曲线拟合线性最小二乘法及其MATLAB程序

1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序
例7.2.1 给出一组数据点列入表),(i i y x 7–2中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.
表7–2 例7.2.1的一组数据),(y x
解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序
>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];
plot(x,y,'r*'),
legend('实验数据(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图（略）.
（3）编写下列MA TLAB 程序计算在)(x f ),(i i y x 处的函数值，即输入程序
>> syms a1 a2 a3 a4
x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4
运行后屏幕显示关于a 1,a 2, a3和a4的线性方程组
fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,
-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,
a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,
27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]
编写构造误差平方和的MA TLAB 程序
>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50
68.04];
fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,
1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,
27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,
19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,
5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];
fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)
运行后屏幕显示误差平方和如下
J=
(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+2
89/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a 2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/
2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2
为求使达到4321,,,a a a a J 最小，只需利用极值的必要条件0=∂∂k
a J )4,3,2,1(=k ，
得到关于的4321,,,a a a a 线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序
>> syms a1 a2 a3 a4
J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+
289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a 4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;
Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4);
Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),
运行后屏幕显示J 分别对a 1, a 2 ,a 3 ,a4的偏导数如下
Ja11=
56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+
23667/250*a4-8442429/625
Ja21 =
32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4
+767319/625
Ja31 =
1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125
Ja41 =
23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25
解线性方程组Ja11 =0，Ja 21 =0，Ja 31 =0，Ja 41 =0，输入下列程序
>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];
B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];
C=B/A, f=poly2sym(C)
运行后屏幕显示拟合函数f 及其系数C 如下
C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574
f=716503695845759/140737488355328*x^3
-7988544102557579/562949953421312*x^2
+1804307491277693/281474976710656*x
-4648521160813215/562949953421312
故所求的拟合曲线为
8.25746.410214.19055.0911)(23-+-=x x x x f .
（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序
>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];
n=length(xi);
f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;
x=-2.5:0.01: 3.6;
F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;
fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),
E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off
legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E 1和均方根误差E2及其数据点和),(i i y x 拟合曲线y=f (x )的图形（略）.
Ew = E1 = E2 =
3.105 4 0.903 4 1.240 9
7.3 函数的选取)(x r k 及其MATLAB 程序
例7.3.1 给出一组实验数据点的),(i i y x 横坐标向量为
x =(-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6)，纵横坐标向量为y =(459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22)，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.
解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序
>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,
-2.1,-1.5, -2.7,-3.6];
y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,
22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];
plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.3.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图（略）.
（3）编写下列MA TLAB 程序计算在)(x f ),(i i y x 处的函数值，即输入程序
>> syms a b
x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2
.1,-1.5,-2.7,-3.6]; fi=a.*exp(-b.*x)
运行后屏幕显示关于a 和b 的线性方程组
fi =
[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b),
a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]
编写构造误差平方和的MA TLAB 程序如下
>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,
13.47,12.87, 11.87, 6.69,14.87,24.22];
fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)];
fy=fi-y;
fy2=fy.^2;
J=sum(fy.^2)
运行后屏幕显示误差平方和如下
J =
(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(
a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*ex p(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2
为求使达到b a ,J 最小，只需利用极值的必要条件，得到关于的b a ,线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序
>> syms a b
J=(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2
+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/
25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b
)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2;
Ja=diff(J,a); Jb=diff(J,b);
Ja1=simple(Ja), Jb1=simple(Jb),
运行后屏幕显示J 分别对的偏导数b a ,如下
Ja1 =
2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)
*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(27/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87/10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b )-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50*exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*e xp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp (21/5*b)+2*a*exp(27/5*b)
Jb1 =
1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)^2+8500*a*exp(17/2*b)^2+6800
*a*exp(34/5*b)^2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp (18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*ex p(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)^2+5100*a*exp(51/10*b)^2+4500*a*e xp(9/2*b)^2+7200*a*exp(18/5*b)^2+3400*a*exp(17/5*b)^2+2600*a*ex p(13/5*b)^2+2500*a*exp(5/2*b)^2+1500*a*exp(3/2*b)^2+2700*a*exp(27/10*b)^2+8700*a*exp(87/10*b)^2)
用解二元非线性方程组的牛顿法的MATLAB 程序求解线性方程组J a1 =0，J b1 =0，得
a = b=
2.811 0 0.581 6
故所求的拟合曲线（7.13）为
0811.2)(=x f e x 5816.0-. （7.14）
（4）根据（7.2），（7.3），（7.4）和（7.14）式编写下面的MA TLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序
>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1 -6.8 -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5
-2.1 -1.5 -2.7 -3.6];
y=[459.26 52.81 198.27 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37
13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];
n=length(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;
F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.^2;
Ew=max(fy),
E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*'), hold on plot(x,F,'b-'), hold off,
legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.3.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w = 390.141 5，平均误差E 1=36.942 2和均方根误差E 2=106.031 7及其数据点和拟合曲),(i i y x 线y =f (x )的图形（略）.
7.4 多项式拟合及其MATLAB 程序
例7.4.1 给出一组数据点列入表),(i i y x 7–3中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.
表7–3 例7.4.1的一组数据),(y x
解 （1）首先根据表7–3给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图. 在MATLAB 工作窗口输入程序
>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12
19.88];
plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.4.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图（略）.
（3）用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MAT LAB 程序求待定系数k a )3,2,1(=k .输入程序
>> a=polyfit(x,y,2)
运行后输出（7.16）式的系数
a =
2.8302 -7.3721 9.1382
故拟合多项式为
2138.91372.72830.2)(2+-=x x x f .
（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序
>> xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88];
n=length(xi); f=2.8302.*xi.^2-7.3721.*xi+9.1382
x=-2.9:0.001:3.6;F=2.8302.*x.^2-7.3721.*x+8.79;
fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,
E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*', x,F,'b-'),
legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.4.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
运行后屏幕显示数据与),(i i y x 拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E 1和均方根误差E2及其数据点(x i ,y i )和拟合曲线y =f (x )的图形（略）.
Ew = E1 = E2 =
0.745 7, 0.389 2, 0.436 3
7.5 拟合曲线的线性变换及其MATLAB 程序
例7.5.1 给出一组实验数据点的),(i i y x 横坐标向量为x =（7.5 6.8 5.10 4.5
3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7 3.6），纵横坐标向量为y =（359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 1
4.87 24.22），试用线性变换和线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.
解 （1）首先根据给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图.
在MATLAB 工作窗口输入程序
>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7
3.6];
y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];
plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.5.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图（略）.
（2）根据数据散点图，取拟合曲线为
a y =e bx )0,0(≠>
b a , （7.19）
其中是待定b a ,系数.令b B a A y Y ===,ln ,ln ，则（7.19）化为Bx A Y +=.在MATL AB 工作窗口输入程序
>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7
3.6];
y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];
Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)
n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);
plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'), xlabel('x'),ylabel('y')
legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')
title('例7.5.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,
E2=sqrt((sum(fy2))/n)
运行后屏幕显示e 的系a y =bx 数b =0.624 1，a =2.703 9,数据与拟合),(i i y x 函数
f 的最大误差Ew =67.641 9，平均误差E 1=8.677 6和均方根误差E 2=20.711 3及其数据点和拟合曲),(i i y x 线e 的图形9703.2)(=x f x 1624.0（略）.
7.6 函数逼近及其MATLAB 程序
最佳均方逼近的MATLAB 主程序
function [yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx)
m=size(f);n=length(X);m=m(1);b=zeros(m,m); c=zeros(m,1);
if n~=length(Y)
error('X 和Y 的维数应该相同')
end
for j=1:m
for k=1:m
b(j,k)=0;
for i=1:n
b(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));
end
end
c(j)=0;
for i=1:n
c(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);
end
end
a=b\c;
WE=0;
for i=1:n
ff=0;
for j=1:m
ff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));
end
WE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);
end
if nargin==3
return ;
end
yy=[];
for i=1:m
l=[];
for j=1:length(xx)
l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];
end
yy=[yy l'];
end
yy=yy*a; yy1=yy'; a=a';WE;
例7.6.1 对数据X 和Y , 用函数进行2,,1x y x y y ===逼近，用所得到的逼近函
数计算在处的函 6.5=x 数值，并估计误差.其中
X =(1 3 4 5 6 7 8 9); Y =(-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29).
解 在MATLAB 工作窗口输入程序
>> X=[ 1 3 4 5 6 7 8 9]; Y=[-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29];
f=['fun0';'fun1';'fun2']; [yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)
运行后屏幕显示如下
yy =
2.75000000000003
a =
-7.00000000000010 -4.99999999999995 1.00000000000000
WE =
7.172323350269439e-027
例7.6.2 对数据X 和Y ，用函数2,,1x y x y y ===，x y cos =，=y e x
，
x y sin =进行逼近，其中X =（0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00），Y =（0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645）.
解 在MATLAB 工作窗口输入程序
>> X=[ 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00];
Y=[0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645];
f=['fun0';'fun1';'fun2';'fun3';'fun4';'fun5'];xx=0:0.2:3;
[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx), plot(X,Y,'ro',xx,yy,'b-')
运行后屏幕显示如下（图略）
yy = Columns 1 through 7
-0.0005 0.2037 0.3939 0.5656 0.7141 0.8348 0.9236
Columns 8 through 14
0.9771 0.9926 0.9691 0.9069 0.8080 0.6766 0.5191
Columns 15 through 16
0.3444 0.1642
a = 0.3828 0.4070 -0.3901 0.0765 -0.4598 0.5653 WE = 1.5769e-004
即，最佳逼近函数为
y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x^2+0.0765*exp(x) -0.4598*cos(x) +0.5653*sin(x). 7.7 三角多项式逼近及其MATLAB 程序
计算三角多项式的MATLAB 主程序
function [A,B,Y1,Rm]=sanjiao(X,Y,X1,m)
n= length(X)-1;max1=fix((n-1)/2);
if m > max1
m=max1;
end
A=zeros(1,m+1);B=zeros(1,m+1);
Ym=(Y(1)+Y(n+1))/2; Y(1)=Ym; Y(n+1)=Ym; A(1)=2*sum(Y)/n;
for i=1:m
B(i+1)=sin(i*X)*Y'; A(i+1)=cos(i*X)*Y';
end
A=2*A/n; B=2*B/n; A(1)=A(1)/2;Y1=A(1);
for k=1:m
Y1=Y1+A(k+1)*cos(k*X1)+ B(k+1)*sin(k*X1);
Tm=A(1)+A(k+1).*cos(k*X)+ B(k+1).*sin(k*X); k=k+1;
end
Y;Tm; Rm=(sum(Y-Tm).^2)/n;
例7.7.1 根据上的个],[ππ-350,60,13=n 等距横坐标点n
i x i π+π-=2 ),,2,1,0(n i =和函数3
sin 2)(x x f =. （1）求的6阶三)(x f 角多项式逼近，计算均方误差;
（2）将这三个三角多项式分别与的傅里)(x f 叶级数
nx n n x f n n sin 1
9)1(318)(121∑∞=+--π= 的前6项进行比较;
（3）利用三角多项式分别计算X i = -2, 2.5的值;
（4）在同一坐标系中，画出函数)(x f ，350,60,13=n 的三角多项式和数据点的图形.
解 （1）输入程序
>> X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);X1i=[-2,2.5];
[A1,B1,Y11,Rm1]=sanjiao(X1,Y1,X1i,6),
X2=-pi:2*pi/60:pi;Y2=2*sin(X2/3);
[A2,B2,Y12,Rm2]=sanjiao(X2,Y2,X1i,6)
X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);
[A3,B3,Y13,Rm3]=sanjiao(X3,Y3,X1i,6)
X1i=[-2,2.5];Y1=2*sin(X1i/3)
for n=1:6
bi=(-1)^(n+1)*18*sqrt(3)*n/(pi*(9*n^2-1))
end
（2）画图，输入程序
>>X1=-pi:2*pi/13:pi;Y1=2*sin(X1/3);
Xi=-pi:0.001:pi; f=2*sin(Xi/3);
[A1,B1,Y1i,R1m]=sanjiao(X1,Y1,Xi,6);X2=-pi:2*pi/60:pi;
Y2=2*sin(X2/3); X3=-pi:2*pi/350:pi;Y3=2*sin(X3/3);
[A2,B2,Y2i,R2m]=sanjiao(X2,Y2,Xi,6);
[A3,B3,Y3i,R3m]=sanjiao(X3,Y3,Xi,6);
plot(X1,Y1,'r*', Xi, Y1i,'b-',Xi, Y2i,'g--', Xi, Y3i, 'm:',
Xi, f, 'k-.')
xlabel('x'),ylabel('y')
legend('数据点(xi,yi)','n=13的三角多项式','n=60的三角多项式
','n=350的三角多项式','函数f(x)')
title('例7.7.1 的数据点(xi,yi)、n=13，60，350的三角多项式T3
和函数f(x)的图形')
运行后图形（略）.
7.8 随机数据点上的二元拟合及其MATLAB 程序
例7.8.1 设节点(X,Y,Z )中的X 和Y 分别是在区间和上的5]3,3[-]5.3,5.2[-0个随机数，Z 是函数Z =7-3x3e 在2
2y - -x (X,Y )的值，拟合点(X I ,Y I )中的X I =-3:0.2:3, Y I =-2.5:0.2:3.5.分别用二元拟合方法中最近邻内插法、三角基线性内插法、三角基三次内插法和MATLAB 4网格化坐标方法计算在(X I ,Y I )处的值，作出它们的图形，并与被拟和曲面进行比较.
解 （1）最近邻内插法.输入程序
>> x=rand(50,1);
y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .
X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成的随机变量.
Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成的随机变量.
Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z
的值.
X1=-3:0.2:3;
Y1=-2.5:0.2:3.5;
[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.
ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'nearest') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.
mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('用最近邻内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面
和节点的图形')
%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')
hold on %在当前图形上添加新图形.
plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.
运行后屏幕显示用最近邻内插法拟合函数Z =7-3x3e 在2
2y - -x 两组不同节点处的曲面及其插值Z I （略）.
（2）三角基线性内插法.
输入程序
>> x=rand(50,1);
y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .
X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.
Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.
Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z
的值.
X1=-3:0.2:3;
Y1=-2.5:0.2:3.5;
[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.
ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'linear') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.
mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('用三角基线性内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的
曲面和节点的图形')
%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')
hold on %在当前图形上添加新图形.
plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.
运行后屏幕显示用三角基线性内插法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值Z I （略）.
（3）三角基三次内插法.
输入程序
>> x=rand(50,1);
y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .
X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.
Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.
Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z
的值.
X1=-3:0.2:3;
Y1=-2.5:0.2:3.5;
[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.
ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'cubic') %计算在每个插值点（XI,YI ）
处的插值ZI.
mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('用三角基三次内插法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的
曲面和节点的图形')
%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')
hold on %在当前图形上添加新图形.
plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.
运行后屏幕显示用三角基三次内插法拟合函数Z =7-3x3e 在22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值Z I （略）.
（4）MATLAB 4网格化坐标方法.
输入程序
>> x=rand(50,1);
y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .
X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成 上的随机变量.
Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成 上的随机变量.
Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z
的值.
X1=-3:0.2:3; Y1=-2.5:0.2:3.5;
[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.
ZI=griddata(X,Y,Z,XI,YI, 'v4') %计算在每个插值点（XI,YI ）处的插值ZI.
mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('用MATL AB 4网格化坐标方法拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')
%legend('拟合曲面','节点(xi,yi,zi)')
hold on %在当前图形上添加新图形.
plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.
运行后屏幕显示用MA TLAB 4网格化坐标方法拟合函数Z =7-3x3e 在
22y - -x 两组不同节点处的曲面和节点的图形及其插值ZI （略）.
（5）作被拟合曲面Z =7-3x3e 和22y - -x 节点的图形.
输入程序
>> x=rand(50,1);
y=rand(50,1); %生成50个一元均匀分布随机数x 和y ， x ，y .
X=-3+(3-(-3))*x;%利用x 生成随机变量.
Y=-2.5+(3.5-(-2.5))*y; %利用y 生成随机变量.
Z=7-3* X.^3 .* exp(-X.^2 - Y.^2); %在每个随机点（X,Y ）处计算Z
的值.
X1=-3.:0.1:3.;
Y1=-2.5:0.1:3.5;
[XI,YI] = meshgrid(X1,Y1); %将坐标（XI,YI ）网格化.
ZI=7-3* XI.^3 .* exp(-XI.^2 - YI.^2);
mesh(XI,YI, ZI) %作二元拟合图形.
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('被拟合函数z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的曲面和节点的图形')
%legend('被拟合函数曲面','节点(xi,yi,zi)')
hold on %在当前图形上添加新图形.
plot3(X,Y,Z, 'bo') %用兰色小圆圈画出每个节点(X,Y,Z). hold of %结束在当前图形上添加新图形.
运行后屏幕显示被拟合函数Z =7-3x3e 的22y - -x 曲面和节点的图形及其函数值ZI （略）.
7.9 随机数据点上的元拟合n 及其MATLAB 程序
例7.9.1 首先利用M ATLAB 函数ran d 产生随机数据X 1,Y 1,Z 1,然后用线性变换b at u += (其中5,5-==b a )将随机数据X 1,Y 1 ,Z 1 变换为节点坐标(X,Y,Z ),再用函数e )
1(373+-=z y x w 222z y x ---生成数据W, 用三元最近邻内插法方法计算函数w 在插值点x i ,10:5.0:3-= y i ,13:5.0:2-=z i =y i 处拟合数据的值，并作其图形.
解 输入程序
>> X1=-5+5*rand(10,1);
Y1=-5+5*rand(10,1);
Z1=Y1;
[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);
W=7-3* X.^3 .* Y.*(Z+1).* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2);
xi=-3:0.5:10;
yi=-2:0.5:13;
zi=yi;
[XI,YI,ZI] = meshgrid(xi,yi,zi);
W1=griddata3(X, Y, Z, W, XI, YI, ZI, 'nearest');
slice(XI,YI,ZI,W1,[-2 4 9.5],9,[-2 2 9]),
%shading flat
%lighting flat
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('被拟合函数W=7-3X^3Y(Z+1)exp(-X^2 - Y^2- Z^2) ');
hold on
colorbar('horiz')
view([-30 45])
运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形（略）.
例7.9.2 设节点(X,Y,Z,W )中的X,Y 和Z 分别是在区间和]3,3[-]5.3,5.2[-,Y =Z 上的15个随机数，W 是函数e x w +=22
22z y x ---在(X,Y,Z )的值，拟合点(x i ,y i ,z i )中的x i =-3:0.2:3， y i =-2.5:0.2:3.5，z i =y i ， 用'linear '方法计算拟合数据的值，并作其图形.
解 输入程序
>> x=rand(15,1); y=rand(15,1);
X1=-3+(3-(-3))*x;
Y1=-2.5+(3.5-(-2.5))*y;Z1=Y1;
[X,Y,Z] = meshgrid(X1,Y1,Z1);
W=2+X.* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2);
xi=-3:0.2:3; yi=-2.5:0.2:3.5; zi=yi;
[X2,Y2,Z2]=meshgrid(xi,yi,zi);
W1=griddata3(X, Y, Z, W, X2,Y2,Z2,'linear');
slice(X2,Y2,Z2,W1,[-1 0 1.5],2,[-2 3]),
shading flat,lighting flat,
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),
title('被拟合函数W=2+X exp(-X^2 - Y^2- Z^2)');
hold on,colorbar('horiz'), view([-3 5])
运行后屏幕显示三元线性拟合值及其图形（略）.。