九年级数学下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式

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1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
01 基础题
知识点1 用待定系数法求二次函数的表达式
1．抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y 轴交于点(0，－3)，则此抛物线对应函数的表达式为( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2＋2x －3
2．如图是二次函数y ＝ax 2＋2x ＋a 2
－1的图象，则a ＝____________.
3．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)．则这个二次函数的解析式为____________．
4．若二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：
则二次函数的解析式为________________．
5．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)． (1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象．
6．如图，已知二次函数y ＝－12x 2
＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．
知识点2 判断已知三点能否确定一个二次函数
7．已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；
(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．
02 中档题
8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y ＝－2x 2
相同，则
抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的表达式为( )
A ．y ＝－2x 2－x ＋3
B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5
C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8
D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
9．(淄博中考)如图，二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象过点B(0，－2)．它与反比例函数y ＝－8x 的图象交于点A(m ，
4)，则这个二次函数的解析式为( )
A ．y ＝x 2－x －2
B ．y ＝x 2－x ＋2
C ．y ＝x 2＋x －2
D ．y ＝x 2＋x ＋2
10．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示． (1)求二次函数的解析式；
11．已知四点A(1，2)，B(3，0)，C(－2，20)，D(－1，12)，试问，是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四点，如果存在，请求出它的表达式；如果不存在，请说明理由．
03 综合题
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若A(－4，y 1)，B(11
2，y 2)两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小；
(3)若A(m －1，y 1)，B(m ＋1，y 2)两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．
参考答案
1．B 2.－1 3.y ＝x 2－x －2 4.y ＝－2x 2
－12x －13
5．(1)设y ＝ax 2
＋bx ＋2.把A(－1，－1)，C(1，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝－1，a ＋b ＋2＝3.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝2.
∴二次函数的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋2.
(2)略．
6．(1)把(2，0)，(0，－6)代入二次函数表达式，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧b ＝4，c ＝－6.
∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2
＋4x －6.
(2)∵对称轴为直线x ＝－b
2a ＝4，
∴C 点的坐标是(4，0)． ∴AC＝2，OB ＝6.
∴S △ABC ＝12AC•OB＝1
2
×2×6＝6.
7．(1)设有二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，a ＋b ＋c ＝2，
a －
b ＋
c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1.
∴二次函数y ＝2x 2
＋x －1的图象经过A ，B ，C 三点．
(2)设有二次函数y ＝a 1x 2
＋b 1x ＋c 1的图象经过A ，B ，C 三点，则得到关于a 1，b 1，c 1的三元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧c 1＝－1，a 1＋b 1＋c 1＝2，
a 1－
b 1＋
c 1＝－4.解得⎩⎪⎨⎪
⎧a 1＝0，b 1＝3，c 1＝－1.
∴一次函数的图象y ＝3x －1经过A ，B ，C 三点，这说明没有一个二次函数的图象经过A ，B ，C 三点． 8．D 9.A
10．(1)∵抛物线与x 轴交于点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线x ＝－1.
∴设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)2
＋4.把(1，0)代入得4a ＋4＝0，解得a ＝－1.
∴二次函数的解析式为y ＝－x 2
－2x ＋3.
(2)∵二次函数的解析式为y ＝－(x ＋1)2
＋4，
∴二次函数的顶点坐标为(－1，4)．把点(－1，4)向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标为(2，2)，
∴平移后得到的抛物线的解析式为y ＝－(x －2)2＋2＝－x 2
＋4x －2.
11．设图象经过点A(1，2)，B(3，0)，C(－2，20)三点的二次函数的表达式是y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝0，
4a －2b ＋c ＝20.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝6.
∴图象经过点A ，B ，C 的二次函数的表达式为y ＝x 2
－5x ＋6.当x ＝－1时，y ＝(－1)2
－5×(－1)＋6＝12.
∴点D 在这个二次函数的图象上，即存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四点，它的表达式为y ＝x 2
－5x ＋6.
12．(1)把(－1，0)，(0，－3)，(1，－4)代入函数表达式y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，a ＋b ＋c ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.
∴二次函数的表达式为y ＝x 2
－2x －3.
(2)把x ＝－4代入函数，可得y 1＝21，把x ＝112代入函数，可得y 2＝65
4
，
∴y 1＞y 2.
(3)把x ＝m －1代入函数表达式，可得y 1＝m 2－4m ，把x ＝m ＋1代入函数表达式，可得y 2＝m 2
－4， ∴y 1－y 2＝－4m ＋4＞0，即m ＜1时，y 1＞y 2.同理可得：当m ＞1时，y 1＜y 2；当m ＝1时，y 1＝y 2.。