高中数学必修一1.2 集合间的基本关系同步检测(人教A版,含解析)(29)

1.2 集合间的基本关系
一、单选题
1．设集合1,4A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B y y k Z ⎧⎫
==-∈⎨⎬⎩⎭，则它们之间最准确的关系是（ ）．
A ．A
B =
B ．A B ⊄
C ．A B
D ．A B ⊆
答案：C
解析：利用列举法可判断集合A 、B 的包含关系.
详解：
由集合A 得414k x +=
，k Z ∈，则73159,,,,,44444A ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭， 由集合B 得214k y -=，k Z ∈，则31135,,,,,44444B ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩
⎭， 所以，A B ，
故选：C ．
2．设集合 }{}{11,0.A x B x x a =-<<=-> 若,A B ⊆ 则a 的取值范围
A ．[1,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(,1]-∞-
答案：D
详解：
集合()B a =+∞，，A B ⊆，则只要1a ≤-即可，即a 的取值范围是(],1-∞-，故选D.
3．已知集合{}0,1,2A =,{}1,B m =.若A B B ⋂=,则实数m 的值是
A ．0
B ．0或2
C ．2
D ．0或1或2
答案：B
详解：
试题分析：由于A B B ⋂=，所以B A ⊆，又因为{}0,1,2A =，{}1,B m =以及集合中元素的互异性知0m =或2m =，故选B.
考点：集合的子集.
4．已知{|ln }A x y x ==，{|B y y ==，则（ ）
A ．A
B φ⋂=
B ．A B A ⋃=
C ．()R A B R ⋃=
D ．A B ⊇
答案：C
解析：分析：求解出集合,A B ，得到A R ，即可得到答案．
详解：由题意集合{}{|ln }0A x y x x x ===，{|{|0}===≥B y y y y ，
则{|0}R A x x =≤，所以()R A B R ⋃=，故选C ．
点睛：本题考查了集合的混合运算，其中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．
5．已知集合|
03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
答案：C
解析：解出集合A ，再由含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个可得答案. 详解： 解：由|03x A x Z x ⎧
⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个.
故选：C
点睛：
此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，属于基础题.
6．已知集合{|3,},{|6,}A x x k k N B x x z z N ==∈==∈，则集合A 与B 之间的关系是（ ）
A ．A
B ⊆
B ．A B =
C ．A B
D ．A B
答案：D
解析：利用子集的定义可判断出集合A 与B 之间的关系.
详解：
任取x B ∈，则()632x z z A ==⋅∈，则B A ⊆，取3A ∈，则3B ∉，
因此，A B .
故选：D.
点睛：
本题考查集合包含关系的判断，考查子集定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
7．设集合{}1,1M =-，13N x
x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．N M ⊆
B ．M N ⊆
C ．N M =Φ
D ．M N R =
答案：B
解析：先解分式不等式，再求交集即可得解.
详解： 解：解不等式13x <，得
310x x ->，得0x <或13
x >， 即103N x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或， 又{}1,1M =-，
所以M N ⊆，
故选：B.
点睛：
本题考查了分式不等式的解法，重点考查了集合的关系，属基础题.
8．若M P ⊆，M Q ⊆，{0,1,2}P =，{0,2,4}Q =，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．8个
答案：C
解析：先求出集合P 和Q 的公共元素组成的集合C ，由题意得出M C ⊆，则求出集合C 的子集的个数既是满足题意的集合M 的个数.
详解：
由集合{0,1,2}P =，集合{0,2,4}Q =，则集合P 和Q 中的公共元素组成集合{0,2}C =，又因为M P ⊆，M Q ⊆，所以M C ⊆，集合C 的子集的个数为224=，所以满足题意要求的集合M 共有4个.
故选：C.
点睛：
本题考查了集合子集的应用，考查了集合子集个数的求解，属于一般难度的题.
9．已知集合(){|ln 1}A x y x ==-，{|B x y ==，则（ ）
A ．A
B =
B ．A B ⊆
C ．A B =∅
D ．A B R =
答案：B
解析：令10x ->，10x -≥可对两个集合进行化简，即可选出正确答案.
解：令10x ->，解得1x >，即{|1}A x x =>；令10x -≥，解得1≥x ，即{|1}B x x =≥.所以A B ≠，A 错误；A B ⊆，B 正确；()1,A B =+∞≠∅，C 错误；[)1,A B R =+∞≠，
D 错误.
故选:B.
点睛：
本题考查了集合的运算，考查了集合的关系，考查了函数的定义域的求解.本题的关键是对两个集合进行正确化简.
10．{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的非空子集的个数为（ ）
A ．10
B ．9
C ．1024
D ．1023
答案：D
解析：利用列举法表示集合B ，确定集合B 的元素个数，然后利用非空子集个数公式可得出集合B 的非空子集个数.
详解：
由题意可得()()()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4B =，
集合B 中共10个元素，因此，集合B 的非空子集的个数为10211023-=.
故选D.
点睛：
本题考查集合非空子集个数的计算，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题
1．集合{}2,A a a k k N ==∈∣，集合()211(1)1,8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭∣，下列A ，B 间的关系：①A 为B 的真子集；②B 为A 的真子集；③A B =，其中正确的是___________.（填写相应序号）
答案：②
解析：分n 为偶数、n 为奇数可得集合B 与A 的关系.
详解：
当n 为偶数时，0b =，当n 为奇数时，令21()n k k Z =-∈， 则21
2(21)1(1)8
b k k k ⎡⎤=⨯⨯+-=+⎣⎦其必为偶数且只是部分偶数 所以B 为A 的真子集
故答案为：②
本题考查的是集合间的基本关系，属于基础题.
2．设集合{}0,1A =，{}1,2B =，{},,C x x a b a A b B ==+∈∈，则集合C 的真子集个数为________.
答案：7
解析：先求出集合C ，再根据元素个数即可求出真子集个数.
详解：
{}0,1A =，{}1,2B =，
{}{},,1,2,3C x x a b a A b B ∴==+∈∈=有3个元素，
∴集合C 的真子集个数为3217-=个.
故答案为：7.
点睛：
本题考查集合子集个数的求解，属于基础题.
3．已知集合A=x|2x 4=}，B=x|ax=2}且a 0≠．若B ⊆A ，则实数a 的取值集合是__________．
答案：-1,1}
解析：先化简集合A=x|2x 4=}{}2,2=-，B=x|ax=2}2a ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭，再根据B ⊆A 求解. 详解：
集合A=x|2x 4=}{}2,2=-，B=x|ax=2}2a ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭， 因为B ⊆A ， 所以22a =-或22a =，
解得1a =-或1a =，
所以实数a 的取值集合是{}1,1-.
故答案为：{}1,1-
点睛：
本题主要考查集合的基本关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．已知{}0,2,M b =，{}20,2,N b =，且M N ，则实数b 的值为____________.
答案：1
解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可求得实数b 的值.
详解：
{}0,2,M b =，{}20,2,N b =且M N ，则2
02b b b b ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩
，解得1b =. 故答案为：1.
点睛：
本题考查利用集合相等求参数，同时要注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于基础题.
5．设Q
是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠
，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x
⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③1212{|,}x x x x X +∈；④1212{|,}x x x x X ∈；与X 相等的集合的序号是_____________
答案：①②④．
解析：本题主要考查集合相等的证明方法：双包含，由此对各序号依次分析判断. 详解：
设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则
对于①：∀
x∈X，设x a a b Q =+∈，
，则x b =
，而b X ，从而x∈A，故X ⊆A
2b =+∈X，故A ⊆X ，从而A ＝X ；
对于②：∀
x∈X，设x a a b Q =+∈，，令
x m n Q =∈，，则可得(
22am bn an bm +++=，从而am+2bn ＝2，an+bm ＝0，解得2222a m a b =-，222b n a b
=--，且m ，n∈Q，从而x∈B，故X ⊆B
，反过来，22222a X x a b
=
=-，故B ⊆X ，从而B ＝X ；
对于③：取1211x x ==-x 1+x 2＝0∉X ，从而C 不是X 的子集，故C≠X；
对于④：∀
x∈X，设x a a b Q =+∈，
，则(1x a =⨯+
，取121x x a ==+，x∈D，即X ⊆D ，反过来x 1，x 2∈X 时，x 1x 2∈X，故D ⊆X ，故D ＝X ．
综上，①②④正确，
故答案为①②④．
点睛：
本题考查集合的运算，尤其是集合相等，需要将两个集合中的元素相互转化为彼此的形式结构，借助双包含来证明或举反例，可借助待定系数法．
三、解答题
1．已知集合，. （1）若集合，，求的值；
（2）是否存在实数，使得
?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
；（2）不存在实数，见解析 解析：（1）根据，两个集合元素相同列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
（2）根据是的子集，分别令和，解方程，然后根据集合元素的性质，判断出符合题意的不存在.
详解：
（1）由题可知所以所以. （2）假设存在实数使得
， 则或. 若，则，此时没有意义，舍去. 若，则，化简得，解得或（舍）， 当时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数，使得
. 点睛：
本小题主要考查两个集合相等的概念，考查元素、子集的概念和运用，考查含有根式的方程的解法，属于基础题.
2．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，求所有满足条件的集合M ．
答案：集合M 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5． 解析：根据集合M 中元素个数分类写出集合M ．
详解：
解：①当M 中含有2个元素时，M 为{}1,2；
②当M 中含有3个元素时，M 为{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5；
③当M 中含有4个元素时，M 为{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5；
④当M 中含有5个元素时，M 为{}1,2,3,4,5．
故满足条件的集合M 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5．
3．已知集合{}1,3,A a =，{}2
B a =，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值集合.
答案：{}1,3,0,3--
解析：根据集合之间的关系，确定元素2a A ∈，分类讨论，求解即可.
详解：
B 是A 的真子集
2a A ∴∈，则有：
（1）211a a =⇒=±，当1a =时与元素的互异性不符，所以1a =-；
（2）233a a =⇒=±；
（3）20a a a =⇒=或1a =，舍去1a =，则0a =；
综上实数a 的取值集合为{}1,3,0,3--
点睛：
本题考查集合之间的关系，注意元素的互异性，属于较易题.
4．已知[1,)[,)a -+∞⊇+∞，求实数a 的取值范围．
答案：1a -
解析：利用集合间的关系同时利用图形即可求得实数a 的取值范围.
详解：
因为在区间[,)a +∞内的实数一定都在区间[1,)-+∞内，画出数轴，如图，由图知1a -．
点睛：
本题主要考查的是集合间的关系，利用数形结合思想解决本题更直观，是基础题.
5．已知集合2{|30}A x x x n =-+=，且1A ∈.
（1）求集合A ；
（2）如果集合{|10}B x mx =+=，且B A ⊆，求m 的值组成的集合.
答案：（1）{}12，；（2）1012⎧
⎫--⎨⎬⎩⎭
，，. 解析：（1）直接根据1A ∈，代入方程解得2n =，再确定集合A ；
（2）分类讨论集合B ，即①当B =∅和②当B ≠∅，再综合得m 取值构成的集合. 详解：
（1）因为1A ∈，直接将1代入方程：230x x n -+=得，2n =，
所以，方程为2320x x -+=，
即()()120x x --=，
解得1x =或2x =，
所以，集合{}12A =，
； （2）因为B 是A 的子集，分两类讨论：
①当B =∅时，0m =，由于空集是任何集合的子集，
所以，B =∅，符合题意；
②当B ≠∅，则{}
1B =或{}2B =， 代入解得，1m =-或12-，
综合以上讨论得，m 的取值集合为：1012⎧
⎫--⎨⎬⎩⎭，，.。