伯德定理在控制理论中的应用

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伯德定理在控制理论中的应用
郭妍妍*,陈昆仑
(中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院,北京100083)
摘要:伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线构成,它的绘制是控制工程基础课程中的重 点、难点内容,也是教学上的重难点,最小相位和非最小相位系统在伯德图中的绘制也是不易理解和 掌握的部分。

在控制工程的基础上,基于对伯德定理的理解与认识,分析说明了伯德公式在绘图上的 应用及最小相位和非最小相位系统在伯德图上的区别。

关键词:伯德定理;伯德图;最小相位;非最小相位
1概述
所示。

在控制工程中,频率特性图形主要有幅相特性(奈
奎斯特图)、对数频率特性(伯德图冤。

开环幅相特性曲 线在分析闭环系统的稳定性时比较直观,所以,在理论 分析和应用时经常会采用这种分析方法,而相对来说, 伯德图在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最 为方便,也是应用最为广泛的。

一般经典控制理论书都 只是简单地给出了伯德图绘制的一般规则,但并没有涉 及到伯德公式和它对伯德图绘制的作用,以及最小相位 系统和非最小相位系统的幅相特性曲线的绘制。

主要讲 述伯德公式在伯德图绘制中的应用以及区别最小相位系 统和非最小相位系统,方便学生理解和掌握。

2
理论
在Matlab 绘制的各类稳定的基本单元,其伯德图 都有如下特征:如果某一相当宽的频率段,对数幅频特 性的斜率dln A /du 抑0,则在该频率段其相频特性就满足渍抑0,若dlnA /du 抑-1或-2,贝IJ 渍抑-仔/2或-仔。

甚至对于一个复杂的系统,如果在某一相当宽的频率段处 处有dln A /du 抑k ,则相频特性就满足渍抑k (仔/2)。

这种情况并非偶然,可以证明:在复数平面的右半 平面上既无零点也无极点的传递函数,其幅频特性和相 频特性之间存在着严格的确定关系院
式中渍(棕。

)为相频特性在观察频率棕。

处的数值, u=ln (w /w 。

)为标准化频率,dlnA /du 为相频特性的斜率;
函数lncoth
为加权函数,曲线如图1
图1加权函数曲线
相频特性在棕。

处的数值主要决定于棕。

附近的对数 幅频特性的斜率,是对数幅频特性的加权平均值,其加权函数就是lncoth
din A du
lncoth
du
上述公式称为伯德公式。

3
应用
用对数频率特性图表示对象的性质有很多优点。

(1)可以展宽视野。

一个控制系统的频率特性覆盖的频
作者简介:郭姘姘(1992-),女,通讯作者,硕士,研 究方向院系统建模与现代控制算法;陈昆仑(1994-),
男,硕士,研究方向:自动检测与控制系统。

收稿日期:2018-04-04
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电鷓编程技巧与维护^
HHI S SB困囿囷困圉图囷B B O團P i®率变化范围和幅值变化范围都常常达到104颐1甚至更
宽。

(2)对数特性曲线的形状比较简单易画。

(3)当复杂控制系统是由多个典型单元串联组成时,要把多个 频率特性函数相乘以形成系统的频率特性,为此只需把 对数频率特性函数的值逐点相加,这比把福相频率特性 的值逐点相乘方便许多。

从伯德公式可以看出,如果对数幅频特性函数在棕。

Gl(5)=T^7+T=
l~s(f>2{(〇)= -tg~X(〇-tg~X\^(0
也(仍)=,g_V y+诠_1l(ky
G4(5)= Y7^:<f>i,{(〇)= -tg~x〇)+tg~l\Q co
它们所对应的幅相特性曲线,如图2所示。

—〇)=_{Hncoth d id—
k[\n(l+ e u)-\n(l-e u)]du
—k(e u+—+ —+ •••
4k
--(1H——H——+ ...
(2«-l)
k-
在工程上并不使用伯德公式来实际计算渍(棕。

)函数的值,例如,根据伯德公式可以看出对于含有积分单 元的对数幅频特性曲线的斜率处处等于-1,其相频特性 函数值就处处是_f。

伯德公式的主要价值在于指出相频特性函数与对 数幅频特性函数的斜率之间有确定的关系这一性质。

Bode Diagram
点附近相当宽的频率段内处处都有斜率,而k
为常数,就有院
图2幅相特性曲线
从图2中可以看出,最小相位系统是指在具有相同
幅频特性的一类系统中,当棕从0变化至肄时,系统
的相角变化范围为最小,即图2中仏所示,且幅频特
性和相角特性二者之间有唯一并且确定的对应关系(伯
Frequency (rad/sec)
工程上常常利用这一性质,根据幅频特性曲线的斜率 大致勾画出相频特性曲线的草图,进而粗略地分析系 统的动态性质,而省去绘制准确绘制相频特性曲线的 步骤。

4算例德公式)。

而曲线G2、G3为非最小相位系统,通常它们 的相角变化范围比较大;或者是另外一种情况,即相角 变化范围不大,但二者(相角和幅值)变化趋势不一致 (如 G4)〇
5结语
伯德公式除了用来粗略地绘制对数频率特性曲线 外,还可以简单地用于区别伯德图中最小和非最小相位 系统。

通常在控制理论中,s右半平面上既无极点也无零 点的传递函数,称为最小相位传递函数,具有改传递函 数的称为最小相位系统;反之,为最小相位传递函数,即非最小相位系统。

下面将举例简要说明二者在伯德图的绘制中的区 别。

以下是4个系统传递函数,以及它们对应的辐相特 性曲线院
一方面,虽然借助Matlab等软件可以比较容易地 绘制伯德图,但是要让学生掌握伯德图的思想就需要把 伯德公式这些原理介绍清楚。

伯德公式的推导使得学生 明白绘制伯德图的基本思想,也是伯德图的绘制简单 化。

另一方面,伯德公式也说明了对于最小相位系统,幅频特性与相频特性二者之间有确定的关系,是密切相 关的,给定了其中一个,另一个也就随之确定了,反之 亦然;然而对于非最小相位系统,幅频特性和相频特性 没有特定的关系。

因此,在分析系统性能时,可只根据 (下转第62页)
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A电脑编程技巧与维护
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情况,开发出具有学校特色的选题系统。

通过一个学期 的对比和调研,这些选题系统在很大程度上帮助院校提 高了教学质量,如中国矿业大学应用技术学院选题系 统、武汉大学计算机学院选题系统等[7]。

此外,从众多 已有的文献中可见研究者们对选题系统的应用可行性进 行了探索,并获得了一定的成果。

3
结语
随着教学改革的不断推进,涌现了一系列新模式、 新理念、新技术,像云技术、慕课、大数据、微课堂 等新概念应运而生,教育信息化在全球范围内都取得 了长足的发展,对教育的“革命性影响”正日益显现[8]。

对现阶段高校课程设计的现状进行了认真调研,分 析总结了存在的主要问题,探讨了立题和选题方面的教 学模式和方法,提出的自动选题系统,有效地解决了目 前课程设计过程中效率低、互动性差的缺点,提升了高 校校园数字化水平,该系统使得课程设计教学过程变得 更加规范化、科学化,在实际教学过程中反映良好。

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数据结构是一门理论性和实践性相结合的课程,涉(上接第28页)
幅频特性(或只根据相频特性)进行分析,然而对于非 最小相位系统,在对系统进行综合分析时,不能只考虑 其中一个,必须同时考虑其幅频特性与相频特性。

参考文献
[1]
蒋小平.自动控制原理.北京:中国矿业大学出版
社,2015.
[2] 吴麒,王诗宓.自动控制原理.2版.北京:清华大
及很多经典算法的思想,对于高校大学生来说是一门必修课,数据结构课程设计是对数据结构这门课的一个必要补充与完善,上好这门课,对任课老师来说至关重要。

参考文献
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