数学_2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. (1+√3i)3=( )
A −8
B 8
C −8i
D 8i
2. 若向量a →
，b →
满足|a →
|=1，|b →
|=√2，且a →
⊥(a →
+b →
)，则a →
与b →
的夹角为（ ） A π
2 B 2π
3 C 3π
4 D 5π
6 3. 二项式(
√x
2x 2)5展开式中的常数项是（ ）
A 5
B −5
C 10
D −10
4. 把函数y =f(x)的图象向右平移一个单位，所得图象恰与函数y =e x 的反函数图象重合，则f(x)=( )
A lnx −1
B lnx +1
C ln(x −1)
D ln(x +1)
5. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4，底面是边长为√3的正三角
形．若P 为底面三角形A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A 5π
12
B π
3
C π
4
D π
6
6. 已知抛物线y 2
=8x 的焦点与双曲线x 2a 2
−y 2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率
为（ ） A
4√155 B 2√3
3
C √3
D 3 7. 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A 36个
B 24个
C 18个
D 6个
8. 已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1=−3，S 5=S 10，则当S n 取到最小值时n 的值为（ ）
A 5
B 7
C 8
D 7或8
9. 定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则(2cos 5π
3
)⊗(2tan 5π4
)的值为
（ ）
A 4
B 3
C 2
D −1
10. 如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均
数依次为x 1¯和x 2¯
，标准差依次为s 1和s 2，那么( )（注：标准差s =
√1
n [(x 1−x ¯
)2+(x 2−x ¯
)2+⋯+(x n −x ¯
)2]，其中x ¯
为x 1，x 2，…，x n 的平均数）
A x 1¯
>x 2¯
，s 1>s 2 B x 1¯
>x 2¯
，s 1<s 2 C x 1¯
<x 2¯
，s 1<s 2 D x 1¯
<x 2¯
，s 1>s 2
二．填空题：本大题共7小题，共25分．其中12、13、14、题为必做题，15、16、17题为选做题，请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）将答案填写在题中的横线上．
11. 若∫x 2T 0dx =9，则常数T 的值为________．
12. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．
13. 在△ABC 中，BC =√3，AC =√2，A =π
3，则B =________．
14. 若直线y =kx +1被圆x 2+y 2−2x −3=0截得的弦最短，则实数k 的值是________． 15. （极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ=4sinθ表示圆，则点A(4,π
6)到圆心的距离为________．
16. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式|x +1|−|x −2|>1
a 存在实数解，则实数a 的
取取值范围是________．
17. 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2．AC 是圆O 的直径，PC 与圆
O 交于点B ，PB =1，则圆O 的半径R =________．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知在等比数列{a n }中，a 1=1，且a 2是a 1和a 3−1的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足b n =2n −1+a n (n ∈N ∗)，求{b n }的前n 项和S n ．
19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ． （1）叙述并证明正弦定理
（2）设a +c =2b,A −C =π
3，求sinB 的值．
20. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是3
5，答
对每道乙类题的概率都是4
5，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．
21. 如图，四棱锥S −ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB // DC ，AD ⊥DC ，
AB =AD =1，DC =SD =2，E 为棱SB 上任一点． （1）求证：无论E 点取在何处恒有BC ⊥DE ；
（2）设SE →
=λEB →
，当平面EDC ⊥平面SBC 时，求λ的值； （3）在（2）的条件下求二面角A −DE −C 的大小．
22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y 2=4√5x 的焦点重合．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）已知经过定点M(2, 0)且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问在x 轴上是否另存在一个定点P 使得PM 始终平分∠APB ？若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由．
23.
已知函数f(x)=lnx ，g(x)=1
2ax 2+2x
（1）若曲线y =f(x)−g(x)在x =1与x =12
处的切线相互平行，求a 的值及切线斜率． （2）若函数y =f(x)−g(x)在区间(1
3, 1)上单调递减，求a 的取值范围．
（3）设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交与P 、Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，证明：C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不可能平行．
2014年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（理科）答案
1. A
2. C
3. D
4. D
5. B
6. B
7. B
8. D
9. A
10. C
11. 3
12. n2−n+6
2
13. π
4
14. 1
15. 2√3
16. (−∞, 0)∪(1
3
，+∞)
17. √3
18. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
∵ a2是a1和a3−1的等差中项，a1=1，
∴ 2a2=a1+(a3−1)=a3，
∴ q=a3
a2
=2，
∴ a n=a1q n−1=2n−1，(n∈N∗)．
（2）∵ b n=2n−1+a n，
∴ S n=(1+1)+(3+2)+(5+22)+⋯+(2n−1+2n−1) =[1+3+5+...+(2n−1)]+(1+2+22+...+2n−1)
=n[1+(2n−1)]
2
+
1×(1−2n)
1−2
=n2+2n−1．
19. 解：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即a
sinA
=
b sinB =c
sinC
（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，可得：CH=a⋅sinB，CH=b⋅sinA，
∴ a⋅sinB=b⋅sinA，
得到
a
sinA
=
b sinB
同理，在△ABC 中，b
sinB =c
sinC ，
∵ 同弧所对的圆周角相等，∴ c
sinC =2R ， 则a
sinA =b
sinB =c
sinC （2R 三角形外接圆的直径）； （2）在△ABC 中，
∵ a +c =2b ，由正弦定理可得sinA +sinC =2sinB ， ∴ 2sin
A+C 2
cos
A−C 2
=4sin B 2
cos B
2
，
再由A −C =π
3，可得 sin π−B 2
cos π6=2sin B 2cos B
2，
解得：sin B
2=
√34
， ∴ cos B
2=
√13
4
， 则sinB =2sin B
2cos B
2=
√39
8
． 20.
(1)设事件A =“张同学至少取到1道乙类题”， 则A ¯
=张同学至少取到的全为甲类题，
∴ P(A)=1−P(A ¯
)=1−C 6
3
C 10
3=5
6.
(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，
P (X =0)=C 20
(3
5
)0×(2
5
)2×(1
5
)=
4125，
P(X =1)=C 21×3
5×2
5×1
5+C 20×(2
5)2×4
5=28
125， P(X =2)=C 22×1
5×(3
5)2+C 21×3
5×2
5×4
5=57
125， P(X =3)=C 22×(3
5
)2×(4
5
)=
36125
，
X 的分布列为
E(X)=0×4
125+1×28
125+2×57
125+3×36
125=2. 21. （1）证明：∵ AD ⊥DC ，AB =AD =1，DC =2， ∴ BC ⊥BD ，
∵ SD ⊥底面ABCD ， ∴ SD ⊥BD ， ∵ BD ∩SD =D ， ∴ BC ⊥平面SBD ， ∵ DE ⊂面SBD ，
∴ 无论E 点取在何处恒有BC ⊥DE ；
（2）解：建立如图所示的坐标系，设E(x, y, z)，则 ∵ SE →
=λEB →
，∴ (x, y, z −2)=λ(1−x, 1−y, −z)， ∴ E(λ
1+λ, λ
1+λ, 2
1+λ)，
设平面SBC 的一个法向量为n 2→
=(a, b, c)，则 ∵ SC →
=(0, 2, −2)，SB →
=(1, 1, −2)，
∴ {2b −2c =0
a +
b −2
c =0
，取平面SBC 的一个法向量n 2→=(1, 1, 1)，
同理可求平面EDC 的一个法向量n 1→
=(2, 0, −λ)， ∵ 平面EDC ⊥平面SBC ， ∴ n 1→
⋅n 2→
=2−λ=0， ∴ λ=2；
（3）解：当λ=2时，E(23, 23, 2
3)，同理可求平面ADE 的一个法向量m 1→
=(0, 1, 1)，
取平面CDE 的一个法向量m 2
→
=(1, 0, −1)，则cosθ=
|m 1→||m 2→|
˙=1
2，
∴ 二面角A −DE −C 为120∘．
22. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)，焦距为2
c ． 由抛物线y 2=4√5x 方程得焦点(√5，0)，∴ c =√5． 又短轴长为4，∴ 2b =4，解得b =2． ∴ a 2=b 2+c 2=9． ∴ 椭圆C 的方程为x 2
9+
y 24
=1．
（2）假设在x 轴上存在一个定点P(t, 0)(t ≠2)使得PM 始终平分∠APB ． 设直线l 的方程为my =x −2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 联立{my =x −2x 29+y 24=1，化为(9+4m 2)y 2+16my −20=0，
则y 1+y 2=−16m
9+4m 2，y 1y 2=−20
9+4m 2．(∗) ∵ PM 平分∠APB ，∴ |PA|
|PB|=|AM|
|BM|，
∴
√(x 1−t)2+y 12√(x 2−t)2+y 2
=
|y 1||y 2|
，化为
(x 1−t)2(x 2−t)2
=
y 12y 2
2，
把x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式得(2−t)(y 1−y 2)[2my 1y 2+(2−t)(y 1+y 2)]=
0，
∵ 2−t ≠0，y 1−y 2≠0，∴ 2my 1y 2+(2−t)(y 1+y 2)=0． 把(∗)代入上式得−40m
9+4m 2+−16(2−t)m 9+4m 2
=0，
化为m(9−2t)=0，
由于对于任意实数上式都成立，∴ t =9
2． 因此存在点P(9
2，0)满足PM 始终平分∠APB ．
23. 解：（1）y =f(x)−g(x)=lnx −(12
ax 2+2x)=lnx −1
2
ax 2−2x ，
∴ y ′=m ′(x)=1
x
−ax −2，
则m ′(1)=1−a −2=−1−a ，m ′(12)=2−12a −2=−1
2a ， ∵ 在x =1与x =1
2处的切线相互平行，
∴ m ′(1)=m ′(12
)，即−1−a =−1
2
a ，
∴ 1
2
a =−1，a =−2，
此时切线斜率k =m ′(1)=−1−(−2)=2−1=1．
（2）∵ y =f(x)−g(x)=lnx −(1
2ax 2+2x)=lnx −1
2ax 2−2x ，y ′=m ′(x)=1
x −ax −2，
∴ 函数y =f(x)−g(x)在区间(1
3，1)上单调递减，
则m ′(x)=1
x −ax −2≤0恒成立， 即ax ≥1
x −2成立， ∴ a ≥
1x
2−2
x
，
设g(x)=1x 2−2x ，则g(x)=(1x )2−2x =(1
x −1)2−1 ∵ x ∈(1
3，1)，∴ 1
x ∈(1,3)，
∴ g(x)∈(−1, 3)， ∴ a ≥3．
（3）设点P 、Q 的坐标分别是(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，0<x 1<x 2．
则点M、N的横坐标为x=x1+x2
2
，
C1在点M处的切线斜率为k1=1
x ，x=x1+x2
2
，k1=2
x1+x2
，
C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=x1+x2
2，k2=a x1+x2
2
+b．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
即2
x1+x2=a(x1+x2)
2
+b，
则2(x2−x1)
x1+x2=a
2
(x22−x12)+b(x2−x1)
=a
2(x22+bx2)−(a
2
x12+bx1)=y2−y1=lnx2−lnx1．
∴ ln x2
x1=
2(x2
x1
−1)
1+x2
x1
．
设t=x2
x1，则lnt=2(t−1)
1+t
，t>1①
令r(t)=lnt−2(t−1)
1+t
，t>1．
则r′(t)1
t −4
(t+1)2
=(t−1)2
t(t+1)2
．
∵ t>1时，r′(t)>0，
∴ r(t)在[1, +∞)上单调递增．
故r(t)>r(1)=0．
则lnt>2(t−1)
1+t
．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．。