八年级数学上册分式的运算整数指数幂负整数指数幂学案新人教

负整数指数幂（一）
学习目标：
1．知道负整数指数幂n
a
-=
n a
1
（a ≠0，n 是正整数）. 2．掌握负整数指数幂的运算性质. 学习重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学习难点：灵活运用负整数指数幂的运算性质 学习过程： 一、温故知新：
1、正整数指数幂的运算性质是什么?
（1）同底数的幂的乘法： （2）幂的乘方： （3）积的乘方： （4）同底数的幂的除法： （5）商的乘方：
（6）0指数幂，即当a ≠____时，10
=a .
二．探索新知：
1、 在m n a a ÷中，当m =n 时，产生0次幂，即当a ≠0时，10
=a 。

那么当m ＜n 时，会出现怎样的情
况呢？我们来讨论下面的问题： （1）计算：2
5
25
3
555
5--÷== 225
5351
5555
÷==
由此得出：________________。

（2）当a ≠0时，53a a ÷=53-a =2-a 5
3a a ÷=_______=______=
21
a
由此得到 ：________（a ≠0）。

小结：负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，
n a -=n
a
1（a ≠0）. 如1纳米=10- 9
米，即1纳米=______米.
2、 填空（1）24-= ； （2）2
12-⎛⎫- ⎪
⎝⎭
= ___； (3) ()01π+= ； （4）()
1
4--= ；
（5）若m
x =12，则2m
x -=
三、试一试
1、（1）(
)
3
1
2a b -= ； (2) (
)
2
3
2a bc --= ；
2、（1）将(
)()2
3
2
11232x yz x y ---•的结果写成只含有正整数指数幂的形式。

（参考书中例题）
解：
3.计算：
（1）0
1
31122-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （2）10
322006--+- .
（3）用小数表示下列各数
⑴ 5
3.510-⨯ （2）0
1
1123224-⎛⎫⨯+-÷-- ⎪⎝⎭
三、拓展延伸：
1.选择：1、若2
0.3a =-，2
3b -=- ，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0
13d ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
A ．a ＜b ＜c ＜d
B ．b ＜a ＜d ＜ c
C ．a ＜d ＜c ＜ b
D ．c ＜a ＜d ＜b 2、。

已知2
2a -=，(
)
31b =
-，()3
1c =-，则a b c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞ c
B ．b ＞a ＞ c
C ．c ＞a ＞b
D ． b ＞c ＞a 四、反馈检测：1、计算：
（1）(
)
2
3
18312-⎛⎫
--+
+ ⎪⎝⎭
（2）()3
231x y x y --
(3)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----42318521q p q p
（4
）()0
21264
π-÷-+-
2、已知()()03
3852x y -+-+有意义，求x 、y 的取值范围。

3．的值求已知：
n n
m m ;1621,2713=⎪⎭⎫
⎝⎛=
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列运算中，正确的是()
A．(x3)2=x5B．(﹣x2)2=x6C．x3•x2=x5D．x8÷x4=x2
【答案】C
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【详解】A．(x3)2=x6，故此选项错误；
B．(﹣x2)2=x4，故此选项错误；
C．x3•x2=x5，正确；
D．x8÷x4=x4，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查积的乘方运算，同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．如图为某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月平均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（）．
A．6.5，7B．6.5，6.5C．7，7D．7，6.5
【答案】B
【解析】根据统计图可得众数为6.5，
将10个数据从小到大排列：6，6，6.5，6.5，6.5，6.5，7，7.5，7.5，8．
∴中位数为6.5，
故选B．
3．已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B 地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（）
A ．1.2h
B ．1.5h
C ．1.6h
D ．1.8h
【答案】C
【解析】先根据图象求出甲、乙两人的s 与t 的函数关系式，再联立求出交点坐标即可得出答案． 【详解】设甲的s 与t 的函数关系式为s mt a =+ 由图象可知，点(2,0)、(0,12)在s mt a =+的图象上
则2012m a a +=⎧⎨
=⎩，解得6
12m a =-⎧⎨=⎩
故甲的s 与t 的函数关系式为612s t =-+ 设乙的s 与t 的函数关系式为s nt b =+
由图象可知，点(1,0)、(4,12)在s nt b =+的图象上
则0412n b n b +=⎧⎨+=⎩，解得44n b =⎧⎨=-⎩
故乙的s 与t 的函数关系式为44s t =- 联立61244s t s t =-+⎧⎨
=-⎩，解得 1.6
2.4t s =⎧⎨=⎩
即两人在甲出发后相遇所需的时间为1.6h 故选：C ． 【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，依据图象求出甲、乙两人的s 与t 的函数关系式是解题关键． 4．下列分式是最简分式的是（ ）
A ．222a a b
B ．23a a a -
C ．22a b a b ++
D ．222
a a
b a b --
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断； 【详解】解：选项A 中，221
=2a a b ab
，不符合题意，故选项A 错误； 选项B 中，
21
=33
a a a a --，不符合题意，故选项B 错误；
选项C 中，
22a b
a b
++不能约分，符合题意，故选项C 正确； 选项D 中，222
=a ab a
a b a b
--+，不符合题意，故选项D 错误； 故选C. 【点睛】
本题主要考查了最简分式，分式的基本性质，掌握最简分式，分式的基本性质是解题的关键.
5．化简222
2
a b ab b ab ab a
----等于（ ） A ．
b a
B ．
a b
C ．﹣
b a
D ．﹣
a b
【答案】B
【解析】试题分析：原式=22()()a b b a b ab a a b --+-=22a b b ab a -+=222a b b ab ab -+=2a ab =a
b
，故选B ． 考点：分式的加减法．
6．如图，直线l 1∥l 2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．65°
D ．60°
【答案】A
【详解】解：如图，∵直线l 1∥l 2，∠1=140°，
∴∠1=∠4=140°，∴∠5=180°﹣140°=40°． ∵∠2=70°，∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°． ∵∠3=∠6，∴∠3=70°． 故选A ．
7．如图，ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，50A ∠=︒，则BOC ∠等于（ ）
A ．110︒
B ．115︒
C ．120︒
D ．130︒
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数． 【详解】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°， ∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，
11
,22
OBC ABC OCB ACB ∴∠=
∠∠=∠, 11
()1306522
OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=
∠+⨯︒∠==︒ ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-65°=115°． 故选：B ． 【点睛】
本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理．本题中是将∠OBC+∠OCB 看成一个整体求得的，掌握整体思想是解决此题的关键．
8．如图，在ABC 中，9AB =， 15BC =，12AC =．沿过点D 的直线折叠这个三角形，使点A 落在BC 边上的点E 处，折痕为CD ．则BDE 的周长是（ ）
A ．15
B ．12
C ．9
D ．6
【答案】B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断△ABC 是直角三角形，从而可得B 、E 、C 三点共线，然后根据折叠的性质可得AD=ED ，CA=CE ，于是所求的BDE 的周长转化为求AB+BE ，进而可得答案． 【详解】解：在ABC 中，∵22222291222515AB AC BC +=+===， ∴ABC 是直角三角形，且∠A=90°，
∵沿过点D 的直线折叠这个三角形，使点A 落在BC 边上的点E 处，折痕为CD ， ∴B 、E 、C 三点共线，AD=ED ，CA=CE ， ∴BE=BC －CE=15－1=3，
∴BDE 的周长=BD+DE+BE=BD+AD+3=AB+3=9+3=1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和折叠的性质，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 9．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．2a 2﹣4a=a （2a ﹣4）
B ．()2
22
2a ab b a b -+-=--
C ．2x 3y ﹣3x 2y 2+x 2y=x 2y （2x ﹣3y ）
D ．x 2+y 2=（x+y ）2
【答案】B
【分析】根据因式分解的方法对各式进行判断即可得出答案． 【详解】A 、2a 2-4a=2a （a-2），故此选项错误； B 、-a 2+2ab-b 2=-（a-b ）2，此选项正确；
C 、2x 3y-3x 2y 2+x 2y=x 2y （2x-3y+1），故此选项错误；
D 、x 2+y 2无法分解因式，故此选项错误； 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
10．如图，△ABC 中，点D 为BC 上一点，且AB ＝AC ＝CD ，则图中∠1和∠2的数量关系是（ ）
A ．2∠1+3∠2＝180°
B ．2∠1+∠2＝90°
C ．2∠1＝3∠2
D ．∠1+3∠2＝90°
【答案】A
【分析】先根据AB ＝AC ＝CD 可求出∠2＝∠C ，∠ADC ＝∠CAD ，再根据三角形内角和定理可得2∠ADC ＝180°﹣∠C ＝180°﹣∠2，由三角形内角与外角的性质可得∠ADC ＝∠1+∠2，联立即可求解． 【详解】解：∵AB ＝AC ＝CD ， ∴∠2＝∠C ，∠ADC ＝∠CAD ，
又∵2∠ADC ＝180°﹣∠C ＝180°﹣∠2，∠ADC ＝∠1+∠2，
∴2（∠1+∠2）＝180°﹣∠2，
即2∠1+3∠2＝180°．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、三角形内角与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理、三角形内角与外角的性质.
二、填空题
11．如下图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，AD＝DC，则∠BCD的度数为______．
【答案】10°
【分析】由余角的性质，得到∠ACB=50°，由AD=DC，得∠ACD=40°，即可求出∠BCD的度数．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB=50°，
∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=50°-40°=10°；
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了等边对等角求角度，余角的性质解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质和余角的性质进行解题．
12．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A=___度．
【答案】10.
【解析】试题解析：设∠A=x．
∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得
∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，
则180°-5x=130°，
解，得x=10°．
则∠A=10°．
13．二次三项式()2
459x k x --+是完全平方式,则k 的值是__________．
【答案】17或-7
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 【详解】解：∵二次三项式4x 2-（k-5）x+9是完全平方式， ∴k-5=±12， 解得：k=17或k=-7， 故答案为：17或-7 【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，3ACB B ∠=∠，CE AD ⊥，8AC =，7
4
BC BD =
，则CE =__________．
【答案】
43
【分析】根据题意延长CE 交AB 于K ，由 CE AD ⊥，AD 平分BAC ∠，由等腰三角形的性质，三线合一得8AK AC ==，利用角平分线性质定理，分对边的比等于邻边的比，结合外角平分性质和二倍角关系可得．
【详解】如图，延长CE 交AB 于K ，
CE AD ⊥，AD 平分BAC ∠，等腰三角形三线合一的判定得
8AC AK ∴==，ACK AKC ∠=∠，
AC CD
AB DB
∴
=， 7
4BC BD =，
34CD BD ∴=，
323AB ∴=， 83KB ∴=， 3ACB B ∠=∠，
KCB B ∴∠=∠， 83
KC KB ==， 1423
CE KC ==， 故答案为：43．
【点睛】
考查了三线合一判定等腰三角形，等腰三角形的性质，角平分线定理，外角的性质，以及二倍角的角度关系代换，熟记几何图形的性质，定理，判定是解题的关键．
15．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
【答案】48°
【分析】将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．16．用不等式表示x的3倍与5的和不大于10是____________________；
【答案】3x+5≤1
【分析】直接利用x的3倍，即3x，与5的和，则3x+5，进而小于等于1得出答案．
【详解】解：由题意可得：3x+5≤1．
故答案为：3x+5≤1．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形的高，垂足为D、E，若∠CAD=20°，则∠BCE=_____．
【答案】20°．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据高线的定义以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD是三角形的高，
∴∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC
18040
2
︒-︒
==70°．
∵CE是三角形的高，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
三、解答题
18．如图所示，在ABC ∆中，38A ∠=，70ABC ∠=，CD AB ⊥于点D ，CE 平分ACB ∠，DF CE ⊥于点F ，求CDF ∠的度数．
【答案】74︒
【分析】先根据三角形内角和定理计算ACB ∠，再利用角平分线定义计算ECB ∠，然后根据直角三角形两锐角互余计算DCB ∠，进而计算出FCD ECB DCB =-∠∠∠，最后根据直角三角形两锐角互余计算CDF ∠．
【详解】∵在ABC 中，38A ∠=︒，70ABC ∠=︒
∴18072ACB A ABC =︒--=︒∠∠∠
∵CE 平分ACB ∠ ∴1362
ECB ACB ==︒∠∠ ∵CD AB ⊥于点D
∴90CDB ∠=︒
∴在CDB △中，9020DCB ABC =︒-=︒∠∠
∴362016FCD ECB DCB =-=︒-︒=︒∠∠∠
∵DF CE ⊥于点F
∴9074CDF FCD =︒-=︒∠∠
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和为180︒及直角三角形两锐角互余，将未知角转化为已知角并向要求解的角靠拢是解题关键．
19．先化简后求值：当3m =时，求代数式
221211•()()22111m m m m m m m +---+-+的值． 【答案】12
【分析】先根据分式的运算法则进行化简,再代入已知值计算即可. 【详解】解:
221211•()()22111m m m m m m m +---+-+\
=()()()()
2214•211211m m m m m m m +---++ =()()()()
122111m m m m m --+-+ =()()
1212m m m -+- =()()()
1211m m m -+- =
21m + 当3m =时,原式=
21m +=12
【点睛】 考核知识点:分式化简求值.根据分式运算法则化简分式是关键.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，0），B （2，-3），C （4，-2）．
（1）画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A 1B 1C 1；
（2）画出△A 1B 1C 1向左平移3个单位长度后得到的△A 2B 2C 2；
（3）如果AC 上有一点P （m ，n ）经过上述两次变换，那么对应A 2C 2上的点P 2的坐标是______．
【答案】 (1)作图见解析；（2）作图见解析；（3）（m ﹣3，﹣n ）．
【解析】（1）直接利用关于x 轴对称点的性质得出答案；
（2）利用平移规律，找出对应点的位置，顺次连接即可.
（3）接利用平移变换的性质得出点P 2的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：△A 1B 1C 1就是所要求作的图形、
（2）△A 2B 2C 2就是所要求作的图形；
（3）如果AC 上有一点P(m,n)经过上述两次变换,那么对应A 2C 2上的点P 2的坐标是：()23,.P m n -- 故答案为(m−3,−n).
【点睛】
考查了轴对称变换以及平移变换，正确找出对应点是解题的关键.
21．如图，点C 、E 、B 、F 在一条直线上，AB ⊥CF 于B ，DE ⊥CF 于E ，AC=DF ，AB=DE ．求证：
CE=BF ．
【答案】见解析
【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），则BC=EF ，即CE=BF ．
【详解】证明：∵AB ⊥CD ，DE ⊥CF ，
∴∠ABC=∠DEF=90°．
在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，
，
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）．
∴BC=EF ．
∴BC ﹣BE=EF ﹣BE ．
即：CE=BF ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （直角三角形）．判
定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22．已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC ＝OD ，E ，F 为AB 上两点，且AE ＝BF ，求证：
CE＝DF．
【答案】见解析
【分析】先根据AAS证明△AOC≌△BOD，得到AC=BD，再根据SAS证明△AEC≌△BFD，可证明CE=DF．
【详解】证明：∵AC∥DB
∴∠A＝∠B
在△AOC和△BOD中
∵
AOC BOD
A B
OC0D
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△AOC≌△BOD(AAS) ∴AC＝BD
在△AEC和△BFD中
∵
AC BD
A B AE BF
=
⎧
⎪
∠=∠⎨
⎪=
⎩
∴△AEC≌△BFD(SAS)
∴CE＝DF
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
23．数学课上有如下问题：
如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为斜边在同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，
点P是线段AB上一个动点（不与A、B、C重合），连接PD，作∠DPQ＝90°，PQ交直线
．．CE于点Q．
（1）如图1，点P 在线段AC 上，求证：PD ＝PQ ；
（2）如图2，点P 在线段BC 上，请根据题意补全图2，猜想线段PD 、PQ 的数量关系并证明你的结论． 小明同学在解决问题（1）时，提出了这样的想法：如图3，先过点P 作PF ⊥AC 交CD 于点F ，再证明△PDF ≌△PQC ……
请你结合小明同学的想法，完成问题（1）（2）的解答过程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先过点P 作PF ⊥AC 交CD 于点F ，再证明△PDF ≌△PQC 即可得到结论；
（2）过点P 作PF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ，再证明△PDC ≌△PQF 即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点P 作PF ⊥AC 交CD 于点F ，如图，
∵△ACD 和△BCE 均为等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCE=45°，
∴∠PFC=45°，PF=PC
∴∠PFD=135°，∠PCQ=180°-45°=135°，
∴∠PFD=∠PCQ
∵DP ⊥PQ ，PF ⊥PC
∴∠DPF+∠FPQ=∠CPQ+∠QPF=90°，
∴∠DPF=∠QPC ，
在△DPF 和△QPC 中，
DFP QCP
PF PC
DPF QPC
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DPF ≌△QPC
∴PD=PQ ；
（2）过点P 作PF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ，如图，
方法同（1）可证明：△PDC≌△PQF，
∴∴PD=PQ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
24．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500 m，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
【答案】（1）s＝
50(020)
1000(2030
50-5003060
t t
t
t t
≤≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≤
⎩
）
（）
；（2）37.5；（3）小明在步行过程中停留的时间需减少5 min
【解析】试题分析：（1）根据函数图形得到0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤60时，小明所走路程s与时间t 的函数关系式；
（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；
（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．
试题解析：解：（1）s=
50?(020) 1000?(2030) 50500?(3060)
t t
t
t t
≤≤
⎧
⎪
<≤
⎨
⎪-<≤
⎩
；
（2）设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为：s=kt+b ，则251000250
k b b +=⎧⎨=⎩，解得，30250k b =⎧⎨=⎩
，则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，当50t ﹣500=30t+250，即t=37.5min 时，小明与爸爸第三次相遇；
（3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min ，
∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴小明希望比爸爸早20min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min ．
25．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝﹣12
x+4的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C （m ，3），过动点M （n ，0）作x 轴的垂线与直线l 1和l 2分别交于P 、Q 两点．
（1）求m 的值及l 2的函数表达式；
（2）当PQ≤4时，求n 的取值范围；
（3）是否存在点P ，使S △OPC ＝2S △OBC ？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m=2，l 2的解析式为y ＝32
x ；（2）0≤n≤4；（3）存在，点P 的坐标(6，1)或(-2，5)． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）由l 2与l 1的函数解析式，可设P (n ，﹣
12n+4)，Q (n ，32n )，结合PQ≤4，列出关于n 的不等式，进而即可求解；
（3）设P (n ，﹣12
n+4)，分两种情况：①当点P 在第一象限时，②当点P 在第二象限时，分别列关于n 的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）把C (m ，3)代入一次函数y ＝﹣
12x+4，可得：3＝﹣12m+4，解得：m ＝2， ∴C (2，3)，
设l 2的解析式为y ＝ax ，则3＝2a ，解得a ＝
32， ∴l 2的解析式为：y ＝32
x ； （2）∵PQ ∥y 轴，点M (n ，0)，
∴P(n，﹣1
2
n+4)，Q(n，
3
2
n)，
∵PQ≤4，
∴|3
2
n+
1
2
n﹣4|≤4，解得：0≤n≤4，
∴n的取值范围为：0≤n≤4；（3）存在，理由如下：
设P(n，﹣1
2
n+4)，
∵S△OBC=1
2
×4×2=4，S△OPC＝2S△OBC，
∴S△OPC=8，
①当点P在第一象限时，∴S△OBP=4+8=12，
∴1
2
×4n＝12，
解得：n＝6，
∴点P的坐标(6，1)，②当点P在第二象限时，∴S△OBP=8-4=4，
∴1
2
×4(-n)＝4，解得：n＝-2，
∴点P的坐标(-2，5)．
综上所述：点P的坐标(6，1)或(-2，5)．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象和性质与几何图形的综合，掌握待定系数法以及一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC ＝42°，∠A ＝60°，则∠BFC 的度数为( )
A ．118°
B ．119°
C ．120°
D ．121°
【答案】C 【解析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD 是∠B、∠C 的平分线， ∴∠CBE=
12∠ABC，∠BCD=12
∠BCA， ∴∠CBE+∠BCD=12（∠ABC+∠BCA）=60°， ∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选C ．
2．对于一次函数y ＝x ＋1的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大；
B ．函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0）；
C ．函数图象经过第一、二、三象限；
D ．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为12
． 【答案】B
【分析】由一次函数图像的性质可知：一次函数y ＝x ＋1中，11k b ==，，可判断A 、C ，把00
x y ==，分别代入一次函数即可判断B 、D ．
【详解】∵一次函数y ＝x ＋1，
∴11k b ==，，
∴函数为递增函数，
∴y 随x 的增大而增大，A 正确；
令0y =，得：1x =-，
∴函数图象与x 轴的交点坐标为()10
-，， ∴B 不正确；
∵11k b ==，，
∴函数图象经过第一、二、三象限，
∴C 正确；
令0x =，得：1y =， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：1122⨯⨯
=S=11， ∴D 正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解答本题的关键．
3．若m n >，则下列不等式正确的是（ ）
A ．22m n -<-
B ．33m n >
C ．44m n <
D ．55m n ->- 【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：∵m ＞n ，∴m-2＞n-2，∴选项A 不符合题意；
∵m ＞n ，∴33
m n >，∴选项B 符合题意； ∵m ＞n ，∴4m ＞4n ，∴选项C 不符合题意；
∵m ＞n ，∴-5m ＜-5n ，∴选项D 不符合题意；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4．如图,一次函数11y k x b =+,的图象1l 与22y k x b =+的图象2l 相交于点P ,则方程组1112
22y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是（ ）
A ．23x y =-⎧⎨=⎩
B ．32x y =⎧⎨=-⎩
C ．23x y =⎧⎨=⎩
D ．23x y =-⎧⎨=-⎩
【答案】A
【分析】根据图象求出交点P 的坐标，根据点P 的坐标即可得出答案．
【详解】解：∵由图象可知：一次函数y=k 1x+b 1的图象l 1与y=k 2x+b 2的图象l 2的交点P 的坐标是（-2，3），
∴方程组111222y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是23x y =-⎧⎨=⎩
， 故选A.
【点睛】
本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
5．下列各式是最简分式的是（ ）
A ．22
24(2)
x y x y -+ B ．22x y x y ++ C ．3
29xy x - D ．221
x x x +- 【答案】B
【分析】依次化简各分式，判断即可. 【详解】A 、()()22222242(2)(2)2x y x y x y x y x y x y x y
+---==+++，选项错误； B 、22
x y x y
++无法再化简，选项正确； C 、322299xy y x x
-=-，选项错误； D 、()()()2211111
x x x x x x x x x ++==-+--，选项错误； 故选B.
【点睛】
本题是对最简分式的考查，熟练掌握分式化简是解决本题的关键.
6．如图，OP 平分∠BOA ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．PC=PD
B ．OC=OD
C ．OC=OP
D ．∠CPO=∠DPO
【答案】C 【分析】已知OP 平分∠BOA ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，根据角平分线的性质定理可得PC=PD ，在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，利用HL 定理判定Rt △ODP ≌Rt △OCP ，根据全等三角形的性质可得OC=OD ，∠CPO=∠DPO ，由此即可得结论.
【详解】∵OP 平分∠BOA ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，
∴PC=PD （选项A 正确），
在Rt △ODP 和Rt △OCP 中，
DP CP OP OP =⎧⎨=⎩
∴Rt △ODP ≌Rt △OCP ，
∴OC=OD ，∠CPO=∠DPO （选项B 、D 正确），
只有选项C 无法证明其正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质，证明Rt △ODP ≌Rt △OCP 是解决本题的关键.
7．下列图形具有稳定性的是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
【答案】A
【分析】由题意根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：具有稳定性的图形是三角形．
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形具有稳定性，是基础题，难度小，需熟记．
8．已知当2x =时，分式
2x a x b +-的值为0，当1x =时，分式2x a x b +-无意义，则a -b 的值为（ ） A ．4
B ．－4
C ．0
D ．14 【答案】B
【分析】根据题意可得，当2x =时，分子0x a +=，当1x =时，分母20x b -=，从而可以求得a 、b 的值，本题得以解决． 【详解】解：当2x =时，分式2x a x b
+-的值为0，当1x =时，分式无意义， ∴20210a b +=⎧⎨⨯-=⎩
， 解得，22a b =-⎧⎨=⎩
， 224a b ∴-=--=-，
故选B ．
【点睛】
本题考查分式的值为零的条件、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值． 9．已知点P （1+m ，3）在第二象限，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m <-
B ．1m >-
C ．1m ≤-
D ．1m ≥-
【答案】A
【分析】令点P 的横坐标小于0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵点P P （1+m ，3）在第二象限，
∴1+m ＜0，
解得： m ＜-1．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
10．下列各命题是真命题的是（ ）
A ．如果2²a b =，那么a b =
B ．0.3，0.4，0.5是一组勾股数
C ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D ．三角形的任意两边之和大于第三边
【答案】D
【分析】逐一判定各项，正确则为真命题，错误则为假命题.
【详解】A 选项，如果22a b =，那么a 不一定等于b ，假命题；
B 选项，()()()222
0.30.40.5+≠，不是勾股数，假命题；
C 选项，两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，假命题；
D 选项，三角形的任意两边之和大于第三边，真命题；
故选：D .
【点睛】
此题主要考查真命题的判断，熟练掌握，即可解题.
二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是_______．
【答案】（﹣1，0）
【详解】解：由三角形两边之差小于第三边可知，
当A 、B 、P 三点不共线时，由三角形三边关系|PA ﹣PB|＜AB ；
当A 、B 、P 三点共线时，∵A （0，1），B （1，2）两点都在x 轴同侧，∴|PA ﹣PB|=AB ．
∴|PA ﹣PB|≤AB ．
∴本题中当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 在直线AB 上．
设直线AB 的解析式为y=kx+b ， ∵A （0，1），B （1，2），∴k b 2{b 1+==，解得k 1{b 1
==． ∴直线AB 的解析式为y=x+1．
令y=0，得0=x+1，解得x=﹣1．
∴点P 的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
12．如图，直线1l :1y x =+与直线2l :(0)y mx n m =+≠相交于点P （1，2），则关于x 的不等式x+1＞mx+n 的解集为____________．
【答案】x>1
【分析】当x+1＞mx+n 时，直线1l 在直线2l 的上方，根据图象即可得出答案.
【详解】当x+1＞mx+n 时，直线1l 在直线2l 的上方，
根据图象可知，当直线1l 在直线2l 的上方时，x 的取值范围为x>1，所以x 的不等式x+1＞mx+n 的解集为x>1
故答案为：x>1.
【点睛】
本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键.
13．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A ，B ，其中A 的位置可以表示成（60°，6），那么B 可以表示为____________，A 与B 的距离为____________
【答案】(150,4)︒ 213
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．
【详解】∵（a ，b ）中，b 表示目标与探测器的距离；a 表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度， ∴B 可以表示为(150,4)︒．
∵A 、B 与雷达中心的连线间的夹角为150°-60°=90°，
∴2264+213故填：(1). (150,4)︒ (2). 213【点睛】
本题考查了坐标确定位置，解题时由已知条件正确确定A 、B 的位置及勾股定理的应用是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，BD ∥AC ，BD=AB ，且C ，D 两点位于AB 所在直线两侧，射线AD 上的点E 满足∠ABE=60°．
（1）∠AEB=___________°；
（2）图中与AC 相等的线段是_____________，证明此结论只需证明△________≌△_______．
【答案】45 BE ABC BDE
【分析】（1）由平行线和等腰三角形的性质得出∠BDA=∠BAD=75°，求出∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）证出△ABC ≌△BDE （AAS ），得出AC=BE ；即可得出答案．
【详解】解：（1）∵BD ∥AC ，
∴∠ABD=∠BAC=30°， ∵BD=AB ，
∴∠BDA=∠BAD=
12
（180°-30°）=75°， ∵∠ABE=60°， ∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°，
∴∠AEB=∠ADB-∠DBE=75°-30°=45°；
故答案为：45°；
（2）在△ABC 和△BDE 中，
3045BAC DBE ACB BED AB BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△BDE （AAS ），
∴AC=BE ；
故答案为：BE ，ABC ，BDE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.
【详解】解：如下图所示，
AFG 是等腰直角三角形，
∴45FAG BAC ∠=∠=︒，
∴BAC DAE ∠>∠．
故答案为.>
另：此题也可直接测量得到结果．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.
16．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为_____．
【答案】11cm 或7.5cm
【解析】试题解析：：①11cm 是腰长时，腰长为11cm ，
②11cm 是底边时，腰长=12
（26-11）=7.5cm ， 所以，腰长是11cm 或7.5cm ．
17．如图：点C 在AB 上，DAC ∆、EBC ∆均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，则下列结论①AE DB = ②CM CN = ③CMN ∆为等边三角形 ④//BC MN 正确的是______（填出所有正确的序号）
【答案】①②③④
【分析】利用等边三角形的性质得CA ＝CD ，∠ACD ＝60°，CE ＝CB ，∠BCE ＝60°，所以∠DCE ＝60°，∠ACE ＝∠BCD ＝120°，则利用“SAS”可判定△ACE ≌△DCB ，所以AE ＝DB ，∠CAE ＝∠CDB ，则可对①进行判定；再证明△ACM ≌△DCN 得到CM ＝CN ，则可对②进行判定；然后证明△CMN 为等边三角形得到∠CMN ＝60°，则可对③④进行判定．
【详解】解：∵△DAC 、△EBC 均是等边三角形，
∴CA ＝CD ，∠ACD ＝60°，CE ＝CB ，∠BCE ＝60°，
∴∠DCE ＝60°，∠ACE ＝∠BCD ＝120°，
在△ACE 和△DCB 中AC CD ACE DCB EC BC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴AE ＝DB ，所以①正确；
∵△ACE ≌△DCB ，
∴∠MAC=∠NDC ，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠MCA=∠DCN=60°，
在△ACM 和△DCN 中MAC NDC CA CD ACM DCN ∠∠∠⎧⎪⎪⎩
∠⎨＝＝＝，
∴△ACM ≌△DCN （ASA ），
∴CM ＝CN ，所以②正确；
∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，
∴△CMN 为等边三角形，故③正确，
∴∠CMN ＝60°，
∴∠CMN ＝∠MCA ，
∴MN ∥BC ，所以④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，也考查了等边三角形的判定与性质．
三、解答题
18．（1）计算：()()
3232342132392xy x x xy y x y ⎡⎤-⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣⎦； （2）先化简，再求值： ()()()2223x y x y x y x ++-+-，其中20182x =，201912y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．
【答案】（1）83x xy -；（2）xy ，12 【分析】(1)先根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算，再根据多项式除单项式的运算法则计算即可； (2)根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项化成最简式，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】(1)()()3232342132392xy x x xy y x y ⎡
⎤-⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣⎦
332242*********x x x y x x y y y ⎡⎤=⋅-⋅⋅÷⎢⎥⎣
⎦ 5104252(27)99x y y y x x =-÷
52425104292799x y x y x y x y =÷-÷
83y x x =-；
(2)()()()2
223x y x y x y x ++-+- 222222223x xy xy y y x x x y =++---++
xy =，
当20182x =，201912y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
时， 原式201920182018201820182018111111122212222222
⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19． “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】（4）A 文具为4只，B 文具60只；（4）各进50只，最大利润为500元．
【解析】试题分析：（4）设A 文具为x 只，则B 文具为（400﹣x ）只，根据题意列出方程解答即可；。