根号2(迷人的 √2)

根号2（迷人的√2）
根号2（迷人的√2）
每一个新的进步都必然表现为对神圣事物的亵渎。

——马克思
（一）√2的诞生，沾满鲜血，令人扼腕叹息
古希腊著名的毕达哥拉斯学派(Pythagoreanism)认为"万物皆数"，世间万物(包括宇宙星辰)的性质都是由自然数之间的比值决定的。

所以这个学派的一个基本信条是：自然数和分数是万事万物的本质。

但是，据说毕达哥拉斯学派内部的一个成员希巴斯(Hippasus)却动摇了这个信条，希巴斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。

一天，他研究了这样的问题："边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？" 他根据毕达哥拉斯定理，计算是根号2 ，并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。

他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。

"什么？"毕达哥拉斯大吃一惊，"竟然有不是整数又不是整数之比的东西？""是的！"希巴斯说，"我已经证明了这一点！"希巴斯证明√2不是两个整数的比的过程采用的是反证法。

希巴斯的论证极富逻辑性，无懈可击。

毕达哥拉斯看过希巴斯的证明后，闷声不响，双手颤抖，额面上冒出汉珠。

希巴斯连忙问："怎么了老师，我做错了吗？"
"你没有错！你……你给我出去！"毕达哥拉斯神态异常，挥手让希巴斯出去。

希巴斯不解地看着老师，迈步出门。

刚要关上门，毕达哥拉斯又突然喊到："回来！" 希巴斯又走回来。

毕达哥拉斯口气十分严肃地说："你给我证！这事不许外传，除了你除了我，不许让第三个人知道！"
"为什么？""不为什么！这是我的规矩，懂吗？"希巴斯狐疑地点点头，告辞走了。

出现一个小小的√2，毕达哥拉斯为什么令他惊恐不安呢？我们知道，是无理数，是不能表示为分数的数，尽管当时毕达哥拉斯大名鼎鼎，但对无理数也一无所知。

他早就宣布世界上只有整数或整数之比，却偏偏出现一个像这样的既不是整数又不是整数之比的数，他怎么能不感到为难呢？为了维护自己尊敬的信仰，也为了保住自己的脸面，数学巨人毕达哥拉斯对这类新的数采取"不承认主义"，他威逼希巴斯保密，不要把事情说出去。

还在他的弟子中宣布："谁泄密的话埋谁！" 毕达哥拉斯惟恐事情张扬，会动摇他们整个毕氏学派的基础。

但希巴斯是一个很有思想，敢于坚持真理的人。

他没有被权威吓倒，也没有放弃对的探求，一有机会仍然要宣传√2客观存在。

希巴斯的观点和毕达哥拉斯大权威的观点针锋相对。

对此，毕达哥拉斯恨之入骨，以为希巴斯反叛，也是拆他的台，便指使人把希巴斯当叛徒者处死。

希巴斯闻讯，连忙跳上一只刚启航的海船逃离。

毕老先生又叫人驾船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。

希巴斯据理争辩，被毕氏的其它门徒拳打脚踢，打得遍体鳞伤，最后被扔进了大海。

毕达哥拉斯为了掩盖小小的带来的矛盾，惨忍杀害了一个有才华的青年。

公元500年毕学派经历的这场数学思想的矛盾冲突。

数学史上称之为第一次数学危机。

第一次数学危机是数学
史上的一次重要事件，以√2的发现为导火线，最终以无理数的定义出现为结束标志。

另外说明了一些新的数学知识、内容、理论、学科的发现不仅要付出自己的聪明才智，甚至要
付出生命的代价，所以先辈门说√2是一个充满着血腥味的数。

希巴斯为√2 的诞生献出了自己的宝贵的生命！在希巴斯首次发现了√2 以后，人们又陆陆续续发现了类似√2 的数，这些数就是我么们今天所学习的无理数。

无理数的发现进一步扩充了数的范围，使数学学科发展迎来了巨大的进步！
这个结果既令人遗憾又令人鼓舞。

正是这些一波又一波前进的伟大先行者，成就了西方的学术自由和求真传统，最终孕育了以科技为主导的现代人类文明，造福全人类，造福全世界！
（二）√2独特应用凸显独特魅力
古希腊人并不知道，2100多年后，当中华文明发展到明朝时，数学家朱载堉做了一个双排81档的算盘，算出了2到25个有效数字的12个平方根。

强大的计算能力可以让无理数在数学大家庭中占有一席之地。

在此基础上，朱载堉发明了十二平均律，以更微妙的尺度计算了音乐与数字的关系，形成了制作现代乐器的基础。

为什么朱载堉会对2的开方那么痴迷？√2，在华夏文化中是重要的审美根基。

这或许源于春秋末年，较毕达哥拉斯晚一些时候的墨子。

彼时的墨子掌握着整个世界统一化的关键基础----每次打开双手就能看到----不是尺规，是十进制。

相比较，古希腊的数字符号，不但不是十进制，甚至不是位值制，无法作为数量符号来运算。

墨子正是华夏首个对数字的位值制进行总结阐述的科学家，还有，在墨子的时代，已经出现了九九乘法表。

作为杰出的数学家、科学家和能工巧匠，不一
定是墨子本人，但√2的审美基础极有可能是他的流派所发现。

这个审美基础是每个华夏子民都知晓的概念：天圆地方。

中国古代匠人不操心，中国古代匠人用一个简单整数比来对付它：匠人有一句口诀叫方五斜七。

什么意思呢？正方形边长如果是5，对角线约等于7。

我们知道√2约等于1.414对不对，7除以5等于1.4——很接近了嘛。

《营造法式》的李诫嫌这个太粗糙了，怎么能这样呢？他给了一个141：100，这下好多了，1.41，更接近了。

这是中国匠人的智慧。

在王南的著作《规范方圆天地之和》中揭示了这个秘密，也找到了很多古建筑实例，证明了1：√2的实际应用。

王南根据《营造法式》里的图文进行研究，而《营造法式》引用的是中国最古老的数学和天文学著作《周髀算经》"万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉"。

周髀两个字，意思就是天象盖子、地象棋盘。

下面我们来看看这个形状在中国古建筑当中的运用。

我们还举前面说的这两个建筑：佛光寺大殿和应县木塔，来看√2比例是怎么在设计当中运用。

我们先看佛光寺大殿，唐朝建筑。

如果以佛光寺大殿的总高为边长做一个正方形，再以它的对角线做一个弧线，刚好是它总宽的一半。

大家看出来了吗？我们还可以对称地做这半边。

再做一个正方形，以对角线做一个弧线，就把这半边也铺满了。

句话说，如果总高是1，总宽是两个√2，它的正立面是两√2矩形。

我们再来看佛光寺大殿的平面。

它的平面是一个回字型，在这个回字型当中，最最重要的是中间这个核心空间，这里是供佛像的空间。

这个形状跟刚才一样，又是两个√2矩形组成。

换句话说这个空间的形状和正立面是一个相似形。

还没完呢。

我们来到了北幸寺的核心，它的侧面。

此时，我们已经可以看到所有供奉在大雄宝殿的佛像。

如果我们做一个正方形，中间最重要的佛像的高度作为边长，然后用正方形的方圆图作为它的外接圆。

此时外接圆的直径是多少？等于这个海湾中心的宽度。

换句话说，如果佛像高是1，中央这个开间的宽度√2。

建筑是为这个佛像量身定做的，而且它们之间符合√2比例。

我们看一下计算机精确做图的结果，这大概就是佛光寺大殿当时设计的理念。

五台山佛光寺东大殿设计理念分析图
如果以这个黄色的正方形也就是佛像的高为1，那么中央开间的宽度√2。

这个建筑的高度是4，然后它的宽是4√2。

就像帕提农神庙一样，佛光寺身上从整体到局部甚至到它的塑像，都在反复地使用方圆之间的比例。

很可惜帕提农神庙里的神像已经不在了，不知道西方人有没有做到这一步的控制。

来到应县木塔。

应县木塔的总高和它一层的宽度是个什么关系呢？宽度是1的话，总高是2√2。

总高和一层最重要的这个佛像的高度的关系是什么呢？佛像高是1，总高是6。

他们一直是把建筑和佛像进行了这种拴系。

我把这种为佛像量身定做建筑的方法称作度像构屋。

大家还记得前面讲过雅典帕提农神庙的柱子是神庙的大长腿，总高和柱高是黄金分割，那应县木塔怎么做这件事情呢？应县木塔是令总高和最顶层的立柱以下的高度成√2比例，所以在这件事情上中西方也算是异曲同工吧。

更有意思的事情在这儿。

如果我们同时看应县木塔和佛光寺就会吓一跳，原来应县木塔的高宽比和佛光寺正好是旋转了90
度。

应县木塔的宽是1，高是2√2，佛光寺是高是1，宽是
2√2。

如果转个90度，塔就变成殿了，殿就变成塔了。

无限重复的比例效应应用于寺庙大殿和佛像的长宽比，就像佛教一样，徐觅山隐藏在芥菜籽中。

这样一个无理数引发了第一次数字危机，隐藏在中国的古建筑在日常办公环境中随处可见。

虽然我们的认知系统还没有完全探索它的奥秘，但从逻辑上来说，我们已经对数字和比例的奇妙达成了共识。

一个更先进统一的数字表达体系和算法，无疑会帮助我们轻松超越今天的毕达哥拉斯，不会对无理数视而不见。

应县木塔
其实《营造法式》这本书里有答案。

在配合“圆方方圆图”这个插图的文字当中，《营造法式》引了更古老的一本书《周髀算经》的一段话。

《周髀算经》是中国最古老的数学和天文学著作，这段话很重要：“万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。

”
我们来看看这个传统在中国的圆地方有多久了。

据天文考古学家冯世贤先生介绍，早在5000年前的新石器时代，在辽宁牛河梁红山文化遗址中就神奇地发现了一组圆形山丘和方形山丘。

这大概是中国最早的天坛地坛。

辽宁牛河梁红山文化遗址的圜丘和方丘
这个圜丘就很像我现在站的这个位置。

但是它是由三层圆环组成的，这三层圆环的直径之比居然神奇的是1：√2：2。

就像刚才的独乐寺观音阁一样，就像圆方方圆图一样，所以这件事情在中华民族的文化里可谓是源远流长。

（三）A4纸的魔力
在日常生活中，我们经常与 A4 纸打交道，这种纸的标准尺寸是：210毫米× 297毫米，算一下它的长宽比：297：210＝99：70≈ 1.414，
如果取两张 A4 纸，沿着纸的长边把它们拼在一起，可以得到一张大纸，尺寸是：420毫米× 297毫米，再算一下它的长宽比：420：297≈ 1.414，大纸与小纸的长宽比基本不变，而且都与√2 相当接近！这是否是巧合？
事实上，如果一张纸具有理想的长宽比√2：1，那么它会把自己的长宽比 "遗传" 给 "下一代"，具体来说就是：最初大长方形纸的长宽比是：√2：1，把这样的大纸沿长边对折后，得到的小长方形纸的长宽比为：1：（√2 / 2），仍然为
√2 ：1，这样的操作还可以重复多次，A 系列纸正是通过这种方式得到的。

在 A 系列纸中，原始纸成为 A0，它的尺寸规格是：1189毫米× 841毫米，简单计算可得它的面积接近 1 平方米，同时长宽比非常接近√2：1，把 A0 纸沿长边对折裁开，于是得到 A1 纸，其尺寸规格是：841毫米× 594毫米，对 A1 纸进行同样操作，可以得到 A2 纸，其尺寸规格是：594毫米× 420毫米，以此类推，即可得到 A 系列型号的纸A1 意味着在原始纸 A0 的基础上对折了 1 次，A2 意味着在原始纸
A0 的基础上对折了 2 次……，那么，选择长宽比为√2：1 的纸在实际中有什么好处呢？
简单来说，用具有这种性质的纸张作备料，没有剩余的碎纸边，可避免浪费，从而降低再生产的成本并提高工效。

简单说将A4纸的宽进行对折，它的宽和高的比例始终都是一个定值，也就是说，无论你如何将它的宽怎样对折，它的比例都是不变的。

也许，人生也是一样，随着时间的不断折叠。

无论我
们跑多远，无论你在哪里，到头来，你始终发现，一切仿佛就在原点。