学案2：8.5 空间向量及其运算

8.5 空间向量及其运算
导学目标
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
考点梳理
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______ 或．
(2)相等向量：方向且模的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则这些向量叫做_________或，a平行于b记作a∥b.
(4)共面向量：平行于同一的向量叫做共面向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a ·b 共线 a ＝λb (b ≠0) 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)
模
|a |
a 21＋a 22＋a 23
夹角
〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)
cos 〈a ，b 〉
＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 2
3·
b 21＋b 22＋b 2
3
5.用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 典例探究
考向1 空间向量的线性运算
【例1】 三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →
.
变式训练1 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形，若AE →＝12EC →，A 1F
→
＝2FD →，AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.
考向2 共线向量与共面向量定理的应用
【例2】 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
(0≤k ≤1)．
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？
变式训练2 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →
＝13
(OA →＋OB →＋OC →)． (1)判断MA →、MB →、MC →
三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．
考向3 空间向量的数量积及其应用
【例3】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．
变式训练3 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC 1的长；
(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 能力提升
1．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →、OB →、OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
，则x ，y ，z 的值分别是( )
A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1
6
C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1
3
D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1
3
2．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →
＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →
的坐标是________．
答案
考点梳理
1．(1)大小 方向 长度 模 (2)相同 相等
(3)平行 重合 共线向量 平行向量 (4) 平面 4．
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0
【例1】
【解析】 结合图形，利用空间向量的加减法和数乘运算求解． 【答案】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →
＝12OA →＋23
(ON →－OA →
) ＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12OB →＋OC →－OA →
＝－16OA →＋13OB →＋13
OC →
.
OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →
＝13OA →＋13OB →＋13
OC →
. 规律方法1 1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．
2．空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．
变式训练1
【解】 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →.
由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →
＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →
＝－a ＋c .
由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →
＝c －13(c －a )＝1
3(a ＋2c )，
又EA →
＝－13AC →＝－13
(b ＋c )，
∴EF →＝EA →＋AF →
＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．
【例2】
【解析】 (1)在图形中，用向量AB →，AA 1→表示向量MN →
. (2)用共面向量的概念判定MN 是否与平面ABB 1A 1平行． 【答案】 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→
，
∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→
共面．
(2)当k ＝0时，点M 、A 重合，点N 、B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内， 当0＜k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →、AA 1→
共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.
规律方法2 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较
三点(P ，A ，B )共线
空间四点(M ，P ，A ，B )共面
P A →＝λPB →
MP →＝xMA →＋yMB →
对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →
对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →
对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →
对空间任一点O ，
OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →
变式训练2
【解】 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →
， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →
共面．
(2)由(1)知MA →，MB →，MC →
共面且过同一点M ，
所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内． 【例3】
【解析】 用AB →，AC →，CD →表示BD →，根据|BD →
|＝BD →
2求解．
【答案】 ∵AB 与CD 成60°角， ∴〈BA →，CD →
〉＝60°或120°，
又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ， ∴|BD →|＝BD →2＝
BA →＋AC →＋CD
→2
＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD → ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →
〉 ＝
3＋2cos 〈BA →，CD →
〉
∴|BD →
|＝2或 2. ∴BD 的长为2或 2. 规律方法3
1.利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题． (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2；
(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
.
变式训练3
【解】 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12
.
|AC 1→
|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b·c ＋c·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫
12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→
|＝6，即AC 1的长为 6. (2)同(1)得，BD 1→＝b ＋c －a ，AC →
＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →
|＝3，
BD 1→·AC →
＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →
〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.
∴AC 与BD 1夹角的余弦值为6
6
. 能力提升
1．【解析】 由题图知，OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →
＝OM →＋23(MO →＋OC →＋CN →)
＝13OM →＋23OC →＋13(OB →－OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 D
2．【解析】 ∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
QA →·QB →
＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23
.
当λ＝43时，QA →·QB →
取得最小值－23.
此时OQ →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫43，43，83。