5.1向量的概念,向量的加法,减法,实数与向量的积

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§5.1 向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积
涟西中学高三数学集体备课 执稿人:朱跃武2006-12-13
[复习要求]1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。

2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

[双基回顾] 1、基本概念
（1）向量的概念：既有 又有 的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意:不能说向量就是有向线段，为什么？。

（2）向量的表示方法：①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

（3）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是 ； （4）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是 )； （5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （6）平行向量（也叫共线向量）：方向 的非零向量a 、b 叫做平行向量， 记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；④三点A B C 、、共线⇔ 共线；
（7）相反向量： 的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是 。

2、加法与减法的代数运算
(1)122311n n n A A A A A A A A -++
+=．
(2)若11(,)a x y =,22(,)b x y =则a b += , a b -= ． （3）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC a b =+,
BD b a =-,DB a b =-, 且||||||||||a b a b a b -≤±≤+
（4）向量加法有如下规律： (交换律); （结合律）;
0a a +=, ()0a a +-=
3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。

(1)︱λa ︱=︱λ︱︱a ︱;
(2) 当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；
当λ=0时， 00a =．
(3)若a =（11,y x ），则λa =（11,y x λλ）． 4、两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b a λ=． (2) 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ∥b 1221x y x y ⇔=．
5、平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得1122a e e λλ=+． 一、知识点训练：
1、两向量共线是两向量相等的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 2、当||||0a b =≠且,a b 不共线时，a b +与a b -的关系是（ ） A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 相等
3、给出以下四个命题：(1)若两非零向量,a b ,且()a b R λλ=∈，则//a b ；(2)若两非零向量//a b ，则()a b R λλ=∈；(3)若R ∈λ，则a a //λ；(4)若μλμλ≠∈,,R ，则a
)(μλ+与a
共线。

其中正确命题的个数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
4、向量)1,(x a =
与),4(x b = 共线且方向相同，则x =_______
5、设平行四边形ABCD 的对角线交于O ，交(3,7),(2,1)AD AB ==-，则OB =________
二、典型例题分析：
1、G 是ABC ∆的重心，求证:0GA GB GC ++=.
2、已知)4,3(),1,3(),3,2(----C B A ,且3,2CM CA CN CB ==，求M,N 的坐标和MN .
3、已知向量(1,2),(,1),2,2a b x a b a b μν===+=-且v
//μ，求x .
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三、练习巩固：
1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于
（ ）
A ．AD BC +
B ．AB D
C + C ．AG DH +
D ．BG GH + 2．下列说法正确的是
（ ）
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量的长度为0
C ．长度相等的向量叫相等向量
D ．共线向量是在同一条直线上的向量
3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MA MB MC +-等于
（ ）
A ．O
B ．4MD
C ．4MF
D ．4ME
4.（06福建）对于直角坐标平面内的任意两点1122()()A x y B x y ，，，，定义他们之间的一种“距离”：2121AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则
AC CB AB +=；②在ABC △中，若90C ∠=︒，则222
AC CB AB +=；
③在ABC △中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为 （ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 5.命题若a b ，b c ，则a c （ ）
A ．总成立
B ．当0a ≠时成立
C ．当0b ≠时成立
D ．当0c ≠时成立
6. 已知,a b 均为非零向量，则||||a b a b +=-是a b ⊥的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．设命题p ：向量b 与向量a 共线，命题q ：有且只有一个实数λ，使得b a λ=，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．在四边形ABCD 中，AB ＝2a b +，BC ＝4a b --，CD ＝53a b --，其中,a b 不共线，则四边形ABCD 为 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．梯形 D ．菱形 9．如果12,e e 是平面a 内所有向量的一组基底，那么 （ ）
A ．若实数12112212,,0,0e e λλλλλλ+===使则
B ．空间任一向量112212,,a a e e R λλλλ=+∈可以表示为这里
C ．对实数121122,,e e a λλλλ+不一定在平面内
D ．对平面a 中的任一向量112212,,a a e e λλλλ=+使的实数有无数对.
10. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（2)()0,DB DC DA AB AC +-⋅-=则△
ABC 的形状是
（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
11．12,e e 不共线，当k= 时，1212,a ke e b e ke =+=+共线. 12．非零向量,||||||a b a b a b ==+满足，则,a b 的夹角为 .
13．在四边形ABCD 中，若,,||||AB a AD b a b a b ==+=-且,则四边形ABCD 的形状是 . 14.（06安徽）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点， 则MN =_____ _ _。

（用a b 、表示）
15.已知向量,a b 不共线,实数,x y 满足(2)45(2)x y a b a x y b -+=+-,则x y += 16．如图所示，设O 是正六边形A 、B 、C 、D 、E 、F 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量和平行的向量．
17.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =OA OB λμ+且1,,R λμλμ+=∈
18.设M,N,P 是△ABC 三边上的点,且满足13
BM BC =,1
3CN CA =,1
3
AP AB =, 若AB a =,AC b =,试用,a b 表示,,MN NP PM。