高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 剖析演绎推理证明的几种常见错误素材 新人教A版选修12

剖析演绎推理证明的几种常见错误
1. 偷换论题
例1求证四边形的内角和等于0
360。

证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有 0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ，
所以，四边形的内角和等于0
360。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了偷换论题的错误。

在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。

2. 虚假论据
例2已知2和3是无理数，试证32+也是无理数。

证明：依题设2和3是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数， 所以32+也是无理数。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了虚假论据的错误。

使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。

因此，原题的真假性仍无法断定。

3. 循环论证
例3在ABC Rt ∆中，090=∠C 求证：222c b a =+。

证明：因为A c b A c a cos ,sin ==， ∴A c A c b a 222222cos sin +=+
=2
222)cos (sin c A A c =+。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了循环论证的错误。

本题的论证就是人们熟知的勾股定理。

上述证明中用了“1cos sin 22=+A A ”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误。

4. 不能推出 例4设81tan 51tan 21tan 2
0===∈γβαπγβα，，），且，（、、。

求证：4π
γβα=++。

证明：因为γ
βγαβαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++
=18
151815151211815121815121=⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++， 4π
γβα=++∴。

剖析：上述推理过程是错误的。

犯了不能推出的错误。

因为1)tan(=++γβα只能推出)(,4Z n n ∈+=++π
πγβα。

至于关系式4π
γβα=++是否唯一地成立，却无法断定。

因此，只有进一步推出4,,0π
γβα<<，即430πγβα<++<，原题才能得证。