2020年中考数学一轮复习考点讲义及练习：实数的运算(含答案)
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实数的运算
基础知识过关
1．有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘法______，加法结合律，乘法______， 乘法______．
2．混合运算时，要先算乘方、开方，再算______，最后算______；有括号的，先算括号里面的．同 一级运算，要______运算．
3．二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把______合并．
5
【试题】计算：|–3|+（–1）2019×（π–3）0
1 2
3
．
【好题变式练】 1．【2019 重庆月考】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为 7 的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．【2019 四川中考】计算：
3
【试题】【2019 湖南月考】定义运算“ ”：ಘ ಘ
，如 ，则
则
A．
B．
C．
D．
，
【好题变式练】
1．【2019 河北月考】对于实数 ಘ， ，定义运算“◎”：ಘ◎
ಘ ಘ
ಘ ಘಘ
例如：
◎，因为
，
所以 ◎ ．若 是一元二次方程
的两个根，则 ◎ 等于
【好题变式练】
1．比较大小： ________ ；________
2．若
，则 ， ， 的大小关系是________．
要点归纳
实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小． （2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值小的较大． （3）设 a,b 是任意两实数． 【考向 03】定义新运算
8
数： ，第六个数： ，即可推出第
个数为 ．故选 B．
8．D【解析】根据题意可得， ；
；
故
．故选 D．
9．【解析】௸ ௸
．
sin
cos
；…
9
如 ，
．则 ሾ
等于
A．
B．
C．
D．
6．定义新运算“*”如下：当 ಘ 则 的值为
时，ಘ ಘ
，当 ಘ 时，ಘ ಘ ಘ，若
．例 ，
A． ， ， 或
B． 或
C． 或 D． 或
7．有一组按规律排列的数： ， ， ， ， ， ，…，第
个数应是
A．
B．
【中考真题】
【2019 山东】
π
cos
1
精选好题
【考向 01】平方根与立方根、二次根式 【试题】【2019 云南月考】若 是 的算术平方根，则 ________．
【好题变式练】
1．【2019 四川月考】若一个正数的平方根是 ಘ 和 ಘ ，则这个正数是________．
2．已知 ಘ
，那么ಘ
C．
或
D．
2．已知 ಘ， 为实数，B．
C．
3．在 ， ， ， 这个四个数中，最大的数是
A．
B．
C．
的值是 D．
D．
4．设 ಘ ，则 ಘ、 的大小关系是
A．ಘ
B．ಘ
C．ಘ
D．以上三种都不对
5 ． 【 2019 贵 州 月 考 】 定 义 ： ಘ ಘ ，
A．
B．
C．
D．
2．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数 ，计算
得ಘ ；第二步：算出ಘ
的各位数字之和得 ，计算 以此类推，则ಘ ________．
得ಘ ；第三步：算出ಘ 的各位数字之和得 ，计算
得ಘ；…，
要点归纳
数字规律问题 （1）基本方法：看增幅； （2）基本技巧：①标出序列号；②公因式法；③有的可对每位数同时加上，或减去， 【考向 05】实数的混合运算
A．
B．
C．
D．
2．规定一种新的运算： ★
，如 ★
，则 ★ 的值为________.
要点归纳
定义新运算 （1）定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． （2）定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减 乘除符号是不一样的．
【考向 04】数字规律问题
________．
2
要点归纳
正负数的实际意义
（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0 的平方根是 0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若
，则 b 叫做 a 的立方根．
【考向 02】实数的大小比较
【试题】下列四个式子：①
；②
其中大小关系正确的式子的个数是
A． 个
B． 个
；③
；④
C． 个
． D． 个
ಘ
，∵ಘ ，∴ಘ ．故选 A．
5．A【解析】根据定义，
，所以 ሾ
．故选 A．
6．C【解析】①当
，即 时，
，
解得： 或 ，∵ ，∴ 及 ，均舍去；
②当
，即 时，
，
解得： 或 ，均满足 ，符合题意．故选 C． 7．B 根据题意可知第一个数： ，第二个数： ，第三个数： ，第四个数： ，第五个
【试题】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把 1，4，9，16…这 样的数称为“正方数”．从图中可以发现，任何一个大于 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数” 之和．下列等式中，符合这一规律的是
4
A． C．
B． D．
【好题变式练】
1．观察数列 、 、 、 、 、 、 …，则 的值为
，
∴ 的立方根与 的平方根之和为
.故选 C．
2．C【解析】 ಘ 所以， ಘ ，
可化为 ಘ ，解得 ಘ ， ，
，
所以，ಘ
．故选 C．
3．C【解析】根据负数都小于 ，正数都大于 ，且 选 C．
，得
，∴最大的数是 ，故
4．A【解析】先求出 ಘ 除以 所得的商，再根据商与 的关系确定 ಘ 与 的大小关系．
C．
D．
8．连接边长为 的正方形对边中点，可将一个正方形分成 个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第 二次操作，又可将这个长方形分成 个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想
的值等于
7
A．
B．
C．
D．
9．计算：௸ ௸
sin
cos
．
参考答案
过关斩将
1．C【解析】
，∴ 的平方根为
π
cos ௸
௸．
要点归纳
实数的混合运算 （1）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、乘法交 换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律． （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算
过关斩将
1． 的立方根与 的平方根之和为
6
A． 或
B． 或
基础知识过关
1．有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘法______，加法结合律，乘法______， 乘法______．
2．混合运算时，要先算乘方、开方，再算______，最后算______；有括号的，先算括号里面的．同 一级运算，要______运算．
3．二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把______合并．
5
【试题】计算：|–3|+（–1）2019×（π–3）0
1 2
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．
【好题变式练】 1．【2019 重庆月考】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为 7 的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．【2019 四川中考】计算：
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【试题】【2019 湖南月考】定义运算“ ”：ಘ ಘ
，如 ，则
则
A．
B．
C．
D．
，
【好题变式练】
1．【2019 河北月考】对于实数 ಘ， ，定义运算“◎”：ಘ◎
ಘ ಘ
ಘ ಘಘ
例如：
◎，因为
，
所以 ◎ ．若 是一元二次方程
的两个根，则 ◎ 等于
【好题变式练】
1．比较大小： ________ ；________
2．若
，则 ， ， 的大小关系是________．
要点归纳
实数的大小比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小． （2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值小的较大． （3）设 a,b 是任意两实数． 【考向 03】定义新运算
8
数： ，第六个数： ，即可推出第
个数为 ．故选 B．
8．D【解析】根据题意可得， ；
；
故
．故选 D．
9．【解析】௸ ௸
．
sin
cos
；…
9
如 ，
．则 ሾ
等于
A．
B．
C．
D．
6．定义新运算“*”如下：当 ಘ 则 的值为
时，ಘ ಘ
，当 ಘ 时，ಘ ಘ ಘ，若
．例 ，
A． ， ， 或
B． 或
C． 或 D． 或
7．有一组按规律排列的数： ， ， ， ， ， ，…，第
个数应是
A．
B．
【中考真题】
【2019 山东】
π
cos
1
精选好题
【考向 01】平方根与立方根、二次根式 【试题】【2019 云南月考】若 是 的算术平方根，则 ________．
【好题变式练】
1．【2019 四川月考】若一个正数的平方根是 ಘ 和 ಘ ，则这个正数是________．
2．已知 ಘ
，那么ಘ
C．
或
D．
2．已知 ಘ， 为实数，B．
C．
3．在 ， ， ， 这个四个数中，最大的数是
A．
B．
C．
的值是 D．
D．
4．设 ಘ ，则 ಘ、 的大小关系是
A．ಘ
B．ಘ
C．ಘ
D．以上三种都不对
5 ． 【 2019 贵 州 月 考 】 定 义 ： ಘ ಘ ，
A．
B．
C．
D．
2．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数 ，计算
得ಘ ；第二步：算出ಘ
的各位数字之和得 ，计算 以此类推，则ಘ ________．
得ಘ ；第三步：算出ಘ 的各位数字之和得 ，计算
得ಘ；…，
要点归纳
数字规律问题 （1）基本方法：看增幅； （2）基本技巧：①标出序列号；②公因式法；③有的可对每位数同时加上，或减去， 【考向 05】实数的混合运算
A．
B．
C．
D．
2．规定一种新的运算： ★
，如 ★
，则 ★ 的值为________.
要点归纳
定义新运算 （1）定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． （2）定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减 乘除符号是不一样的．
【考向 04】数字规律问题
________．
2
要点归纳
正负数的实际意义
（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0 的平方根是 0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若
，则 b 叫做 a 的立方根．
【考向 02】实数的大小比较
【试题】下列四个式子：①
；②
其中大小关系正确的式子的个数是
A． 个
B． 个
；③
；④
C． 个
． D． 个
ಘ
，∵ಘ ，∴ಘ ．故选 A．
5．A【解析】根据定义，
，所以 ሾ
．故选 A．
6．C【解析】①当
，即 时，
，
解得： 或 ，∵ ，∴ 及 ，均舍去；
②当
，即 时，
，
解得： 或 ，均满足 ，符合题意．故选 C． 7．B 根据题意可知第一个数： ，第二个数： ，第三个数： ，第四个数： ，第五个
【试题】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把 1，4，9，16…这 样的数称为“正方数”．从图中可以发现，任何一个大于 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数” 之和．下列等式中，符合这一规律的是
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A． C．
B． D．
【好题变式练】
1．观察数列 、 、 、 、 、 、 …，则 的值为
，
∴ 的立方根与 的平方根之和为
.故选 C．
2．C【解析】 ಘ 所以， ಘ ，
可化为 ಘ ，解得 ಘ ， ，
，
所以，ಘ
．故选 C．
3．C【解析】根据负数都小于 ，正数都大于 ，且 选 C．
，得
，∴最大的数是 ，故
4．A【解析】先求出 ಘ 除以 所得的商，再根据商与 的关系确定 ಘ 与 的大小关系．
C．
D．
8．连接边长为 的正方形对边中点，可将一个正方形分成 个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第 二次操作，又可将这个长方形分成 个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想
的值等于
7
A．
B．
C．
D．
9．计算：௸ ௸
sin
cos
．
参考答案
过关斩将
1．C【解析】
，∴ 的平方根为
π
cos ௸
௸．
要点归纳
实数的混合运算 （1）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、乘法交 换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律． （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算
过关斩将
1． 的立方根与 的平方根之和为
6
A． 或
B． 或