海南省国际学校2022-学年高二数学上学期期中试题

海南省海南枫叶国际学校2021-2021学年高二数学上学期期中试题
时间：120分钟总分值;150分
〔考试范围：必修2第二章，选修2-1第二章2.2，第三章3.1.5,3.2〕
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选项中，只有一项
为哪一项符合题目要求的.)
1. 以下说法中正确的选项是( )
A. 经过两条平行直线,有且只有一个平面
B. 如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行
C. 三点确定唯一一个平面
D. 如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等,那么这两个平面相
互平行
2.如下图，用符号语言可表达为〔〕
A. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
B. α∩β=m，n∈α，A∈m，
A∈n
C. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
D. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
3. 是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是〔〕
①②
③④
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出以下四个命题：
①假设α∥β，l⊂α，那么l∥β；②假设m⊂α，n⊂α， m∥β，n∥β，那么α∥β；
③假设l∥α，l⊥β，那么α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α；
其中真命题的序号是〔〕
A. ①③④
B. ①②③
C. ①③
D. ②④
5.如图是一个正方体的平面展开图，那么在正方体中直线AB与
CD的位置关系为〔〕
A. 相交
B. 平行
C. 异面而且垂直
D. 异面但不垂直
6.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) A.
B. C. D.
7.假设ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)4,1,6(),3,2,4(),1,2,1(--C B A ,那么ABC ∆的形状是〔 〕 A.锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
8.空间向量)2,1,2(),2,,1(-==b n a ，假设b a -2与b 垂直，那么a 等于〔 〕
A.
B.
C.
D.
9.向量),,3(),5,4,2(y x b a ==，分别是直线21,l l 的方向向量，假设21//l l ，那么〔 〕
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
10.假设椭圆C ：
的短轴长等于焦距,那么椭圆的离心率为〔 〕
A. B .
C.
D.
11.假设曲线
表示椭圆,那么k 的取值范围是 ( )．
A.
B.
C.
D.
或
12.椭圆19
22=+x y 中，过点)21,21(P 的直线与椭圆相交于B A ,两点，且弦AB 被点P 平分，
那么直线AB 的方程为〔 〕
A. 049=--y x
B. 059=-+y x
C. 022=-+y x
D. 05=-+y x 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20.0分〕
13.a (2,1,2),(1,1,4),2a 3)(__________)_
b b a b =--=--⋅+=已知向量则（
1
m,,___________,2
n l m n l αα
〈〉=-14.已知分别是直线的方向向量和平面的法向量，若cos 则与所成的角为．
221222213
103
43___________x y C a b F F F a b l C A B AF B C +=15.已知椭圆：（＞＞）的左、右焦点为、，离心率为，过的
直线交于、两点，若的周长为，则的方程为．
16.点P 是椭圆＋＝1)0(>>b a 上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，那么椭圆的离心率为___________．
三、解答题〔本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分〕 17.求适合以下条件的椭圆标准方程：
〔1〕与椭圆有相同的焦点，且经过点
〔2〕经过两点
18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA =PD =AD ，假设
E 、
F 分别为PC 、BD 的中点．
〔1〕 求证：EF ∥平面PAD ；
〔2〕 求证：EF ⊥平面PDC ．
19.如图：在三棱锥P -ABC 中，PB ⊥面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠B =90°，AB =BC =2，∠PAB =45°，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点．
〔1〕求证：EF⊥PD；
〔2〕求二面角E-PF-B的正切值．
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB 上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
〔1〕求证：M为PB的中点；
〔2〕求二面角B-PD-A的大小；
〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
21.如图1，四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置〔如图2〕，连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．
〔Ⅰ〕求证AD⊥PB；
〔Ⅱ〕假设PA⊥平面ABCD．
①求二面角B-PC-D的大小；
②在棱PC上存在点M，满足
)1
0(≤
≤
=λ
λPC
PM，使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，
求λ的值．
22.椭圆C：
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
a
y
b
x
的离心率为,椭圆C的长轴长为4．
求椭圆C的方程；
直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？假设存在,求出k的值；假设不存在,请说明理由．
海南枫叶国际学校2021-2021学年度第一学期
高二年级数学学科期中考试试卷答案
一．选择题
1-6.ACACDD 7-12.ABDCDB 二．填空题
13.-45 14.0
30 15.12322=+y x 16.413
三．解答题 17.解：〔1〕椭圆的焦点坐标为〔
，0〕，
∵椭圆过点，
∴
=
+
=4，
∴a =2，b =
，
∴椭圆的标准方程为；
〔2〕设所求的椭圆方程为，m ＞0，n ＞0，m ≠n ．
把
两点代入，
得： ， 解得m =8，n =1，
∴椭圆方程为．
18.证明：〔Ⅰ〕连接AC ，那么F 是AC 的中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，
∴EF∥平面PAD
〔Ⅱ〕因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，
又EF∥PA，
所以EF⊥平面PDC.
19.连接BD、在△ABC中，∠B=90°．
∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．
又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，
∴PD⊥AC．
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，
∴EF⊥PD．
〔2〕〔仅供参考，建议建系做〕过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，
∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角．
∵Rt△PBF中，，∴．
20.〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接
OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩
平面AMC=OM，
∴PD∥OM，那么，
即M为PB的中点；
〔2〕解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔-2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B 〔-2，4，0〕，M〔-1，2，〕，
，．
设平面PBD的一个法向量为，
那么由，得，取z=，得．
取平面PAD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B-PD-A的大小为60°；
〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||
=||=．
21.证明：〔Ⅰ〕在图1中，∵AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∵∠B=90°，∴AD⊥BE，
当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，AB、PA平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
又∵PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
〔Ⅱ〕①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
那么A〔0，0，0〕，B〔1，0，0〕，C〔1，1，0〕，D〔0，1，0〕, P〔0，0，1〕，=〔1，1，-1〕，=〔0，1，0〕，=〔1，0，0〕，
设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，
那么，取z=1，得=〔1，0，1〕，
设平面PCD的法向量=〔a，b，c〕，
那么，取b=1，得=〔0，1，1〕，
设二面角B-PC-D的大小为θ，
那么cosθ=-=-=-，∴θ=120°．
∴二面角B-PC-D的大小为120°．
②设AM与面PBC所成角为α，
=〔0，0，1〕+λ〔1，1，-1〕=〔λ，λ，1-λ〕，
平面PBC的法向量=〔1，0，1〕，
∵直线AM与平面PBC所成的角为45°，
∴sinα=|cos＜＞|===，
解得λ=0或．
22.解：〔1〕设椭圆的半焦距为c，那么由题设，得：，
解得，
所以b2=a2-c2=4-3=1，
故所求椭圆C的方程为+x2=1.
〔2〕存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：
设点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，
并整理，得．〔*〕
那么x1+x2=， x1x2=．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以•=0，即x1x2+y1y2=0．
又，
于是+3=0，解得k=±，
经检验知：此时〔*〕式的＞0，符合题意．
所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．。