苏科版九年级数学下册6.4-探索三角形相似的条件(2)(共37张PPT)

∴∠ADE=∠B’.
D
又∵∠A=∠A’,AD=A’B’，
B
E
B'
C'
C
∴△ADE≌△A'B'C’.
∴△A'B'C'∽△ABC.
6.4 探索三角形相似的条件（2）
探索三角形相似的条件
两角分别相等的两个三角形相似．
A
符号语言：
在△ABC和△ A'B'C'中
B
C ∵ ∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'．
A'
∴△ABC∽△A'B'C'．
∵ l1∥l2∥l3, A1A2=A2A3
∴ B1B2=B2B3
l l’
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2
两相邻平行线 间的距离相等
2021/1/20
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
几 何 语 言
2021/1/20
推论1:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例.
结论 两角分别对应相等的两个三角形相似．
已知：如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C’.
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，
过点D作DE//BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC,
∠ADE=∠B.
A
A'
∵∠B=∠B’,
B'
C'
交流讨论
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
∵ ∠ B= ∠ E,
D
∠ C= ∠ F
A
∴ △ ABC∽ △DEF
B
CE
F
例题欣赏 例1、如图，在△ABC和△A′B′C′中， 已知 ∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°， △ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
l l
A
l1
D
E l2
B
C
l3
2021/1/20
l
l
E
D l1
A
l2
B
C l3
推论2:预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线),所截得的三角形与原三角 形相似.
l l
A
l1
D
E
符号语言：
l2
∵DE∥BC
l
l
E
D l1
A
l2
B
A型
2021/1/20
C l3 ∴△ADE∽△ABC． B
Cl3
X型
找一找 在复杂的几何图形中发现A型图和X型图
如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的一点，连接
AE交CD于点F，找出图中所有的相似三角形.
A
D
F
B
CE
如图，AC∥DB，AB、CD相交于点O. 过点O的直 线交AC于点E，交DB于点F.写出图中所有的相似 三角形及其对应边所组成的比例式，并说明理由.
D FB
O
A

C
如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AE 交BD于点F,求AF:EF.
如图，平行四边形ABCD中，EF∥AD，DE：EB=2：3， EF=6，那么BC的长为______．
探索三角形相似的条件(1)
A
B A′ B′ A′′
B′′
如图，小明用一张纸遮住了3个三角形的 一部分，你能画出这3个三角形吗？
A′ A
B
C B′
C′
巩固练习 判断下列说法是否正确 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似. 2.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似. 3.顶角相等的两个等腰三角形相似. 4.有一个角为110度的两个等腰三角形相似. 5.有一个角为50度的两个等腰三角形相似.
6.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似.
回顾与反思☞
相似三角形
各角对应相等,各边对应成比例的两个三角形,叫做
相似三角形.
相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例. 如果△ABC∽△DEF,那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
AB AC BC
D
DE DF EF A
B
CF
E
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
例题欣赏 试说明:点D是线段AC的黄金分割点. 例1.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°, CD是 ∠ACB的平分线，△ABC与△CBD相似吗？为什么？
A
D
练习：伴你学 P36 第3题
B
C
6.4 探索三角形相似的条件（2）
议一议：
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是 △ABC的高．找出图中所有的相似三角形．
１２
AF AC
Ｆ
变式:
B
C
如果AC=2AF,BC=4,EF的长是多少？
点拨:在此处要证线段对应成比例,可以通过证明 两三角形相似,今后通过证明两三角形相似是证明 角相等、线段成比例的常用方法.
似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来．
请你找出来,并选择一个说明理由.
△ ADE∽ △ABC △ ADE∽ △ACD △ ABC∽ △ACD
△ CED∽ △BDC
如图，点A、B、C、D在圆上，你能找到相 似三角形吗？
变式
练习
已知：△ＡＢＣ与△AＥＦ中，
∠１＝∠２ ，∠Ｆ＝∠Ｃ．
A
求证： AE AB .
1.如图所示，△PQR是等边三角形，且 △PAQ∽△BPR.
(1)试说明：QR2=AQ·BR； P
(2)求∠APR的度数.
A
Q
RB
证明等积式转化为比例式, 然后找相似三角形
找相似三角形的方法: 三点定形法,等量代换法.
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且 ∠1=∠2=∠3.图中有哪几对相似三角形?请用符 号把它们表示出来，并说明理由.
△ ADE∽ △ABC
△ ADE∽ △ACD
A
△ ABC∽ △ACD
△ CED∽ △BDC D 1 E
B2
3
C
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网
，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的
高度h为
．
6.4 探索三角形相似的条件（2）
练一练：
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC，AE⊥BC， 图中一定和△BDC相似的三角形有几个？它们
分别是哪些三角形？
B
E O
A
D
C
6.4 探索三角形相似的条件（2）
练一练：
3．过△ABC (∠C＞∠B)的边AB上一点D作一条直 线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相
概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的高，则有如下三个等式：
CD²=AD·BD AC²=AD·AB BC²=BD·AB
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角 形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比 例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上 的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形 计算的重要定理。