北京市海淀区2019届高三期末练习(二模)数学(理)试题分析

2019北京市海淀区高三二模理科数学试卷分析
历年高三二模的定位主要在查漏补缺和提升考生在面对接下来的高考的应试信心上，这一点我们不难从昨天西城二模试卷上看出。

西城二模的导数选择了许久未考过的渐近线问题，解析几何则选择了熟悉的向量点乘问题，难度较一模都有所下降。

除此之外8、14、20三道压轴题的考查也基本走的“善良”路线。

我们再来看看今天刚考完的海淀二模数学试卷，总体来说，难度较一模也有明显的下降，跟2019年高考基本持平。

“求新”和“难度把控”是命题人永远无法逃避的两个词，也是命题难度之所在。

从这两点来说这次海淀二模试卷出的还是很成功的，试题主要以常规题为主，在8、14、18、19、20几道题上都有一定量的创新，同时难度上也把控的相当不错。

这次海淀二模选择填空基础题考查的知识点跟高考基本一致，解答题中的15、16、17三道题也是如此，没有给考生设太多陷阱。

在这些题上考生比较需要关注的还是自己的解题速度和准确率，为后面综合题的解答预留足够的时间。

具体知识点上的问题我们这里就不再一一赘述。

回到选择填空的压轴题，选择压轴使用的直线与单位圆都是考生们常见的，但是本题角度非常巧妙，如果同学们只是画出一个潦草的图形，很可能会做错。

但是如果把题目中需要表示的量都计算出来，其实答案不难
得出。

世上无难事，只怕有心人啊。

再来看第14题，这次第14题依然是北京高考压轴题的常客立体几何，这次考查结合了常见的正方体的内容，题型不是很新颖，相信很多学生在平时的训练中遇到过很多相似的题。

就算没有碰到过类似的，也对正方体这个立体图形非常熟悉。

这次18题的导数难度一般，第一问贯彻了一如既往的送分原则，第二问虽然问法比较新颖，但依然是对函数零点问题的考查，相信只要学生认真分析原函数及导函数的图像就不难得到结论。

19题解析几何，命题老师竟然也祭出了抛物线这种圆锥曲线。

要知道，抛物线虽然同学们平时的练习少，但是计算量相比椭圆，可是大大的容易些。

同学们可以小声在心里说声谢谢老师了。

海淀这次的第20题压轴也没有让我们失望，题目运用集合的知识来命题，也算是一种常见的考点。

核心问题类似西城一模的压轴，平时在压轴题方面有所练习的同学，都可以轻松完成。

对于参加2019年高考的孩子们来说，高考备考现在已进入冲刺阶段，如何利用好这剩下的二十多天至关重要。

我在这简单地提几个意见，希望对大家的备考有所帮助：
1、调整好心态，不要过于紧张更不要过分放松自己，学习生活一切照常就可以；
2、保持“手感”，注意训练，训练题以北京历年的模拟题及高考真题为主，注意考试时间上的把控；
3、注意常规题型和“通法”的复习和巩固，尽量不要在北京高考鲜有考查的知识点及解题方法上花太多时间；
海淀区高三年级第二学期期末练习（二模）
数学（理科）2019.5
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()U M
P =ð
A.{|12}x x <<
B.{|1}x x ≥
C.{|2}x x ≤
D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8
3. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）上，则a 的值为
A.3
B.2
C.1
D.1- 4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55
A B == 则sin()A B -=
A.725-
B.725
C.925-
D.925
5.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.2
6.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在 线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是
A.[6,443]+
B.[42,8]
C.[43,8]
D.[6,12] 8.直线1
:10l ax y a
+
-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论： ① 1
1,2
AOB a S ∆∀≥=
； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<
则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知
2
1i, i
a =-+其中i 为虚数单位，a ∈R ，则a =__. 10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在6~10小时内的人数为 ___ .
11. 如图，,,A B C 是O 上的三点，点D 是劣弧¼ B C 的中点，过点B 的切线交弦CD
的延长线交BE 于点E . 若∠80BAC =，则__.BED ∠=
12. 若点(,)P a b 在不等式组20,
20,1x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内，则原点O 到直线
10ax by +-=距离的取值范围是__.
0.040.05小时
108642120.12
a b 频率
组距
D
C
A
B
P R Q
P
D 1C 1
B 1
B
C
D
A 1
A
E
O
D
A
C
B
13.已知点π3ππ
(,),(,1),(,0)6242
A B C ，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，
则正数．．ω的最小值为___.
14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P Q R ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高
__h =.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分） 已知函数()2sin cos2f x x x =--. （Ⅰ）比较π()4f ，π()6
f 的大小； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值.
16.（本小题满分13分）
某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，销售情况如下表所示：
第一周 第二周 第三周 第四周
第五周
A 型数量（台） 11 10 15 4A 5A
B 型数量（台）
10 12 13 4B 5B C 型数量（台）
15
8
12
4C
5C
(Ⅰ)求A 型空调前三周的平均周销售量；
(Ⅱ)根据C 型空调连续3周销售情况，预估C 型空调连续5周的平均周销量为10台.
请问：当C 型空调周销售量的方差最小时， 求4C ，5C 的值； (注：方差2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的
平均数)
（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中
分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A 型空调台数X 的分布列和数学期望.
17.（本小题满分14分） 如图，等腰梯形ABCD 中，AB
CD ，DE AB ⊥于E ，
CF AB ⊥于F ，且2A E B F E F ===，2DE CF ==.
将AED ∆和BFC ∆分别沿DE 、CF 折起，使A 、B 两点重合，记为点M ，得到一个四棱锥M CDEF -，点
G ，N ，H 分别是,,MC MD EF 的中点.
（Ⅰ）求证：GH ∥平面DEM ； （Ⅱ）求证：EM CN ⊥；
（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成的角的大小.
18.（本小题满分14分） 已知函数2()e ()x f x x ax a =++.
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()e a f x ≤在[,)a +∞上有解，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ)若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围.(只需直接写出结果)
19. （本小题满分13分）
已知点1122(,),(,)(A x y D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ,且||2BC =.
（Ⅰ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；
（Ⅱ）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：121
4
S S <.
20.（本小题满分13分）
B
F
A
C
D E
H
N
G
F
M
C
D
E
已知集合{|(,,,,...,),{0,1}n i n i X X x x x x x Ω==⋯∈12，
1,2}i n =⋯，，,其中3n ≥. (,,,,...,)i n n X x x x x ∀=⋯∈Ω12, 称i x 为X 的第i 个坐标分量. 若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：
① S 中元素个数不少于4个；
② ,,X Y Z S ∀∈，存在{1,2,}m n ∈⋯，
，使得,,X Y Z 的第m 个坐标分量都是1； 则称S 为n Ω的一个好子集.
（Ⅰ）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0),(1,0,1)X Y ==，写出,Z W ； （Ⅱ）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -；
（Ⅲ）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素时，求证：一定存在唯一一个
{1,2,...,}k n ∈，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1.
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学（理科）2019.5
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
D
B
C
A
C
C
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--
所以 πππ
()2sin
cos22444
f =--⋅=-…………………2分 πππ3
()2sin cos26662
f =--⋅=-…………………4分 因为 322->-
,所以 ππ
()()46
f f >…………………6分 （Ⅱ）因为 2
()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分
22sin 2sin 1x x =--
213
2(sin )22
x =--
令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以21
3
2()22
y t =--,…………………11分 因为对称轴12
t =
, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分
9．1
10．58 11.60 12．1[,1]2
13． 4
14．
32
16解: (I)A 型空调前三周的平均销售量
111015
125
x ++=
=台…………………2分
（Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，
所以451051581215c c +=⨯---=…………………4分 又2
22222451
[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5
s c c =
-+-+-+-+- 化简得到2
2411591
[2()]522
s c =
-+…………………5分 因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2
s 取得最小值 所以当4578c c =⎧⎨
=⎩ 或4587
c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………7分
（Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2，…………………8分
20255
(0)304012
P X ==
⋅=, 1025201511(1)+=3040304024
P X ==
⋅⋅, 10151(2)30408
P X ==
⋅=, …………………11分 随机变量X 的分布列为
随机变量X 的期望511117()0121224824
E X =⨯+⨯+⨯=.…………………13分
X
0 1 2
p
512
1124 18
17解:
（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.
在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG
，…………………1分 又1CD 2EH , 所以 NG EH , …………………2分 所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH ,…………………3分
又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分 所以GH 平面DEM . …………………5分 （Ⅱ）证明：方法一：
在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，
因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E =所以DE ⊥平面EFM ,
所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .
又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.
以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分 所以31(0,1,0),(3,0,0),(0,1,2),(
,,1)22E M C N --…………………7分 所以33(3,1,0),(,,1)22
EM CN ==--，…………………8分 所以0EM CN ⋅=，所以EM CN ⊥. …………………9分 方法二： 取EM 中点K ，连接,NK FK .
又NK 为EMD ∆的中位线，所以NK
DE 又DE CF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分 因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,
又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分 且NK FK K =，
所以EM ⊥平面NKFC ，…………………8分
而CN ⊂平面NKFC ,
所以EM CN ⊥. …………………9分 （Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-,所以0EM CF ⋅=, 即EM CF ⊥,
又CF CN C =, 所以EM ⊥平面NFC ，
所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分 又31(
,,1)22
HG =，设GH 与平面NFC 所成的角为θ， 则有31222sin |cos ,|222||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===⋅…………………13分 所以GH 与平面NFC 所成的角为
π4
.…………………14分
18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .
当1a =时， '()e (2)(1)x f x x x =++…………………2分
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x (,2)-∞- 2- (2,1)-- 1- (1+)-∞，
'()f x
+ 0 - 0 + ()f x 极大值 极小值
…………………4分
函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，
函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分
（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，
所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .
因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分 当2a -≤-时，即2a ≥时，
因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，
此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a
所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，
解得112
a -≤≤，所以此种情形不成立，…………………8分 当2a ->-，即2a <时，
若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分 若0a <，
若2a ≥-，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立. 则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，
此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -
所以有22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤，解得20a -≤<，………………10分 当2a <-时，注意到[,)a a -∈+∞,而22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤，
此时结论成立. …………………11分 综上，a 的取值范围是1(,]2
-∞. …………………12分
法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解， 所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，
当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，…………………8分 当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，
所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102
a ≤≤.…………………11分 综上，1(,]2a ∈-∞.…………………12分 （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.…………………14分
19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y
代入24y x =，得到12y =，…………………1分
又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =，…………………2分
代入24y x =，得到123y =，…………………3分
所以2121232312
AD y y k x x --===--. …………………5分 （Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分
由24y kx m
y x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222
122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩
…………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k
=
+-=+=+++=,…………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以12124
S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以
12144S km S =<.…………………13分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.
由24y kx m
y x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222
122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩
…………………7分 2221212||1||1||21AD k x x k x x k =+-=+-=+, …………………8分 点O 到直线AD 的距离为2||
1m d k =+, 所以11||||||2
S AD d m m =⋅==………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k
=+-=+=+++=, …………………11分
又注意到1204km y y =
>，所以0,0k m >>， 所以1212=4
S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以
12144S km S =<. …………………13分 法三：直线OD 的方程为22
y y x x = , …………………6分 所以点A 到直线OD 的距离为12212222||
x y x y d x y -=+…………………7分 又2222||OD x y =+, …………………8分 所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+，…………………9分 所以122111*********||||2()2()
x y x y S x y x y S y y y y --==++
221221121
21212||||442()8()
y y y y y y y y y y y y --==++…………………10分 因为211222
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-=…………………11分 代入得到，221121212122
21212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+…………………12分 因为12122y y y y +≥, 当且仅当12y y =时取等号， 所以112212144
S y y S y y <=. …………………13分
20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W ==…………………2分
（Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ，
显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{
}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1， 可得,'X X 不可能都在好子集S 中…………………4分
又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，
且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=，…………………6分 这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半， 而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -；…………………8分 （Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀=，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω
定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,
,,)n n n n XY x y x y x y x y --=，显然n XY ∈Ω. 我们证明:
“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，
则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈ 此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾， 所以XY S ∈.
因为S 中只有12n -个元素，我们记121(,,
,,)n n Z z z z z -=为S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈，
显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,
根据Z 的定义，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1…………………11分 下面再证明k 的唯一性：
若还有1t z =,即S 中所有元素的t 坐标分量都为1,
所以此时集合S 中元素个数至多为22
n -个，矛盾. 所以结论成立…………………13分。