初三数学竞赛专题--求根公式

初三数学竞赛专题——求根公式
一、选择题
1．设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A ． 一4
B ．8
C ．6
D ．0 (全国初中数学联赛题) 答案：A
2．当分式4
31
2++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x (2002年重庆市竞赛题)
答案：D
3．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2．5 (北京市竞赛题) 答案：B
4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A ．b a =
B ．0=+b a
C ．1=+b a
D ．1-=+b a
(第十六届江苏省竞赛题)
答案：D
5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：A 6．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是
( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．4 (第十五届江苏省竞赛题) 答案：C
7．已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．2
51+- D ．251-- 答案：C
二、填空题
8．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． (2001年北京市海淀区中考题) 答案：51±
9．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．
答案：3
10．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

则代数式a 200012000120003+++的值为 ．(2003年河北省竞赛题) 答案：2
88935+ 11．满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．(2002年全国初中数学竞赛题)
答案：43
12．已知0232
=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．(2001年四川省中考题)
答案：2
13．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)
答案：7-或6
三、解答题
14．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边
n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281
1，求n 的值．
答案：41
15．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求
p 、q 的值． (四川省选拔赛题)
答案：7=p ，1=q
16．解下列关于x 的方程：
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；
(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．
答案：（1）当1=m 时，2=x ；当1≠m 且1211>
m 时，)1(21112212,1--±-=m m m x ；当1≠m 且1211=
m 时，521==x x ；当1≠m 且1211<m 时，方程无实数根（2）2
512,1+±=x （3）121-==x x ，5234,3±-=x 17．设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．(2000年重庆市竞赛题) 答案：62-
18．解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．
答案：6（1）当1=a 时，方程的根为21=
x ；当0>a 且1≠a 时，方程有两个不相等的实数根1
1-+=a a a x ，12--=a a a x ；当0=a ，方程有两个相等的实数根021==x x ；当0<a 时，方程没有实数根
19．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+
1111， 试求x 的值．
(2003年全国初中数学联赛题)
答案：由已知有：a x b -=
1，12---=ax x a x c ，代入x d c =+1得011
2=+---d ax x a x ，即01)2()1(23=++--+-ad x a d x ad dx ，又由x a d =+1得ax ad =+1，代入上面的方程得0)2)((3=--x x a d ，由已知0≠-a d ，故023=-x x ，若0=x ，则c a =矛盾，故有22=x ，即2±=x
20．若0152=+-x x ，则1539222++
+-x x x ＝ ．
答案：6 21．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
答案：2=m ，公共根α=1
22．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形
PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：AB
BS 为无理数．(上海市竞赛题)
答案：如图，设BC=a ，边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，由△ASR ∽△ABC ，得a
y h x h =-，∴a h x h y ⋅-=，∵PQRS ABC nS S 矩形=∆，∴a h x h nx nxy ah ⋅-⋅==21，整理得02222=+-h nxh nx ，∴n n n h x 221212-±=，显然22)1(2-<-n n n ，又3≥n ，∴22)2(2->-n n n ，故n n 22-不是完全平方数，从而n x 为无理数，于是h
x BA BS =为无理数
23．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题) 答案：1
24．已知m 、n 是一元二次方程072001
2=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值． 答案：1993
25．已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值． 答案：5。