江西省赣州市寻乌中学2020年高三数学理期末试题含解析

江西省赣州市寻乌中学2020年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线
与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前10
项和=( )
A．B．C．D．2
参考答案：
B
略
2. 已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的全面积为（）
A．3+B．2+C．5 D．4
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，判断底面形状，四棱锥的特征，利用三视图的数据，求出全面积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是四棱锥，底面是边长为1的正方形，四棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，
所以四棱锥的全面积为：S=1×1+2×+2×=3+．
故选A．【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，三视图的全面积的求法，考查计算能力．
3. 已知集合，则（）
A．B．R C．D．
参考答案：
D
4. 已知随机变量的值如右表所示，如果与线性
相关且回归直线方程为，则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 已知是圆内一点，则过点最长的弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 已知，那么=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】由已知及诱导公式可求sinα=，利用诱导公式化简所求后即可得解．
【解答】解：∵，可得：sinα=，
∴=sinα=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7. 已知数列{a n}满足a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n(n∈N*)，且a5＝10，a7＝14，则a2020－a2019＝
A.2
B.1
C.－2
D.－l
参考答案：
A
8. 已知实数x，y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m等于
A．7 B．5 C．4 D．3
参考答案：
B
选项代入不等式组中，验证当时成立.
9. 若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（）
A．10+6πB．10+20πC．14+5πD．14+20π
参考答案：C
略
10. 设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）
A．﹣1280x3 B．﹣1280 C．240 D．﹣240
参考答案：
A
【考点】定积分．
【专题】导数的综合应用；二项式定理．
【分析】先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项．
【解答】解：由于a=（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=4，
则（ax2﹣）6的通项为=（﹣1）r?，
故（ax2﹣）6的展开式中的第4项为T3+1=，
故选：A．
【点评】本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：
原点处标数字0，记为；点(1,0)处标数字1，记为；
点(1, －1)处标数字0，记为；点(0,－1)处标数字－1，记为；
点(－1,－1)处标数字-2，记为；点(－1,0)处标数字－1，记为；
点(－1,1)处标数字0，记为；点(0,1)处标数字1，记为；
…
以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，
则
．
参考答案：
-249
12. 已知实数a,b 满足，则函数f(x)= 的两个极值点都在(0,1)
内的概率为______
参考答案：
13. 圆心在原点上且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________________． 参考答案： x 2+y 2=2
14. 已知
为不共线的向量，设条件M ：
；条件N ：对一切
，不等式
恒成立．则M 是N
的 条件．
参考答案：
充要
15. 函数的反函数________________．
参考答案：
16. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如右图所示，则二面角 C －AB －D 的正切值为 .
参考答案：
17. （文）已知数列的通项公式为，那么满足的正整
数=________ 参考答案： 2或5
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的各项为正数，其前n 项和
设
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设数列
的前项和为
，求
的最大值。

参考答案：
解：（1）当n=1时，，
当n 2时，，即：
，
，
，所以
是等差数列，
（2）
，
，
，
是等差数列
，当n=5时，
略
19. 本小题满分12分）
已知等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项的和S n.参考答案：
略
20. 几何证明选讲）（本小题满分0分）
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．
求证：直线PC经过点E．
参考答案：
【考点】圆周角定理．
【专题】立体几何．
【分析】连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圆周角定理得到
．利用，∠APB的平分线有且只有一条，只要证明PC与PE重合．【解答】证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°．…
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以．…
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线．…
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…【点评】本题考查了圆周角定理的运用；关键是熟练圆周角定理的内容，正确运用．
21. 已知函数
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）设直线为函数的图像上的一点处的切线，证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切．
参考答案：
解：（1）…… 2分
，，增区间为（0,1）和（1，+）…… 4分（2）切线方程为①……6分
设切于点，
方程，②…… 8分
由①②可得，
由（1）知，在区间上单调递增，
又，，
由零点存在性定理，知方程必在区间上有唯一的根，这个根就是
，故在区间
上存在唯一的，使得直线与曲线相切…… 12分
略
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，直线l的方程为x﹣y﹣1=0．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程，可得参数方程；
（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：
==，由此得出结论．
【解答】解：（1）由ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0及得：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
所以曲线C的参数方程为：；
（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：
==
所以当时，点，
此时，即，k∈z．
所以，
所以点P坐标为，点P到直线l的距离最大值为．
【点评】本题考查参数方程的运用，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，属于中档题．。