高三模拟考试数学(理)试题含答案
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2014届高三模拟考试
数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合}4,2,1{=A ,},log |{A x x y y B ∈==2则=B A ( ) A .{0,1,2} B .}2,1{ C .{0,1,2,4} D .}4,1,0{ 2. 已知i 为虚数单位,则
1i
i +的共轭复数的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14- B. 14 C. 14i D. 1
4
i -
3.下列说法正确的是( ) A .命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是:“032,2>++∈∀x x R x ” B .a ∈R,“
1
a
<1”是“a >1”的必要不充分条件 C .“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D .命题p :“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”,则p ⌝是真命题
4.设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30° 5. 已知
F
是抛物线x y 42=的焦点,准线与x 轴的交点为
M ,点N 在抛物线上,且
||||MN NF 2
1
=
,则FMN ∠( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 6. 已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果,
的展开式中含2
x 项的系 数是( ).
A .192
B .32
C .96
D .-192
7. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
8.函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( ) D .
9.设函数()|sin(2)|3
f x x π
=+,则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( )
A .()f x 图象关于直线12
x π
=
对称 B .()f x 的最小正周期为π C .()f x 图象关于点(,0)6
π
-对称
D .()f x 在区间7[,
]3
12
π
π
上是减函数 10.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使其成为四面体ABCD ,则下列命题:
① 三棱锥A —BCD 体积的最大值为
12
2; ② 当三棱锥体积最大时直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为45; ③ B 、D 两点间的距离的取值范围是(0,2;
④ 当二面角D-AC-B 的平面角为90时,异面直线BC 与AD 所成角为45. 其中正确结论的个数为( )
A . 1个
B . 2个
C .3个
D . 4个
11.已知双曲线C :122
22=-b
y a x (0,0a b >>),以原点为圆心,b 为半径的圆与x 轴正半轴的交
点恰好是右焦点与右顶点的中点,此交点到渐近线的距离为
5
16
,则双曲线方程是( ) A .116524522=-y x B .191622=-y x C .116922=-y x D .125
162
2=-y x
12.已知函数1()2x e f x ax -⎧+=⎨+⎩(0)
(0)
x x ≥<(a 为常数),对于下列结论
O
y
x
1
1
1
1
1
正视图
侧视图
俯视图
①函数()f x 的最大值为2;② 当0<a 时,函数()f x 在R 上是单调函数; ③ 当0>a 时,对一切非零实数x ,0<)('x xf (这里()f x '是()f x 的导函数); ④当0a >时,方程[]1)(=x f f 有三个不等实根. 其中正确的结论是( ) A . ①③④ B .②③④ C .①④ D .②③
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.观察下列不等式:①12
1<;②
26
12
1<+
;③
312
16
12
1<+
+
...,则第5个不等式为
______________.
14.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子
中的小球个数都不同,则共有______________种不同放法.15.已知()(43)2f x a x b a =-+-,[0,1]x ∈,若()2f x ≤恒成立,则b a +的最大值
为 .
16.在ABC ∆中,cos cos 2cos a B b A c A +=,tan 3tan B C =,则AB
AC
=______________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知各项均不相等的等差数列}{n a 的前四项和414S =,且731a a a ,,成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设n T 为数列}{1
1
+n n a a 的前n 项和,若λ≥n T 对*∈∀N n 恒成立,求实数λ的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图,棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2,60ABC ∠=,平面11AAC C ⊥平面
ABCD ,160A AC ∠=.
(1)证明:1BD AA ⊥;
(2)求二面角B D C A --11的平面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某单位实行休年假制度两年来,10名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所 示:
根据上表信息解答以下问题:
D
C
B
A
A 1
B 1
C 1
D 1
(1)从该单位任选两名职工,用η表示这两人休年假次数之和,记“函数12
--=x x x f η)(
在区间(1,3)上有且只有一个零点”为事件A ,求事件A 发生的概率P ; (2)从该单位任选两名职工,用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量ξ的
分布列及数学期望ξE .
20.(本小题满分12分)
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定 点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知bx ax x x f --=2ln )(.
(1)若1-=a ,函数)(x f 在其定义域内是增函数,求b 的取值范围; (2)当1-=a ,1-=b 时,证明函数)(x f 只有一个零点;
(3))(x f 的图象与x 轴交于)0,(1x A ,)0,(2x B (21x x <)两点,AB 中点为),(00x C , 求证:00<')(x f .
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 如图所示,已知D 为ABC ∆的BC 边上一点,⊙1O 经过点B ,D 交AB 于另一点E ,⊙2O 经过点C ,D 交AC 于另一点F ,⊙1O 与⊙2O 交于点G . (1)求证:EFG EAG ∠=∠;
(2)若⊙2O 的半径为5,圆心2O 到直线AC 的距 离为3,AC =10,AG 切⊙2O 于G , 求线 段AG 的长.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C 1:⎩⎨⎧+=+-=αα
sin cos 34y x (α为参数), C 2:8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)。
(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C 1上的点P 对应的参数为2
π
α=
,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线
332,
:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩
(t 为参数)距离的最小值。
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数31)(-++=x x x f . (1)求不等式6)(<x f 的解集;
(2)若关于x 的方程2)(-=a x f 有解,求实数a 的取值范围.
佳木斯一中2014届高三第三次模拟考试
数学试卷(理科)答案
一、选择题:CABBC DABAB CD 二、填空题:13.5
3012011216121<+
+
++ 14. 18 15.
417
16.2
131+- 三、解答题:
17. 解:(1)设公差为d ,由已知得12
1114614(2)(6)
a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩
解得1d =或0d =(舍),所以12a =,故1n a n =+. ………………… 5分 (2)因为
11111
(1)(2)12
n n a a n n n n +==-
++++ ………………… 6分 所以2
1
2121114
13
13
12
1+-
=+-++
+-+-=n n n T n ......, …………………8分 而n T 随着n 的增大而增大,
所以6
131211=-=≥T T n …………………10分 因为λ≥n T 对*n N ∀∈恒成立,即6
1≤λ,所以实数λ的最大值为6
1. ………… 12分
18.解析:
(1)证明:ABCD 是菱形
11111111BD AC
A ACC ABCD BD A ACC A A A ACC BD A A
∴⊥⊥∴⊥⊂∴⊥又面面面面
………………4分
(2)设AC 与BD 交于O 点,连接1A O
在1AAO ∆中,112,1
,60AA AO A AO ==∠= 222
11
12cos603AO AA AO AA AO ∴=+-⋅= 1
AO AO ∴⊥ 平面11AAC C ⊥平面
ABCD 1
AO ∴⊥平面ABCD …………………6分 以1,,OB OC OA 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间 直角坐标系,
1
则
),,(),,,(),,,(),,,(00332000330011-D C B A
设),,(z y x n =1为平面D C A 11的法向量, ),,(),,,(303020111--==D A C A
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=--=03302z x y ,取1=x ,得),,(1011-=n …………………8分 设),,(z y x n =2为平面D BC 1的法向量, ),,(),,,(00323231-=-=BD BC
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-0
320323x z y x ,取3=y ,得),,(2302-=n …………………10分 ∴7
14
212121=
<|
|||,cos n n n n ∴二面角B D C A --11的平面角的余弦值为
7
14
………………… 12分 19.解:(1)函数()21f x x x η=--过(0,1)-点,在区间),(31上有且只有一个零点,则必有
⎩⎨
⎧><0301)()(f f ,即⎩⎨⎧>--<--0
139011ηη,解得38
0<<η 所以,1=η或2=η ………………… 3分
45
19
212
10
1
5
12231312=
⋅++⋅=
=+=C C C C C C P P )()(ηη ………………… 5分
(2)由题意知ξ的可能取值为0,1,2. ………………… 6分
451402
10
25
2322=++=
=C C C C P )(η,157
45211210
15131312==⋅+⋅==C C C C C P )(η, 9
2
45102210
1512==
⋅==C C C P )(η …………………9分
从而ξ的分布列:
…………………10分
ξ的数学期望:45
41
922157145140=
⨯+⨯+⨯
=)(ξE . …………………12分
o
20. 解:(1
)由题意得22
=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得=2a ,1b =. 所以椭圆C 的方程是2
214
x y +=. …………………4分 (2)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.
由22
(1)14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2122814k x x k +=+,2122
44
14k x x k
-=+.……………… 6分 又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点(2,0)M .
由题意可知直线AM 的方程为1
1(2)2
y y x x =
--,故点112(0,)2y P x -
-. 直线BM 的方程为22(2)2
y y x x =
--,故点2
22(0,)2y Q x --. …………………8分
若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ,则等价于0PN QN ⋅=恒成立.
………………9分
又因为1012(,
)2y PN x x =-,2
022(,)2
y QN x x =-, 所以2
21212
001212224022(2)(2)
y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+
⋅=+=----恒成立. 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222
448241414k k k k -=-+++2
2414k k =+, 2
12121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22
2
22
448(
1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+, 所以2
2222120002122
12414304(2)(2)
14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+
.解得0x =. 故以线段PQ 为直径的圆过x
轴上的定点(. …………… 12分
21. 解:(1)依题意:f (x )=ln x +x 2-bx .∵f (x )在(0,+∞)上递增,
∴1()20f x x b x
'=
+-≥对x ∈(0,+∞)恒成立,……1分 即12b x x ≤+对x ∈(0,+∞)恒成立,只需min 1(2)b x x ≤+. …………2分 ∵x >0
,∴12x x +≥
x =时取“=”,
∴b ≤b
的取值范围为(-∞. ………………4分
(2)当a =-1,b =-1时,f (x )=ln x +x 2+x ,其定义域是(0,+∞), 分)上单调递增,又,在(分602)1(,0111)1(0)(5012121)(22----->=<++-=∞+-------------->++=++='f e e
e f x f x x x x x x f . ∴函数f (x )只有一个零点.……7分
(3)由已知得221111111222222111()ln 0ln ()ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎪⎩
⎩, 两式相减,得11212122
ln ()()()x a x x x x b x x x =+-+- 112122
ln ()[()]x x x a x x b x ⇒=-++. …………9分 由1()2f x ax b x '=
--及2x 0=x 1+x 2,得 1001201212122
1221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 1121211121221222
2(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令1222,()ln (01)1
x t t t t t x t ϕ-==-<<+. ∵2
2(1)()0(1)
t t t t ϕ-'=-<+,∴φ(t )在(0,1)上递减,∴φ(t )>φ(1)=0. ∵x 1<x 2,∴f ′(x 0)<0. …………12分
22.解: (1)证明: 连接GD ,因为四边形BDGE ,CDGF 分别内接于⊙O 1,⊙O 2,∴∠AEG=∠BDG ,
∠AFG=∠CDG ,又∠BDG+∠CDG=180°,∴∠AEG+∠AFG=180°.
即A ,E ,G ,F 四点共圆,∴∠EAG=∠EFG. ……………… 5分
(2)解: 因为⊙O 2的半径为5,圆心O 2到直线AC 的距离为3,
所以由垂径定理知FC=22235-=8,又AC=10,
∴AF=2,∵AG 切⊙O 2于G ,∴AG 2=AF ·AC=2×10=20,AG=2
5. ………10分 23.解:(1)22
2212:(4)(3)1,: 1.649
x y C x y C ++-=+= ……………2分 1C 为圆心是(4,3)-,半径是1的圆.
2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. ……5分
(2)当2
t π=时,3(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2P Q M θθθθ--++故
3C 为直线3270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==
--到的距离 13)sin(55
5--=θφ --------------------------8分
从而当1)sin(=-θφ时,即5453=-=θθcos ,sin 时,d ……………10分 24.解:(1)原不等式等价于⎩⎨⎧<--+--<6311)()(x x x 或⎩⎨⎧<--+≤≤-63131)()(x x x 或⎩⎨⎧<-++>6313)()(x x x ……3分 解得12-<<-x 或31≤≤-x 或43<<x ,故原不等式的解集为}|{42<<-x x .……5分
(2)∵43131=+-+≥-++=||||||)(x x x x x f . …………………7分 又关于x 的方程||)(2-=a x f 有解,
∴42≥-||a 即42≥-a 或42-≤-a ,解得6≥a 或2-≤a , …………………9分 所以实数a 的取值范围为6≥a 或2-≤a . …………………10分。