1[1].4.3正切函数的性质与图象(好好)
必修四1.4.3正切函数的性质与图象
3 (1) 2 4 (1)
(2)2
(2)
题型三
【例 3】 求下列函数的最小正周期: ( 1) y=- tan x 3 ;
求周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
5
( 2) y=| tan x| . 分析: ( 1) 利用 T= 求解; ( 2) 画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解: ( 1) ∵ ω= , ∴ 最小正周期 T= = 3.
内都是增函数。
kπ , ( ,0) k Z 2
对称轴呢？
典型例题
例1.求函数y= tan(
2
x
3
)的定义域、周期和单调区间。
5 定义域： x x 2k , k 3
周期：T 2
5 1 单调增区间： +2k , 2k , k 3 3
y tan x
正切函数的图象
3 2
0
y
3 2
2
3 2
o
x
问题4、正切函数 y
= tanx 的单调性。
2 k ,
正切函数在开区间(问题5、正切函数 y
= tanx
2 的值域。
k ), k 内都是增函数.
值域为R
正 切 函 数 图 像
性质 :
预习自测 1 (1) x k x k , k (2) x x k , k 2 (3) x k x k , k 2 k 2 x x , k 3 6
x k x k , k 2
1.4.3正切函数的图像和性质(1)
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质 (精致版)
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
1.4.3正切函数的性质与图象
B
)
π 2．y＝tanx(x≠kπ＋ ，k∈Z)在定义域上的单调性为( 2 A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
C
)
π π C．在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上为增函数 2 2 π π D．在每一个区间－ ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)上为增函数 2 2
(2)∵tan496°＝tan136°，
y＝tanx 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126
°>90°，∴tan136°>tan126°，即 tan496°>tan126°.
不求值， 比较下列每组中两个正切值的大小， 用不等号 “<” 、 “>”连接起来．
< (1)tan32°________tan215 °.
O 6
4 3 2
x
正切函数的性质 :
定义域： x x k , k Z 2 值域： R
周期性：
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
T
奇偶性： 奇函数
单调性： 在开区间 2 k , 2 k k Z 内递增
cosx 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(4)．
解：令 z x
例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4
z z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
y A tan( x ) T y tan x T π
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x
2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T
（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T
正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x
2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？
1.4.3正切函数的图像与性质
课堂展示
探究1
展示：1组
独立思考， 独立审题 1.结合批阅情况，改正错误，找准错因。
探究2、3、4 展示：6组
2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。
3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 要求：思维敏捷，手、脑、眼并用。
例1 展示：5组
例2 展示：2组
例3 展示：3组
激情点评
探究1
点评：9组 探究2、3、4 点评：8组
思考：在整个定义域内是增函数么？
正切函数的性质与图像
（五）定义域、值域:
k （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x k k Z 2
应用提升
• 例1
求函数y tan x 的定义域，值域，并指出它的周期性， 3 2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
复习回顾
y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - o -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 2 3 4 5 6 x
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴：x k
2
, 对称点： ( k ,0);
学习目标：
1.会画出的 y tan x 图像； 2.掌握正切函数 y tan x 的性质；并能够熟练的应用。
[重点]： 画正切函数的图像，理解正切函数的性质。
[难点]：正切函数的性质及其应用。
合作学习：重点讨论：
探究1. 借助正切线，做出正切函数y=tanx的图像。 探究2.由正切函数的图像得到正切函数的定义域与值域。 探究3.由正切函数的图像得到正切函数的周期性、奇偶性。
19-20版 第1章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
1.4.3 正切函数的性质与图象
2
k , k Z
y A tan( x )
2.奇偶性
tan( x) tan x, x
T
2
k , k Z
正切函数是奇函数
练习：求下列函数的最小正周期： 1 π (1)y＝tan(－ x)；(2)y＝tan(2x＋ )． 2 12
T 2 1 2
[规律方法] 对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为 非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正 切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和 换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式 将x的系数化为正数，再进行求解．
例 4 利用正切函数的单调性比较下列两个 函数值的大小： 6 13 (1)tan－5π与 tan－ 7 π； (2)tan 2 与 tan 9.
T
2
利用正切线画出函数在 , 的图象 2 2
y
O1
3 4 6 2
O 6
4 3 2
x
图
y
象
3 2
2
2
3 2
x
特征
三点两 线
2
由直线 x 1.有无穷多支曲线组成，
k , k Z隔开
2.在每个分支里是单调递增的 3.有渐近线 x
无减区间 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
正切函数在整个定义域上单调递增？
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的 定义域．
变式训练 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ；(2)y＝lg( 3－tan x)． 1＋tan x
课件2：1.4.3 正切函数的性质与图象
(3)由 k x k , k Z 解得
2
2
3 2
5
1
2k x 2k , k Z
3
3
5
1
所以,函数的单调增区间为：( 2k , 2k ), k Z
3
3
典型例题
1 π
求函数 y＝tan( x－ )的定义域、周期及单调区间．
x ， , 的图像？
2 2
（ ，
tan ）
3
A
0
3
3
X
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
3
3
(2) 作正切线
， ， ， ， ，
8
8
4
8
8Hale Waihona Puke 4(3) 平移(4) 连线
o
3 0
2
8
4
8
8
4
3
8
2
想一想
正切函数在整个定义域内是增函数吗？
2
解析：(1)函数的自变量x应满足
x k , k Z
2
3 2
即
1
x 2k , k Z
3
1
所以,函数的定义域为：
x
/
x
2
k
,
k
Z
3
(2)周期 T 2
2
典型例题
求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
1[1].4.3_正切函数的图象和性质课件(上课)
![1[1].4.3_正切函数的图象和性质课件(上课)](https://img.taocdn.com/s3/m/fe18e981bceb19e8b8f6bad3.png)
2
1
2
Байду номын сангаасo
4
2
2
x
练习： 1) tan x 0
2) tan x 0
例1、求函数
y tan( x ) 2 3
的定义域、周期、单调区间
变式1：求函数 的定义域 变式2：求函数单调 区间；
例2、 比较下列各组中两个正切函数值的大小 0 0 （1） 与 tan 143
正切函数的性质和图象
回顾： 1.如何作正弦函数的图像？ 2.如何研究正弦函数，余弦函数的性质？ y y=sinx
1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 o 2 3 4 5 6 x
y=cosx
2 3 4 5 6 x
3
4
6
3 3 tan tan tan 4 4 4 3 tan tan tan tan 6 4 即
2
叫做正切曲线.
2
k , (k Z )的图象 , 并把它
y
3 2
2
0
2
3 2
x
思考:如何作正切函数的简图?
正切函数 y tan x 的性质和图像：
{ １.定义域： x | x
２值域：
2
k , k Z }
y
y tan x
R
３周期性： 正切函数是周期函数， 周期是
3.诱导公式：奇变偶不变符号看象限
1.4.3 正切函数的性质和图像
B
（2)我们怎么做出正切函数 在 - ， 内的简图 2 2
一点两线
三点两线
（3）直线y=a与y=tanx的两个相邻的交点间的距离是多少？ （4）正切函数具有怎样的对称性？
x 1 变式 : y 3 tan( ) (1) y 3 tan( x ); 2 4 2 4 1 解 : 原函数可化为 : y 3 tan( x ); 解：令 k x k 2 4 2 2 4 2 1 3 令k x k 2k x 2k 2 2 4 2 2 2
1 y 3 tan( x )递增区间为 : 2 4
数学应用 例3 求下列的单调区间：
1 y 3 tan( x )递减区间为 : 2 4
总结：对于函数 y A t an( x )的单调区间的求解， 应注意哪些方面？
3 ，k z 2k ， 2k 2 2
x
2
3
由图可知：x k , 2 x
6
）
3
2求函数y tan x 1 1 tan x的定义域
y
令k
3
2x
6
k
2
,k z
-
1
2
k k x 2 4 2 3 k k 解集为x / x ,k z 2 4 2 3
5 2
关于原点对称
5 2
3 2
-
O 2 2
3 2
X
f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)
正切函数是奇函数
思考 4 ：结合正切函数的周期性，正切函数的单 调性如何？
课件6：1.4.3 正切函数的性质与图象
所以函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3. 又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象(图略)，得 kπ－2π<x<kπ＋3π(k∈Z)， 所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z.
谢谢观看！
[达标·检测]
1．函数 y＝tan x－π4≤x≤π4且x≠0的值域是(
)
A．[－1，1]
B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
【解析】 根据函数的单调性可得．
【答案】 B
2．函数 f(x)＝tanx＋6π的定义域是________，f6π＝________. 【解析】 由题意知 x＋6π≠kπ＋π2(k∈Z)，即 x≠3π＋kπ(k∈Z)． 故定义域为xx≠kπ＋π3，k∈Z，且 f6π＝tan6π＋π6＝ 3. 【答案】 xx≠kπ＋π3，k∈Z 3
是增函数
π 2.函数 y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是______|ω__| ___．
[题型·探究] 类型 1 正切函数的定义域、值域问题
例 1 (1)函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是________． (2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________． 【自主解答】 (1)要使函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义， 则t1a－n xta＋n 1x≥>00，，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2上满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4. 又因为 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的定义域为x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z.
课件4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数的图象
课后小结
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z，相邻
两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2.正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是x|x≠kπ＋2π，k∈Z，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0) 的周期为|ωπ |.
(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，正切函数无单调函数 y＝3tan(2x＋π4)的定义域是( C ) A．{x|x≠kπ＋π2，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－38π，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π8，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
2.函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为 ( C ) A．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z D．(kπ－π4，kπ＋34π)，k∈Z
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数 y＝tan x 的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π
奇函数 在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z)
内递增
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4， 又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)． 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋4π (k∈Z)．
1.4.3正切函数的性质与图像
例：求函数 y tan( x ) 的定义域、 2
单调区间和最小正周期.
小结：
１、正切函数的性质和图象
２、数形结合的思想方法 作业：
1、课本第46页习题 6、7、8、9 2、（选作）由周期函数定义推导出函数 y tan( x ), ( 0) 的最小正周期
再 见
2
o
2
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
三 点 两 线 法
-
x ， 的简图 想一想：如何快速画出正切函数 y=tanx 2 2
想一想：结合正切函数的周期性 , 如何画出正切函数在整 个定义域内的图象？
正切函数的图象（正切曲线）是被互相平行的直线所 隔开的无穷多支相同形状的曲线组成的。 想一想：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 正切函数会不会在某一区间内是减函数？
思考2：正切函数是周期函数吗？最小正周期 T=_______
正切函数是周期函数，周期是 k（k Z，k 0) 思考3：正切函数具有奇偶性吗？ 正切函数是奇函数
思考4：当角x在 ( 2 , 2 )
内增加时，正切值发生什 么变化?正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间 ( k k 内都是增函数 2
高中数学必修4 1.4.3 正切函数的性质与图象
闫丽丽
嘉峪关市一中
y 正切函数的定义： tan x
正切函数的几何意义：
k , k Z 2
tan AT
y
α的终边
有向线段AT——正切线
1
T
P( x, y)
A（ 1,0）
§1.4.3正切函数的性质和图象
整体代换
2 函数的对称中心为 ( k ,0), k Z 3
函数y A tan(wx )( A 0, w 0)性质归纳
1.定义域： 整体代换
把wx 视为一个整体 整体 , 令wx
y
y tan x
3 2
2
o
2
3 2
x
正切曲线是由被相互平行的的直线 x k ( k Z ) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的
正切函数y=tanx 的性质总结： １.定义域：
{x | x
y
y tan x
2
k , k Z }
２.值域：R ３.周期性： 最小正周期
k y A tan( x )为奇函数 ,k Z 2 y A tan( x )不可能成为偶函数
例1.求函数y tan( x )的定义域, 周期和单调区间 2 3 和对称中心坐标
定义域求法：
整体代换
1 由 x k解得 x 2k , k Z 2 3 2 3 1 函数定义域为 { x | x 2k , k Z } 3 周期求法：
公式法
T 2 函数的周期为 2
, )的图象? 2 2
利用单位圆中的正切线 作出y tan x , x (
作法: (1) 等分 (2) 作正切线 (3) 平移 (4) 连线
o1
y
, )的图象 2 2
1
1[1].4.3正切函数的性质和图象
![1[1].4.3正切函数的性质和图象](https://img.taocdn.com/s3/m/86799fd15fbfc77da269b1ab.png)
x
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
对称轴呢？
3、 求函数y=sin -3x 的单调递增区间。 4 2k 2k 7 k为整数 + , + 3 4 3 12
课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6)
(D)y=tan(x+π/6)
则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.
A
)
②图象关于点(π/6，0)对
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
1.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x 值域：
y
y tan x
2
k , k Z }
R
周期性： 正切函数是周期函数， 周期是
2 2Fra biblioteko 2
2
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
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f ( x ) ta n (
f ( x ) A tan ( x ) ) 2 x 3
2) a n[ x At tan ( ( x( ) ) 2 3
Aa nn ( xx + ) ) t ta ( 2 3
T
（4）利用单位圆中的正切线研究值域；
由正切线可以看到，
y ta n x 在 (
y
2
,
2
)
内可以取任意实数，但没 有最大值、最小值 因此，正切函数的值域是 实数集R
O
x
人人都是人才，人人都可成才
合作探究一
1.画一个周期内正切函数图像 （1）选择一个周期 （ 把单位圆右半圆分成8等份。 （2）利用单位圆作正切线 （3）平移正切线 （4）用光滑的曲线 连接正切线的交叉点 A
上是增函数
人人都是人才，人人都可成才
合作探究二
y
(4) 周期性： T
(5) 奇偶性： 奇函数， 图象关于原点对称。 (6) 对称性： 对称中心：
3 2
P(x,y)
·
2
0
2
3 2
x
不一定在正切曲线上
对称轴： 无
P′ (-x,-y )
·
人人都是人才，人人都可成才
练习提高
由 k x k , k Z
2 2 3 2
解得
5 1 2k x 2k , k Z x 3 3
所以原函数的单调递增区间是
( 5 1 2 k , 2 k ), k Z 3 3
整体思想
人人都是人才，人人都可成才
反思提升
变式：求使不等式 ta n (
（2）从数的角度研究奇偶性；
ta n ( x ) ta n x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x | x k , k Z 2
人人都是人才，人人都可成才
合作探究一
y
（3）利用单位圆中的正切线研究单调性； y
T
x
O
A
O
A
x
y
T
几 何 画 板 演 示
y
T
O
A
x
A
O
x
T
人人都是人才，人人都可成才
整体思想
1 2k , k Z }. 3
所以，原函数的定义域是 { x | x
人人都是人才，人人都可成才
典型例题 例题反思
例2.求函数 y ta n (
解： （周期）
2
x
3
)
的定义域、周期和单调区间。
的周期是
f ( x ) A ta n ( x )( 0 )
0
上是增函数，
0
13 5
) ta n
2 5
tan 167 tan 173
又 0<
ta n ( 11 4
4
<
2 5
<
2
13 5
) ta n (
)
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到 y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性 解决。
例1. 比较下列每组数的大小.
(1)tan167 与tan173 （2）tan(o o
11 4
）与 tan(
11 4
13 5
)
解: 90 167 173 180
0 0 0
0
解 ： ta n （
ta n (
） ta n
4
y tan x在 ， 2
课堂小结
三、课堂小结
一类图像： y ta n x 两种思想：①整体思想 六个性质：
周期性 单调性 奇偶性 对称性
②数形结合思想
四“信”
定义域
值域
二“誉”
人人都是人才，人人都可成才
课后作业
课后练习：
完成学案中的课后作业
人人都是人才，人人都可成才
， ） 2 2
T
2
3 8
， 4 ，8 ，8 ， ，8 4
3
人人都是人才，人人都可成才
合作探究二
2.向左向右扩展得到正切函数图象
3 2
2
3 2
人人都是人才，人人都可成才
合作探究二
4.正切函数y=tanx的性质 3.图象特征
y
（1）间断性： 正切曲线是被相互平行的直线 ⑴ 定义域：
2 2 3 2
解得
5 1 2k x 2k , k Z 3 3
所以原函数的单调递增区间是
( 5 1 2 k , 2 k ), k Z 3 3
人人都是人才，人人都可成才
例题反思
例1.求函数 y ta n (
解： （单调区间）
2
x
3
)
的定义域、周期和单调区间。
.
有时数学也要 大胆猜想
]
(x ff ( x 2 ) )
所以原函数的周期是2.
人人都是人才，人人都可成才
练习提高
练习2：求下列函数 的周期.
(1) y tan 1 2 (2) y 5 tan( 1 2 x，x 2 k ， k Z
T 2
x+
人人都是人才，人人都可成才
复习回顾
2.我们是怎样研究正、余弦函数的性质的？ 图象 性质 3.如何作出正弦函数图像的？
B
y 1
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6 x
人人都是人才，人人都可成才
3
)， 2 k x
5 3
， k Z
T 2
说明：正切函数的周期仅与自变量的系数有关。
人人都是人才，人人都可成才
典型例题
例2.求函数 y ta n (
解： （单调区间）
2
x
3
)
的定义域、周期和单调区间。
由 k x k , k Z
人人都是人才，人人都可成才
练 习 1 : ta n
7 8
与 ta n
6
有时也可看图像
人人都是人才，人人都可成才
典型例题
例2.求函数 y ta n (
（定义域） 解： 自变量x应满足 即
x
2
x
3
3
)
2
的定义域、周期和单调区间。
k , k Z
2
x
1 2k , k Z 3
x 2 k , k Z
{ x | x k , k Z } 2 所隔开的无穷多支曲线组成的。
渐近线
（2）趋势：
3 2
2
0
2
3 2
x (2) 值域： R 在每个开区间上成上升趋势
(3)单调性： 在每一个开区间
(
2
k ,
2
k ), k z
合作探究一
从新的角度看：
（1）从数的角度研究周期性；
（2）从数的角度研究奇偶性； （3）利用单位圆中的正切线研究单调性； （4）利用单位圆中的正切线研究值域；
人人都是人才，人人都可成才
合作探究一
（1）从数的角度研究周期性；
ta n ( x ) ta n x
x | x k , k Z 2
解： 由
k
2 3
2
x
3
) 0 成立x
的值的范围。
2
x
3
2
k , k Z
解得
2k x
1 2k , k Z 3
整体思想 数形结合
所以使不等式成立 x 的值的范围是
2 1 2k , 2k , k Z 3 3
人人都是人才，人人都可成才
合作探究一
2
（3）利用单位圆中的正切线研究单调性（结论）；
( ,
2
) 是 y ta n 的 一个单调递增区间。
2
又周期为 所以 y ta n 在每一个开区间 单调递增， 无单调递减区间。
(
k ,
2
k ), k Z
人人都是人才，人人都可成才
合作探究一
太湖高级中学
蒋萍莉
人人都是人才，人人都可成才
复习回顾
1.正切函数的定义
y
的终边
P(x,y)
定义域:
x | x k , k Z 2
M
x
正切函数是以角为自变量，以角的终边上的点 的比值为函数值的函数，即
ta n y x x 0
的 终 边 不 在 y轴 上