安徽省六安市舒城中学2018届高三仿真模拟(二)数学(理)试卷(含答案)

2018届安徽省六安市舒城中学高三仿真模拟（二）
数学（理）试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位，若
2
1
i
z i
i
+
=+
+
，则复数
z
的模z=（）A．
2
B．
5
C．
5
D．
10
2.命题2
000
:,10
p x R x x
∃∈-+≥的否定p
⌝是（）A．2
,10
x R x x
∀∈-+≥ B．2
,10
x R x x
∀∈-+< C．2
,10
x R x x
∃∈-+< D．2
,10
x R x x
∃∈-+≤
3.已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数3
y x
=的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（）A．
1
2
B．
1
4
C．
1
6
D．
1
8
第3题第4题
4.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为12，20，则输出的a =
（ ）
A. 0
B. 14
C. 4
D. 2 5.设x ,y ,z 为正实数,且235log log log 0x y z ==<，则
2x ，3y ，5
z
的大小关系是（ ） A. 325y x z << B. 235x y z == C. 532z y x << D ．235
x y z <<
6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
（ ）
A.34
B.
23
C.12
D.1
3
7.等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则 （ ）
A ．A
B
C += B ．2B AC = C ．3A B C B +-=
D ．2
2
()A B A B C +=+
8.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是
（ ）
A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
9.已知实数x ，y 满足条件370313010x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为
（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
10. 三棱锥P ABC -的一条棱长为m ，其余棱长均为2，当三棱锥P ABC -的体积最大时, 它的
外接球的表面积为
（ ）
A.
214π B.203
π
C.54π
D.53π
11.已知12,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的上、下两个焦点，过1F 的直线与双曲线的上下两
支分别交于点A B ,，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A ．x y 2±=
B ．x y 22±
= C. x y 6±= D ．x y 66
±= 12.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，在,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有
（ ）
A ． 6个
B ． 7个 C. 8个 D ．9个
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.平面向量a r 与b r 的夹角为0
45，(1,1),1a b =-=r r ，则2a b +=r r __________．
14.若21
()n x x
-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中的常数项为__________．
15.设直线012:1=+-y x l 与直线03:2=++y mx l 的交点为A , Q P ,分别为21,l l 上任意两点，点
M 为Q P ,的中点，若||2
1
||PQ AM
，则m 的值为__________．
16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AD =，4CD =，
ABC ∆为正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且31255,,,a a a a =成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
1,42
n n n b S a n =
+-是数列{}n b 的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式1
2(1)0n n S a ++-⋅>恒成立，求实数a 的取值范围。

18.（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：
第16题
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：
19.（本小题满分12分）如图所示，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD=60°，AB⊥2．
（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
舒中高三仿真卷理数第4页 (共6页)
20. （本小题满分12分）如图,已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长为AB ,过点B 的直线l 与x 轴
垂直,椭圆的离心率3
e =,F 为椭圆的左焦点,且||||1AF BF ⋅=. （1）求此椭圆的方程;
（2）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点,PH x ⊥轴,H 为垂足,
延长HP 到点Q 使得||||HP PQ =.连接AQ 并延长,交直线l 于点
,M N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.
21. （本小题满分12分）已知函数
．
（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．
选考部分:共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a
，其参数方程为212
x a t
y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数，
a R ∈）
，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x m x =++-． （1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求m 的取值范围．
数学理科答案：
舒城中学2018届高三高考仿真试题（二）
理科数学试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡相应的位置.
3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，若21i
z i i
+=++，则复数z 的模z =（ D ） A ．
22 B 5 C 5 D 10 2. 已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥的否定q ⌝是（ B ）
A ．2,10x R x x ∀∈-+≥
B ．2
,10x R x x ∀∈-+< C ．2
,10x R x x ∃∈-+< D ．2
,10x R x x ∃∈-+≤
3.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数3y x =的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（ B ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18
4.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为12，20，则输出的a =（ C ）
A. 0
B. 14
C. 4
D. 2
5. 设x ,y ,z 为正实数,且235log log log 0x y z ==<，则2x ，3y ，5
z
的大小关系是（ C ） A.325y x z << B ． 235x y z == C. 532z y x << D ．235
x y z << 6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ D ）
A.34
B.23
C.12
D.13
7．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则（ D ）
A ．A
B
C += B ．2B AC = C ．3A B C B +-=
D ．2
2
()A B A B C +=+ 8.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ D ）
A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
9.已知实数x ，y 满足条件370313010x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为（ C ）
A.3
B.4
C.5
D.6
10. 三棱锥P ABC -的一条棱长为m ，其余棱长均为2，当三棱锥P ABC -的体积最大时, 它的外接球的表面积为（ B ） A.
214π B.203
π
C.54π
D.53π
11.已知12,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的上、下两个焦点，过1F 的直线与双曲线的上下两
支分别交于点A B ,，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ D ） A ．x y 2±= B ．x y 22±
= C. x y 6±= D ．x y 6
6
±= 12.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，在,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ D ）
A ．6个
B ． 7个 C. 8个 D ．9个 二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.平面向量a r 与b r 的夹角为0
45，(1,1),1a b =-=r r ，则2a b +=r r __________．
13
14.若21
()n x x
-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中的常数项为__________．
14. 84
15.设直线012:1=+-y x l 与直线03:2=++y mx l 的交点为A , Q P ,分别为21,l l 上任意两点，点
M 为Q P ,的中点，若||2
1
||PQ AM =
，则m 的值为__________． 15.2
16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AD =，4CD =， ABC ∆为正三角形，则面积的最大值为__________．
16．设,ADC ACD αβ∠=∠=， 由余弦定理可知：22016cos AC α=-，
212cos 8AC AC β+=
又由正弦定理：22sin sin sin sin AC AC
αββα=⇒= 113sin()2(sin cos )232BCD S BC CD BC πβββ∆∴=
⋅+=+ 212sin 312
2()2AC BC AC α+=+4sin()433
πα=-+，所以最大值为44
3+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且31255,,,a a a a =成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
1,42
n n n b S a n =
+-是数列{}n b 的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式1
2(1)0n n S a ++-⋅>恒成立，求实数a 的取值范围。

【解析】（1）因为31255,,,a a a a =成等比数列，所以12
111
25
()(4)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩， 解得11,2a d ==， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-。

（2）因为222
111111
()42(21)424122121
n n b a n n n n n n =
===-+--+---+， 121111111111(1)()()(1)2323522121221
n n S b b b n n n ∴=+++=
-+-++-=--++L L ， 第16题图
依题意，对任意正整数n ，不等式11
1(1)021
n a n +-
+->+， 当n 为奇数时，111(1)021n a n +-+->+，即1121a n >-+
+，所以2
3a >-； 当n 为偶数时，111(1)021n a n +-+->+，即1
121a n <-
+，所以45
a <； 所以实数a 的取值范围是24
(,)35
-。

18.（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是
，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记
该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望。

参考数据：
19．（本小题满分12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD一60°，AB⊥BC,AB=BC=．
（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AFF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）如图,已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长为AB ,过点B 的直线l 与x 轴垂
直,椭圆的离心率3
e =
,F 为椭圆的左焦点,且||||1AF BF ⋅=. （Ⅰ）求此椭圆的方程;
（Ⅱ）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点,PH x ⊥轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得||||HP PQ =.连接AQ 并延长,交
直线l 于点,M N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.
解：（Ⅰ）由题意:(,0),(,0),(,0)A a B a F c --,并且22c a b =-. 又因为222||||()()1AF BF a c a c a c b ⋅=+-=-==,所以1b =.
又因为223c a b e a -===,所以2
4,2a a ==. 所以椭圆的方程为2214x y += -------4分
（Ⅱ）设00(,)P x y ,则000(,2)(2)Q x y x ≠±，则
由(2,0)A -得0022AQ y k x =
+,所以AQ :0
02(2)2
y y x x =
++. 由(2,0)B -得l :2x =, 所以00
0084(2,
),(2,)22
y y M N x x ++. 所以0
000200422224
NQ
y y x x y k x x -+==--.
又因为P 点在椭圆上,满足220044x y += ，所以00000
22000
22442NQ x y x y x k x y y =
==---. 所以直线0
00
:2()2x NQ y y x x y -=-
-,化简得220000244x x y y x y +=+=. 所以点O 到直线NQ 的距离2
2
00
24
4d x y ==
=+,与圆O 半径相等.
所以直线NQ 与以AB 为直径的圆O 相切. --------12分 21.（本小题满分12分）已知函数 ()()()()1,1,x
f x a x
g x ax e a R =-=-∈．
（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．
【解析】（1）设切点为()00,x y ，则()()()
0000000011,1x x x y a x ax e a x e x e =-=--+= ①，
()y f x =和()y g x =相切，则()()()00000001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，
所以00000011x
x
x
x e x x e e -+=+-，
即0020x
e x +-=．令()()2,10x x
h x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．
又因为()()010,110h h e =-<=->，
所以存在唯一实数0x ，使得0020x
e x +-=，且()00,1x ∈．
所以存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切．
--------6分
（2）令()()f x g x >，即()()11x
a x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫
-
< ⎪⎝⎭
， 令()1
x x m x x e
-=-，则()2x x e x m x e +-'=，
由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈， 故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=，
当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去；
当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a >==，所以两个整数解为0，1，即()()121
1m a
m a ⎧
≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩
，
所以2
221e a e ≥-，即22
,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭
， 当1a ≥时，()1m x a <
，因为()1
1,m x a
≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1
m x a <无整数解，舍去，综上，22
,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭
．------12分 选考部分:共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a
，其参数方程为212
x a y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数，
a R ∈）
，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．
解：（1）1C
的参数方程12
x a y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；
---------4分
（2）将曲线1C
的参数方程标准化为212
x a y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =
得2
11402
t a +-=
，由(()2
1
41402
a ∆=-⨯
->，得0a >，
设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，
当122t t =
时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-
时，()1212
12
2214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得9
4a =， 综上：136a =
或9
4
． -------10分 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x m x =++-． （1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．
【解析】（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得4
13
x ≤≤； ②当
112x <<时，()2f x x =≤，解得1
12
x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得1
02
x ≤≤；
综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧
⎫
≤≤
⎨⎬⎩⎭
． --------5分 （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，当3,24
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
时，
()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 11
24
x --=-
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． ---------10分。