z，如果 则 ．
，z 就是么的元素；反之，如果 z∈A，
如果 A 是 A 的元素，应该有 A A；如果 A 不是 A 的元素，按 A 的定义，A 应该属于 A，得到不可调和的矛盾。 而理发师悖论就是这个悖论的通俗表述。罗素悖论从根本上动 摇了集合论体系，使数理逻辑家不得不重新创立公理化体系。高中一 年级刚开始学习集合的概念， 所以这一悖论可以作为使学生更好理解 集合的概念。 2．2．3 几何悖论 不可能图形是几何悖论中的一种。荷兰画家埃舍尔十分擅长画 这样的图形。如下图 2—4，2～5 是其中两个。几何悖论所构造的图 案是仅存在于 2 维平面世界里的图形，是一种通过素描、线描等立 体绘画手法表现出 3 维立体世界中不可能存在的图像。
通过悖论的历史和内容的教学可以让学生更加详细地了解这些伟人的生平事迹及其贡献尤其是他们对待知识的严谨认真的态度和百折不挠的精神更可以鼓励学生为学生树立一种榜样从而有利于培养学生例外在校本课程的教学过程中向学生讲一些数学家群哥拉斯学派捍卫自己万物皆数的信条坚持自己的理性精神
2．1．2 数学悖论与谬误的区别与联系 2．1．2．1 数学悖论与谬误的区别 “悖论"(Paradox)一词来源于哲学和逻辑学。意指一种自相矛盾的论 述，中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论最通俗的解释。悖论是一 种导致自相矛盾的命题， 这种命题如果承认它为真， 那么它又是假的， 如果承认它为假，那么它又是真的。②例如著名的“说谎者悖论” ： 古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯说： “所有克里特岛上的人所 说的话都是谎话。 ”问题也就此出现了。我们如果认为这句话是真的， 那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，与岛上的人所 说的话都是谎话相矛盾。如果认为这句话是假的，也就是说岛上也有 人不说谎。因此，哲学家的这句话无论怎样也难以自圆其说，总是存 在矛盾，这就构成了一个悖论。数学悖论历史悠久，一直可以追溯到 2000 多年前的古希腊和我国的先秦时期。数学中的悖论内容广泛， 包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的 错误命题和形似错误的正确命题。①现在“悖论"泛指那些推理过程 看上去合理但结果却又违背客观事实的结论。 数学悖论的出现极大的 冲了数学的严谨性，因为当时的理论体系无法解决这一矛盾，导致很 长的一段时间内整个学术界的恐慌。与此同时，大批数学家们投入极 大的热情来解决这些问题，此过程中他们不断地完善原有的理论体 系，甚至开辟出新的科学域，无形中让数学这门学科有了更加蓬勃的 发展。 一个错误的结论通过似乎是合乎逻辑的解释而成为正确的结就
口口口口 观众席 A ■■■■ 队列 B ▲▲▲▲队列 C 而此时，对 B 而言 C 移动了两个距离单位。也就是，队列既可 以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位，也可以 在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时 间单位等于一个时间单位的矛盾。 综上四个悖论， 芝诺的悖论除了涉及空间和时间的概念外， 还与无限问题有关。这些表明当时人们对无限的认识缺乏严密 逻辑基础，所以当时的芝诺悖论促进了数学的发展。 2．2．2 理发师悖论 数学中著名的悖论是罗素(B．Russell，1872—1970)于 1902 年 提出的，这位英国近代哲学家和数学家对新创立的集合论发起 了猖狂的进攻，更让逻辑学家们不知所措，悖论的通俗表述是： 一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自 己刮脸的人刮脸。 一个智者问：理发师先生，你是否应该为自己刮脸? 理发 师无言以答，假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮 脸的人刮脸”相矛盾。假如他不给自己刮脸，根据他的原则， 他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾。 罗素根据集合论的定义制造出一个集合 即集合么是由一些不属于自身的那些集合所构成的集合 ,换言
这是在古代埃及、印度和中国被独立发现的，但我们还不知道 其详细情况。公元前 580 年左右，毕达哥拉斯及其学派因研究了这 个命题而著称于世。 ①毕达哥拉斯学派另一项成就是正多面体作图， 在三维空间中正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面 体、正十二面体和正二十面体。其中正十二面体的作图尤为特殊。 它与著名的“黄金分割”有关，这个名称虽是后人在两千多年以后
即 m2=2n2。这里，m2 为偶数，则 m 为偶数，假设 m=2p，那么 4p2=2n2 也即甩 n2=2 p2，于是 n 也是偶数，与假设 m，n 互素矛盾。 此时，单位正方形的对角线长为 ，是一个无理数，显然是
没有办法表示为整数比。但当时，这个不可公度量的发现却使得毕 达哥拉斯学派的“万物皆数”的思想受到了极大的冲击，他们拒绝 接受无理数的出现，惊恐不已。后来人们又陆发现了其他的无理数， 这些数字的出现深深地困惑着古希腊的数学家，因此人们也把希腊 数学中出现的这一逻辑困难称为“第一次数学危机” 。大约一个世纪 之后，欧多克斯提出了新的比例理论，这一危机才暂时消除。但是 无理数问题直到 19 世纪戴金德和康托尔等人建立了实数理论才得 以彻底解决。当人们的认识从有理数的领域扩展到实数领域后，毕
在教学中向学生介绍这些几何悖论的知识，不仅可以扩大学生 的视野，而且告诫学生不能忽视正确的作图规则，同时也锻炼了学 生的思维，激发学生的学习兴趣。 2．3 悖论与三次数学危机
2．3．1 无理数的发现与第一次数学危机\ 无理数的发现归功于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(大约公元前 580 一公元前 500)出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，被誉 为希腊论证数学的鼻祖。 他在大希腊(今意大利东南沿海的克洛托内) 建立了一个秘密的宗教会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派。 该学派致力于哲学与数学方面的研究，并取得了很大的成就。 以毕达哥拉斯的名字命名的毕达哥拉斯定理 (我们所说的勾股 定理)，就是直角三角形的斜边上的正方形等于其余两边上的正方形 之和(如图 2—6)。
假设乌龟先爬一段距离当阿基里斯到达乌龟的起跑点时， 乌龟已 经向前又前进了一段路程 a1，到达 A1 点，阿基里斯要想追到乌龟必 须先到达 A1 点。当阿基里斯跑过距离 a1，到达 a1 点时，乌龟同时又
爬出一段距离 a2 到达 A2 点，阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到 A2 点，乌龟同时又爬出一段距离 a3，到达 A3 点。这样下去，阿基 里斯跑到 A3 时，乌龟又跑到 A4 点。如此这般下去，阿基里斯就会 永远追不到乌龟。 (2)二分说(运动不存在) 由于运动的物体在到达目的地彳前必须到达其半路上的中点 B， 同理在到达占点之前，又应该先到达剩下距离的终点 C，如此下去， 该物体永远也不会到达它的终点，运动也就不可能。 (3)飞矢不动 一支飞行的箭是静止的。 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置 因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态；但由于箭要达到每一 时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态，这就产生 了矛盾。 (4)游行队伍悖论 首先假设在操场上，观众席彳、队列曰、队列 C 如图 2—2 排列， 在一瞬间(一个最小时间单位)里，相对于观众席彳，列队 B、C 将分 别各向右和左移动一个距离单位。 观众席 A 队列 B---向右移动(一) ▲▲▲▲ 队列 C---向左移动(一) B、c 两个列队开始移动，如图 2-3 所示相对于观众席 A，B 和 C 分别向右和左各移动了一个距离单位。
才开始启用，但毕达哥拉斯学派在当时已经知道了该分割的性质。 毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数” 。他们认为任何量都 可以表示为两个整数之比，翻译成几何语言相当于说：对于任何两 条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的 两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量” ，意 思是有公共的度量单位。但在公元前 470 年左右，该学派的弟子希 帕索斯却发现边长为 1 的正方形对角线与其一边却是不可“公度” 的。原因如下： m 假设该对角线与一边之比为 n (m，n 互素)，由勾股定理知：
些著名的悖论进行简单的介绍。并列出一些中学数学中所涉及到的 数学谬误，以供同学们欣赏和研究。 2．2 著名悖论举例 2．2．1 芝诺悖论 芝诺(Zeno， 约公元前 490——前 430 年)是古希腊伊利亚学派创始人 巴门尼德的学生，他生活在古代希腊的埃利亚城邦，因其悖论而闻 名于世，是一位伟大的数学家和哲学家。遗憾的是芝诺并没有什么 著作流传下来，他的生平只能从亚里士多德的《物理学》和普里西 奥斯为《物理学》作的注释中可见一斑。据说芝诺一生推出了 40 多 个各不相同的悖论，现存的芝诺悖论至少有 8 个，其中以下关于运 动的 4 个悖论尤为著名。 (1)阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟 传说中，阿基里斯是古希腊时期的一名长跑健将。芝诺说，他可 以证明，如果先让乌龟爬出一段距离，那么阿基里斯将永远也追不 上行动缓慢的乌龟。芝诺是这样证明的，如图 2—1，