三道国外竞赛题的简解

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三道国外竟赛題的简解
中等数学
姚先伟于娟
(四川省宜宾市叙州区宜宾东辰学校,644000)
中图分类号:〇124. 1文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2020)07 - 0012 - 01题1已知正整数满足
a3&3 +63c3 +c3a3 =a&c(a3 +63 +c3)•①
证明:这三个数中的某两个的乘积为完
全平方数.[1]
(第68届白俄罗斯数学奥林匹克）
证明将式①两边同时除以（M C)2得
ab be ac a2b22C
2+2+,2 ■
c a b— be++
ca ab
a.be ^%=—,y=
a ca ab
z= —c•则平
式①即为
i i i
x+y+z=—+ —+ —
X y
=> x+y+z= x y+yz+zx
3〇j = d m,d = nal(m^n G Z+).
贝lj mu= 3.
(1) 当 m= l，/i=3 时，
d = 3〇!, b] 1= 3a\b1k.
故\11，\ = 1，此时，q无解.
(2) 当 m=3，n= l 时，
d = alyb]+3 =a X k.
故 &13，& = 1 或 3.
(i)若办i = 1，贝1J a#=4,只有 a, = 1，A：=4, 此时，a= 6 = 1，符合题意.
(^〇若61=3，仍是〇^=4，<31=1，^:=4, 此时，a= 1，6 =3，符合题意.
综上，所求正整数对U，6)= (1，1)，(1,3).
4U-l)(y-l)(2-l)
=xyz- (xy+ yz+ zx)+ (x+y+z)-l
=0.
因此，x-l、y-l j-1至少有一个为0, 即 6c= a2 或 ca= 62 或 a6 = c2,得证.
题2求所有正整数对(a,6)，使得
a26 丨（厶2 + 3a).⑴
(2〇18,克罗地亚数学竞赛）
解令b2 +3a= a2bfc(k 6Z+)，
题3已知％为整数，数列U…K〇i)
满足:a…+1 = ^-1).证明：所有的\
n
均为整数.[1]
(第54届蒙古数学奥林匹克）
证明由已知得4=
n + Z n
上式两边同时除以〃+ 1得
n
a n + l
(n+ 2)(n+ l)
(a，b) = d.
设 a= 6^6?，^ =^6?，（％，〜）=1•则b\d+?>ax=a\bld2k
=>d\3a l 3 a x I d.
收稿日期:2020-03 -25
(n+ 1)n(71+ 1)71(^+)
a n+\ a n .11
=>-----------------------------=—-------------—+-----------------•(n +2) (n +1) (n + l)n n + 1n
用1，2,…，n-l分别代替上式中的^并
求和得
2020年第7期13
题1存在无穷多个正整数n ，使得d +
“ +505能分解成为两个大于▲的正整数的 乘积.
(2〇20，北京市数学邀请赛复赛(初三））
证明只要把+505表示成一个立方 数，则原式即可因式分解.设r a = 16fc 3 +1242 +3A ： -126,其中，A ：为 大于1的正整数.则 n +4n +505
=n3 +64k3 +48k2 +I2k + l
=n + (4A + 1)3
=(n +4k + l )((n -4k -l )2 + (4k + l)n ). 显然，+4A; +1 与(r a -4A ：-l ) 2
+ (4^ +
1 )z i
均大于n ，从而，大于▲.
(吴自远清华大学附属中学初一（16)班，100085)
题2
设〇、心为正实数，且a +6+c =l .
证明：对于所有的正实数h ；K 、z ，均有
(*2 ”2+’) (7^7+7^?卜7 •①+2y y (第20届地中海地区数学奥林匹克）文[1 ]的证明是应用赫尔德不等式并作代换等运算.本文应用三元代数一几何均值不等式，给出另外的证法.
证明由条件知25
a +
b + c
9
a 3 b3 c3x2 +2y2 y1 +2z2 z +2x2a +
b +
c 9 (x 2 + y2 + 22)记
式
②
左
边
为
+y 2 +/)•
应用三元均值不等式得 a3x 2 +2y2 x 2 +2y2 1 > 3a
P + N 宁
b3y2 +2z2
r 2 +2z2
1 3b
P +
N
c 3
z +2x2 z +2x2 1 3c p
+~^~+^
W
n '
以上三式相加得②
P N . 3(a +b +c )
p
N
V 3P N
上式化简后两边三次方整理得
(a + 6 +c )3 _________1________，3N ~3x 3(x 2+y 2+z 2)'因此，式②得证，即式①得证.
【注】1.类似上述证明，也可以应用二元 代数一几何均值不等式，再应用幂平均不等式①
(x2
3 i 3
3
[__ b c -2y2 y2 +2/ z +2x2
式，即可证得.只是运算较繁些.
2.猜想不等式①可加强为：
已知条件如上•证明：对于一切正实数a n a \
(n + l )n 1x 2ax
=> an = —n (+ 1 ) + 1
n
所有的均为整数.参考文献：
[1]《中等数学》编辑部编.国内外数学竞赛题及精解
(2017—2018) [M ] •哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，因为A 为整数W (W l )为偶数，所以，
2019,7.。