2019届广东省高三第一学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

2019届广东省高三第一学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意先求出集合N然后根据交集的运算即可求解.
【详解】
因为=，，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题
2．复数在复平面内对应的点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．
【详解】
∵，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．若，且为第四象限角，则的值等于（）
A．B．C．D．
【解析】由同角三角函数基本关系式可求cosα，利用诱导公式化简即可得解．
【详解】
∵，且α为第四象限角，
∴cosα＝，∴tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了诱导公式和同角三角函数基本关系在化简求值中的应用，属于基础题．
4．已知左、右焦点分别为的双曲线：过点，点在双曲线上，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线经过的点，求出a，再由双曲线的定义求解即可．
【详解】
左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：过点，可得：，解得a＝3，b＝1，c＝，a+c＞3，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，可得p在双曲线的左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝6+3＝9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
5．已知，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
根据题意，若函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，依次分析选项：
对于A ，y ＝﹣为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于B ，y ＝tanmx ，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C ，y ＝ln ，必有＞0，解可得﹣m ＜x ＜m ，则函数的定义域为（﹣
m ，m ），
f （﹣x ）＝ln ＝﹣ln ＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，且在其定义域内是单
调递增函数，符合题意；
对于D ，y ＝x m
，当m ＝时，f （x ）不是奇函数，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于中档题．
6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为
元，月退休金各种用途占比统计图如下
面的条形图。

该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下
面的折线图。

已知目前的月就医费比刚退休时少元，则目前该教师的月退休金为
（ ）
A ．
元 B ．
元 C ．
元 D ．
元
【答案】D
【解析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．
【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
7．已知向量与共线且方向相同，则（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由两向量共线且方向相同，求出t的值，再计算的值．
【详解】
向量与共线，∴t2﹣4＝0，解得t＝±2；又与方向相同，∴t＝2，
∴＝（2，1），＝（4，2），∴＝（14，7），∴＝142+72＝245，又2﹣＝（0，0），∴＝0，
∴＝245．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的共线和坐标运算等问题，是基础题．
8．拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。

他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外（内）侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。

如图所示，以等边的三条边为边，向外作个正三角形，取它们的中心，顺次连接，得到，图中阴影部分为与的公共部分。

若往中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）
A．B．C．D．
的交点，等边△AMN的边长为a，分别求出阴影部分的面积与△DFH的面积，由概率比是面积比得答案．
【详解】
设等边△GEI的边长为3a，则△DFH的边长为6a，等边△AMN的边长为a，则
，阴影部分的面积S阴影
＝S△EGI﹣3S△AMN＝．由概率比为面积比可得：
往△DFH中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为P＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何概型，关键是求阴影部分的面积，属于中档题．
9．已知函数的最大值为，周期为，
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若是偶函数，则的解析式为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由两角差的余弦公式化简函数的解析式，再由余弦函数的周期性求得ω，由函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性求得φ，可得函数的解析式．
∵函数f（x）＝Acosωxcosφ+Asinωxsinφ＝Acos（ωx﹣φ）的最大值为2，∴A＝2；∵函数的周期为＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2cos（2x﹣φ）．将函数f（x）的图象向左
平移个单位长度得到g（x）＝2cos（2x+﹣φ）的图象，若g（x）是偶函数，则
﹣φ＝kπ，k∈Z．∴φ＝，则f（x）的解析式为f（x）＝2cos（2x﹣），
故选：B．
【点睛】
本题考查了两角差的余弦公式，余弦函数的周期性，函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．
10．如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为2，3，4的长方体的外接球，进而可得答案．
【详解】
由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为1，1，2的长方体的外接球，故外接球直径2R＝，故该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝24π.
【点睛】
本题考查了由三视图求球的体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，属于中档题.
11．在凸平面四边形中，，且，，，则
的面积等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在凸平面四边形中，由，得,所以
，得BD=7，由余弦定理得，再由三角形面积公式计算即可.
【详解】
在凸平面四边形中，，得，在中，
,在中，.由，得
BD=7. 再由,得sin=， .故选：D.
【点睛】
本题考查了凸平面四边形的性质和正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式，属于中档题.
12．已知函数在上存在导函数，若，且时，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【解析】先构造函数令g（x）＝f（x）﹣x3，由题意判断出F（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化成g（2x）＞g（x﹣1），由函数单调性可得到|2x|＞|x﹣1|，解得即可．【详解】
令
g（x）＝f（x）﹣x3，∵f（x）﹣f（﹣x）＝2x3，∴f（x）﹣x3＝f（﹣x）﹣（﹣x）3．
即g（x）＝g（﹣x），∴g（x）为偶函数．∵x≥0时f'（x）﹣3x2≥0，∴g（x）在[0，+∞）递增，不等式f（2x）﹣f（x﹣1）＞7x3+3x2﹣3x+1的解集⇔g（2x）＞g（x﹣1）．
∴|2x|＞|x﹣1|⇒3x2+2x﹣1＞0∴或x＜﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了构造新函数的应用，考查新函数单调性、奇偶性，导数的综合应用，属于中档题．
二、填空题
13．二项式展开式中的常数项为________。

（用数字作答）
【答案】240
【解析】由，令12﹣3r＝0，得r＝4，由此能求出常数项．【详解】
在二项式中，通项公式得，由12﹣3r＝0，得r＝4，∴常数项为.
故答案为：240．
【点睛】
本题考查了二项展开式中常数项的求法，注意二项式定理的合理运用，是基础题，
【答案】
【解析】由题意作出其平面区域，z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2可看成阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方，求阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方最小值即可．【详解】
由题意作出实数x，y满足平面区域，z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2可看成阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方，阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方最小
值转化为：D到x﹣y+1＝0的距离的平方，解得 .
故答案为：．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
15．已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为________。

【解析】先求出正方体外接球的半径，再求出球心到OE的距离，利用勾股定理即可求解．
【详解】
∵正方体内接于球，∴2R＝，R＝，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中
心为G，∵sin∠GOE＝sin∠AA1C＝，∴G到OE的距离d＝OGsin∠GOE＝1×．则直线OE被正方体外接球所截得的线段长度为2．
故答案为：．
【点睛】
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查直线与截面圆位置关系的应用，属于中档题．
16．已知抛物线：经过点，直线分别与抛物线交于点，若直线的斜率之和为零，则直线的斜率为_________。

【答案】-2
【解析】将P（1，4）代入y2＝2px可解得p＝8，得抛物线方程为y2＝16x，在设出直线PA的方程并与抛物线方程联立解得A的坐标，同理解得B的坐标，最后用斜率公式可求得AB的斜率为定值﹣2．
【详解】
因为抛物线C：y2＝2px经过点P（1，4），∴p＝8，∴抛物线C：y2＝16x，设直线PA：y﹣4＝k（x﹣1），并代入y2＝16x消去x并整理得k2x2+（8k﹣2k2﹣16）xx+（4﹣k）2＝0，
∴1•x1＝，∴x1＝，∴y1＝4﹣k+kx1＝4﹣k+k•＝﹣4，同
理得x2＝，y2＝﹣﹣4，所以直线AB的斜率为：
．
故答案为：﹣2
【点睛】
本题考查了求直线斜率的定值问题，直线与抛物线的位置关系的综合，属于中档题．三、解答题
17．已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项。

（1）求；
（2）若，求数列的前项和。

【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d，d＞0，等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简整理即可.
【详解】
（1）设的公差为d，且，，据题意则有
，即
因为，解得
所以.
（2）＝＝（﹣），
前n项和T n＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）
＝（﹣）．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
18．水果的价格会受到需求量和天气的影响.某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用来作为价格的优惠部分（单位：
元/箱）与购买量（单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到下表（表中
）：
（1）根据参考数据，
①建立关于的回归方程；
②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到0.1元）.
（2）在样本中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点.已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为，求
的数学期望.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小
二乘估计分别为，，参考数据：
【答案】（1）①②（元）；（2）.
【解析】（1）①对y＝ax b两边同时取自然对数，由此求得y关于x的回归方程；②利用回归方程计算x＝100时的y值，由此求出每箱水果优惠钱数，再计算购买100箱所
需的金额数；（2）由题意知随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望值．
【详解】
（1）①对两边同时取自然对数得，
令，得，
故所求回归方程为.
②由①得，将代入，得，故每箱水果大约可以获得优惠10e元，故购买100箱该种水果所需的金额约为（元）.
(2)由题意知可取0,1,2,3
,
故.
【点睛】
本题考查了求线性回归直线的方程与离散型随机变量的期望问题，是中档题．
19．在多面体中，是边长为的正方形，，平面平面，
，。

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）推导出BE⊥BC，BD⊥CE，从而BE⊥平面ABCF，进而BE⊥AB，再由AB⊥CE，得AB⊥平面BCDE，从而CF⊥平面BCDE，进而CF⊥BD，由此能证明BD⊥平面CFE．（2）以B为原点，向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面ADF所成角的正弦值．
【详解】
（1）∵BCDE是正方形，∴BE⊥BC，BD⊥CE，
∵平面ABCF⊥平面BCDE，平面ABCF∩平面BCDE＝BC，
∴BE⊥平面ABCF，∴BE⊥AB，∵AB⊥CE，BE∩CE＝E，
∴AB⊥平面BCDE，∵CF∥AB，∴CF⊥平面BCDE，∴CF⊥BD，
∵CF∩CE＝C，∴BD⊥平面CFE．
（2）以B为原点，向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则E（0，2，0），F（2，0，1），A（0，0，2），D（2，2，0），则
＝（2，﹣2，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝（0，﹣2，1），设平面ADF的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（1，1，2），
设直线EF与平面ADF所成角为θ，则sinθ＝＝＝．
∴直线EF与平面ADF所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。

（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点
，满足，其中是坐标原点，求的值。

【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用已知条件列出椭圆几何量的方程组，求解a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量关系，推出结果即可．
【详解】
（1）∵△PF1F2的面积为，∴×2c×＝，即c＝1，
由，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝1；
（2）由题意可得l：y＝k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，消y可得（1+2k2）x2﹣8kx+8k2﹣2＝0，
∴△＝64k2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，可得k2＜，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵，∴＝3﹣3（﹣），即＝（+），
∴（x，y）＝（x1+x2，y1+y2），∴x＝（x1+x2）＝
y＝[k（x1+x2）﹣4k]＝，∴Q（，），∵点Q在椭圆C上，
∴+2•＝2，∴9k2＝1+2k2，解得k＝±．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用，属于中档题.
21．已知函数。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，求出切线斜率，从而求出切线方程即可；
（2）问题转化为a≤，令h（x）＝，求出函数的导数判断函数的单调性，求出a的范围即可．
【详解】
（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.
（2）由可得，即.
因为，所以.
令，则.
令则（8分）
因为，所以，
所以在上单调递增，则，
所以，
即实数的取值范围.
【点睛】
本题考查了求切线方程的问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．
22．已知极坐标系中，点，曲线的极坐标方程为，点
在曲线上运动，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直
线的参数方程为为参数。

（1）求直线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）求线段的中点到直线的距离的最大值。

【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由直线l的参数方程，求出直线的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标，由此能求出曲线C的参数方程．
（2）设N（2cosα，2sinα），（0≤α＜2π），点M的极坐标化为直角坐标为
（4，4），则P（+2，sinα+2），点P到直线l的距离d＝，由此能求出点P到l的距离的最大值．
【详解】
（1）∵直线l的参数方程为为参数）．∴直线的普通方程为x﹣y﹣10＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣10＝0，即．
∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣12＝0，
∴曲线C的直角坐标方x2+3y2﹣12＝0，即．
∴曲线C的参数方程为，（α为参数）．
（2）设N（2cosα，2sinα），（0≤α＜2π），点M的极坐标（4，）化为直角坐标为（4，4），则P（+2，sinα+2），
∴点P到直线l的距离d＝＝≤6，
当sin（）＝1时，等号成立，∴点P到l的距离的最大值为6．
【点睛】
本题考查直线的极坐标方程、曲线的参数方程，考查点到直线的距离的最大值求法，是中档题．
23．已知函数，。

（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）去掉绝对值得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）根据（1）得到（2a，﹣1+a]，列出关于a的不等式组，解出即可．【详解】
（1）或
或，
或或，
或或，
所以不等式的解集为.
（2）因为当时，恒成立，
所以的解集包含，
由（1）得的解集为，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．。