高三总复习数学课件 指数与指数函数

在 R 上为增函数
在 R 上为减函数
(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，－1，1a，依据这三点的坐标可得到指 数函数的大致图象． (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指 数函数的图象关于y轴对称．
[典例] (2022·临沂期末)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝2b，则下列不等
式可能成立的是
()
A．0<a<b
B．0<b<a
C．a<b<0
D．b<a<0
[解析] 作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，当3a＝2b
>1时，根据图象得0<a<b，故A选项正确；当3a＝2b<1时，根据图
象得b<a<0，故D选项正确．故选A、D.
2．有理数指数幂
m
正分数指数幂：a n
＝
Hale Waihona Puke nam(a＞0，m，n∈N
*，且
n＞1)
幂的有 关概念
1
1
负分数指数幂：a
m n
＝
a
m n
＝
n am
(a＞0，m，n∈N *，且 n＞1)
0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂_没__有__意__义___
有理数 指数幂 的性质
aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q ) (ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q ) (ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q )
基础点(二) 指数型函数图象的识辨 [题点全训]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是
()
解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1， 所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C. 答案：A
2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是
()
解析：函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 项显然错误；当 a>1 时，0<1a<1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0<a<1 时，1a>1，平移距离大于 1，所以 C 项错误．故选 D. 答案：D
[一“点”就过] 有关指数函数图象问题的解题思路
3.指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
函数的定义域为 R ；值域为_(0_，__＋__∞__)_ 函数图象过定点 (0,1) ，即当 x＝ 0 时，y＝_1_ 性质 当 x>0 时，恒有 y>1 ； 当 x>0 时，恒有 0<y<1 ； 当 x<0 时，恒有_0_<_y_<_1_ 当 x<0 时，恒有_y_>_1_
(4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与
底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b.
1．(人教 A 版必修第一册 P115·T2 改编)已知指数函数 y＝f(x)的图象经过点(－
1,2)，那么这个函数也必定经过点
()
A.－2，14
B.－1，12
C．(1,2)
D．3，18
1 2
－(0.01)0.5；
(2)56a
1 3
·b－2·(－3a
1 2
b－1)÷(4a
2 3
·b－3)
1 2
；
a
2 3
·b－1
1 2
·a
1 2
·b
1 3
(3)
.
6 a·b5
解：(1)原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝－52a
1 6
b－3÷(4a
2 3
·b－3)
1 2
＝－54a
1 6
b－3÷(a
1 3
b
3 2
)＝－54a
1 2
·b
3 2
＝－54· a1b3＝－54aabb2 .
1 1
1 1
(3)原式＝a
32
23
b ·a b ＝a ·b ＝1. 1 5 a b a 6 6
-1-1-1 326
1+1-5 2 36
[一“点”就过] (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负 指数．
答案：D
2．(苏教版必修第一册P155·T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的
最大值与最小值之和为3，则a的值为
()
A．2 B．3 C．4 D．12 答案：A
3．函数y＝2x＋1的图象是
()
答案：A
4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则
A．a<b<c
B．b<a<c C．c<b<a
答案：B
5．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：181
D．a<c<b
()
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一) 指数幂的运算
[题点全训]
1．若
x
1 2
＋x
1 2
＝3，则xx322＋＋xx－232－－23＝________.
解析：由
x
1 2
[答案] AD
[方法技巧] (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象， 数形结合求解．
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否 过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入 手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确 定时应注意分类讨论．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一) 指数函数图象的应用
指数与指数函数
1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数
的单调性与特殊点.
1．根式 (1)根式的概念 如果 xn＝a ，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N *.式子n a叫做 根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的 n 次方根的表示
＋x
1 2
＝3，两边平方，得
x＋x－1＝7，再平方得
x2＋x－2＝47.∴x2
＋x－2－2＝45，x
3 2
＋x
3 2
＝ x
1 2
＋ x 3
1 2
3＝(x
1 2
＋x
1 2
)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.
∴xx232 ＋＋xx－232－－23＝13.
答案：13
2．化简下列各式：
(1)2350＋2－2×214