北师大七年级数学培优题

七 年
级 培 优 题
1、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB ， AC ，那么这两条对角线的夹角等于
度。

2.。

. x 2
x 2 x 1
的最小值是 _______
2
3x 1 0 ,
则
x 2
3、已知 x
4
2。

x 3x 1
4,一个长方体的长、宽、高分别为 9cm, 6cm, 5cm ，先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从节余部分上
又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次节余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么经过三次切割后剩 余部分的体积为 cm 3.
5、如图，三角形 ABC 的面积为 1，BD ∶DC=2∶ 1，E 为 AC 的中点，AD 与 BE 订交于 P ，那四边形 PDCE 的面积为。

6、如图，已知梯形 ABCD ，AD ∥ BC ，∠B+ ∠ C=90°，EF=10，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，则 BC －AD ＝________
7、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 为 AB 上的点，
Q 为 AD 上的点，且△ APQ 的周长为 2， 则∠ PCQ=_______
8、在长方形内画一些直 线， 已知边上
有三块面积分别为 13， 35， 49，图中的数据表示所在 的小 块面积，则图中的暗影部 分的
面积为。

9、如图，设 O 是等边三角形 ABC 内一点，
已知∠ AOB=115 °，∠ BOC=125 °，则以 OA ，OB ，OC 为边所组成的三角形的各内 角的度数分别为。

| a | b | c | ， n
abc
10、已知 a 、 b 、 c 都不等于零，且 m
| b |
c
，那么 m n =_______
a
| abc |
11 假如 a 、 b 、c 知足 a+2b+3c=12，且 a 2
+b 2
+c 2
=ab+ac+bc ，则代数式 a+b 2+c 3=_______
12. 如图，在长方形 ABCD 中，已知 AD=12、AB=5、BD=AC=13，P 是 AD 上随意一点， PE ⊥BD 、PF ⊥ AC ，那么 PE+PF=_______
【提示 长方形的对角线相等且相互均分】
13. 在⊿ ABC 中， AD ⊥BC ，垂足为 D ，AB+BD=DC ，求证 ∠B=2∠ C
14、已知正方形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF ⊥ BD 交 BC 于 F ，连结 DF ，G 为 DF 中点，连结 EG ， CG ．
（ 1）直接写出线段 EG 与 CG 的数目关系；
（ 2）将图 1 中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转
45o ，如图 2 所示，取
DF
中点 G ，连结
EG ，CG ．
你在（ 1）中获得的结论能否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （ 3）将图
1 中△ BEF
绕 B 点旋转随意角度，如图
3 所示，再连结相应的线段，问（
1）中的结论能否
仍旧建立？
A
D
A
D
A
D
G
G
E
E F
F
E
B
F
C
B C B C
图 1图 2图 3
15、数学课上，张老师出示了问题： 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． AEF 90o
，
且 EF 交正方形外角
DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证： AE =EF ．
经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M ，连结 ME ，则 AM =EC ，易证
△ AME ≌△ ECF ，因此 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（ 1）小颖提出：如图 2，假如把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B ，C 外）的
随意一点”，其余条件不变，那么结论“ AE = EF ”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写
出证明过程；假如不正确，请说明原因；
（ 2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延伸线上（除 C 点外）的随意一点， 其余条件不变， 结论“ AE = EF ” 仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．
F
A
D
A D
A
D
F
F
B
ECG
B
ECG
B
C E G
图 1
图 2
图 3
16、已知 Rt △ ABC 中， AC BC ，∠ C
90 ， D 为 AB 边的中点， EDF 90°，
EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延伸线）于 E 、 F ．
当 EDF 绕 D 点旋转到 DE
AC 于 E 时（如图 1），易证 △ 1 △ ．
S DEF
S CEF
S
ABC
EDF 绕 D 点旋转到 DE 和AC 不垂直时，在图
2
当
2 和图
3 这两种状况下，上述结论能否建立？若成
立，请赐予证明；若不建立， S △ DEF 、 S △ CEF 、 S △ ABC 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，不需证
明．
A
A AB
BC 2， ABC 120°， △ ABC
B
17、在 △ ABC
中， 绕点 顺时针旋转角
将
(0
°
°得 △ ，
A 1
B 交 A
C 于点 E ，
A 1C 1 分别交
D
90 )
D A 1 BC 1
E
D
AC 、BC 于 D 、F 两点．
E C
F
C
B
B
B
EA 1 与 FC 有如何的数目关系？并证
（1）如图 1，察看并猜想，在旋转过程中，线段
F
C
F
E
图 3
图 1
图 2
明你的结论；
C
C
D
F
D
F
E
E
A
B
A
B
（2）如图 2，当 30°时，试判断四边形 BC 1DA 的形状，并说明原因；
（ 3）在（ 2）的状况下，求ED 的长．
18、点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM, △ CBN N N
等边三角形，线段 AN,MC交于点 E ， BM,CN M O
点 F 。

求证：E F C E
A B B
C
O
（ 1） AN=MB.M F
（ 2）△ CEF为等边三角形。

A
都是
交于
（ 3）将△ ACM绕点C按逆时针方向旋转必定角度，其余条件不变，（1）中的结论能否依旧建立？(只回答不证明 )，
（ 4） AN 与 BM 订交所夹锐角能否发生变化，（只回答不证明)。

19、直线 CD 经过BCA 的极点C，CA=CB．E、F分别是直线C D 上两点，且BEC CFA．（ 1）若直线CD 经过BCA 的内部，且 E 、F 在射线CD 上，请解决下边两个问题：
①如图 1，若BCA 90o,90o，则EF BE AF （填“”，“”或“”号）；
②如图 2，若0o BCA 180o，若使①中的结论仍旧建立，则与BCA 应知足的关系
是；
（ 2）如图3，若直线CD 经过BCA 的外面，BCA，请研究EF、与BE、AF三条线段的数
量关系，并赐予证明．
B
B B
F
D
F E A
E E D
C
C
F
C A A
D 图 1图 2图 3。