2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案20

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题
Word 版含答案
一、选择题
1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
2．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（ ）
A.
3．“221a b >>> ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．设12
log 3a =， 0.2
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1
32c =，则a b c 、、的大小顺序为（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b a c << 5．用数学归纳法证明： ()
*
1
111,22
3
21
n
n n N n +++
+
<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（ ） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k
6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥
8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（ ） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞
9．已知函数()()4
,2x f x x g x a x
=+=+，若[]121,3,2,32
x x ⎡⎤
∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得
()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a ≤
B. 1a ≥
C. 0a ≤
D. 0a ≥
10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，
()()0f x f x x
+
'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）
A. a c b <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. c a b <<
11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，
()()
()()4
10f x f x f x +=
≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（ ） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ<
C. ()()sin cos f f αβ=
D. 以上情况均有可能
12．已知函数()21,2
{ 3
,2
1
x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个
数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 二、填空题
13
．)
1
1cos x x dx -=⎰__________．
14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．
15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．
16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[],a b 上的
“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题
17．坐标系xOy 中，曲线1:{
x tcos C y tsin αα
==（t 为参数，
0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线
23:2sin ,:C C ρθρθ==.
（Ⅰ） 求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若
C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求AB的最大值.
1
18．已知函数()()
f x tx tx a R
=--+∈.
21
（Ⅰ）当1
t=时，解不等式()1
f x≤；
（Ⅱ）若对任意实数t，()
f x的最大值恒为m，求证：对任意正数,,
a b c，
当a b c m
++=时，m
≤.
19．如图，四棱锥S ABCD
-中，//,
⊥，侧面SAB为等边
AB CD BC CD
三角形，2
==.
CD SD
AB BC
==，1
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小.
20．已知函数()()21ln 2
f x x a x a R =-∈.
（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.
21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3
AB CD BCD π
∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.
（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；
（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
22．已知函数()()14ln f x x ax a R x
=-+∈.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；
（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设0m n <<，求证：
()2ln ln
4n m n m
-<
-.
2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题
Word 版含答案
一、选择题
1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8 【答案】D
【解析】{}25
{|250,N}{|0,N}0,1,22
Q x x x x x x x =-≤∈=≤≤∈= ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.
2．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（ ）
A.
【答案】C 【解析】
()()()()12222255i a bi a bi ai b a b a b i i ++=++-=-++=+，故
25
{ 25
a b a b -=+=，解得3{
1
a b ==-，故3a bi i +=-=C .
3．“221a b >>> ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由2210a b a b >>⇒>>>a b >>，不
一定大于0， 21a b a ∴>>>C .
4．设12
log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1
3
2c =，则a b c 、、的大小顺序为（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b a c << 【答案】A
【解析】试题分析：∵0.2
13
12
1210log 33⎛⎫
>>>> ⎪
⎝⎭
，∴a b c <<，故选A
【考点】本题考查了指数、对数函数的单调性
点评：掌握指数（对数）函数的单调性及图象是解决此类问题的关键，属基础题
5．用数学归纳法证明： ()
*
1
111,22
3
21
n
n n N n +++
+
<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（ ） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k 【答案】B
【解析】当n k =时，不等式左边为111
1 (2321)
k
++++-，共有21k -项，当1n k =+时，不等式左边1
1111 (2)
3
2
1
k +++++-，共有121k +-项， ∴增加
的项数为1222k k k +-=，故选B .
6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：由()02g =排除B,D ，由()11f =排除A,故选C ． 【考点】函数的图象．
7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥ 【答案】A
【解析】试题分析：函数()f x 图象开口向上,对称轴为1x a =-,由已知有14a -≥,则3a ≤-,选A. 【考点】二次函数的单调性.
8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（ ） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞ 【答案】B
【解析】2280x x --+>，可得函数定义域为()4,2-，由于外函数lg y t =，为增函数，故只需求内函数228t x x =--+的单调减区间即可，由于
228t x x =--+的单调减区间为()1,2-，函数()2ln 28y x x =--+的单调递减
区间是()1,2-，故选B .
【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属
于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.
9．已知函数()()4
,2x f x x g x a x
=+=+，若[]121,3,2,32
x x ⎡⎤
∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得
()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1a ≤
B. 1a ≥
C. 0a ≤
D. 0a ≥ 【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，当11
,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，由
()44f x x x =+
≥=，当且仅当4
x x =时，即2x =等号是成立，所以
函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，
()2x g x a =+为单调递增函数，所以()()m i n
24g x g a ==+，又因为[]121
,3,2,32
x x ⎡⎤
∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 【考点】函数的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了
学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中
解答中转化为()f x 在1
,32
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最
小值是解答的关键．
10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，
()()0f x f x x
+
'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）
A. a c b <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. c a b << 【答案】D
【解析】试题分析：设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为
()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()h x 是定义在R 的偶函数，当
0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时函数()h x 单调递增．因为()()11a f h ==， ()()222b f h =--=-， 111ln ln
ln 222c f h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又1
212
>>
，所以b a c >>．故选D ． 【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．
【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数()h x ()xf x =，并对()h x 进行求导，可以发现a ， b ， c 就是()h x 的三个函数值，再根据()h x 的单调性，就可以比较出a ， b ， c 的大小，进而得出结论．
11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，
()()
()()4
10f x f x f x +=
≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（ ） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ< C. ()()sin cos f f αβ= D. 以上情况均有可能 【答案】B
【解析】()1f x -的对称轴为1x =，可得()y f x =的对称轴为0x =，即有()()f x f x -=，又()()14f x f x +=，可得()()124f x f x ++=，即为
()()2f x f x +=，函数()f x 为最小正周期为2的偶函数， ()f x 在区间
()1.0-上单调递减，可得()f x 在()0,1上递增，由,αβ是钝角三角形中
两锐角，可得2
παβ+<，即有02
2
π
π
αβ<<
-<
，则0s i n s i n 12παβ⎛⎫
<<
-< ⎪⎝⎭
，即为0sin cos 1αβ<<<，则()()sin cos f f αβ<，故选B .
12．已知函数()21,2
{ 3
,2
1
x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个
数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 【答案】B
【解析】函数
()21
,2{
,
3
,21
x x f x x x -
<=≥-
()[]()
()[)(](]22210,2,,log 3212,3,log 3,235{ 2,3,212350,2,12
x x x x f x x x x x -∈∈-∞-∈∈∴=∈≤<-∈≥-，
()
2,log 3x ∴∈-∞时，
()()[]21
2
10,3x f f x -=-∈，令()()2f f x =，解得()22log 1log 3x =+，同理可
得()2log 3,2x ∈时，
32211x =--，解得27l o g 2x =， 52,2x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时， 323
11
x =--，解得115x =， 52x ≥时， 3
1212x --=，解得23
1log 3
x =+
，综上所述，函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的x 零点个数为4，故选B .
二、填空题
13
．)
1
1cos x x dx -=⎰__________．
【答案】2
π
【解析】
)
()1
1
1
1
1
cos cos x x dx x x dx ---=+⎰⎰，由cos y x x =为奇函
数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即
()11
cos 0x x -=⎰，
1
1
-的几何意义可知，表示以()0,0为圆心，以1
为半径的圆的一半，
则
1
2
π
-=
，
故
)
()1
1
1
1
1
cos cos 2
x x dx x x dx π
---=+=
⎰⎰，故答案为2
π.
14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________． 【答案】85
【解析】()()()()()121f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ∴函数()f x 是以
2为周期的奇函数， 2223log 104,14log 100,04log 101,<<∴-<-+<∴<-<
()()22log 104log 10f f ∴=-+= ()2244log 10
2log 10
284log 102
25
f ---==
=
，故答案为85
. 15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．
【答案】10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】函数()()x x f x e x ae =-， ()()'12x x f x x a e e ∴=+-⋅，由于函数
()f x 两个极值点为12,x x ，即12,x x 是方程()'0f x =的两个不等实数根，
即方程120x x ae +-=，且0a ≠， ∴
12x x e a +=；设()11
0,2x y a a
+=≠ 2x y e =，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示
,
要使这两个函数有2个不同的交点，应满足1
2{ 112a
a
>>，解得102a <<，
所以a 的取值范围为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选A .
【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解
16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[],a b 上的
“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】()0,2 【
解
析
】
试
题
分
析
：
由
题
意
得
()
()()()2000001,1,11,1,10,211m m
x mx x m x x m ----=
∈-⇒=+∈-⇒∈-- 【考点】新定义
三、解答题
17．坐标系xOy 中，曲线1:{
x tcos C y tsin αα
==（t 为参数，
0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线
23:2sin ,:C C ρθρθ==.
（Ⅰ） 求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ， 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 【答案】(1) ()0,0
, 3,22⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
；（2）4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由曲线2:2,C sin ρθ=化为22,sin ρρθ=把
222{ x y y sin ρρθ
=+=
代入可得直角坐标方程，同理由3:C ρθ=可得直角坐标方程，联立解出得23,C C 交点的直角坐标；（Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程： tan y x α=，其中0απ≤≤，其极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠
，利用2sin AB α=-即可得出. 试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=， 曲线3C
的直角坐标方程为220x y +-=，
联立2
2
2220,{ 0
x y y x y +-=+-=解得0,{ 0,x y ==
或{
3.
2
x y =
= 所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0
和32⎫
⎪⎪⎝⎭
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤< 因此A 的极坐标为()2sin ,αα， B
的极坐标为(),αα
所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫
=-=- ⎪⎝
⎭
当56
π
α=
时， AB 取得最大值，最大值为4. 18．已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈.
（Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；
（Ⅱ）若对任意实数t ， ()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，
m ≤. 【答案】(1) [)0+∞，；
（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的分段函数的形式，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果; （Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出m 的值，结合不等式的性质证明即可. 试题解析：（Ⅰ） 1t =时， ()21f x x x =--+
()3,1
{21,12 3
x f x x x <-=-+≤<-所以()1f x ≤，解集为[)0+∞，
（Ⅱ）由绝对值不等式得()()212+1=3tx tx tx tx --+≤-- 所以()f x 最大值为3，
1113+32222
a b c a b c
+++++≤
++== 当且仅当1a b c ===时等号成立.
19．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形， 2AB BC ==， 1CD SD ==
.
（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 【答案】（1）见解析（2
【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即,
⊥⊥，
SD SA SD SE
从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.
试题解析：（Ⅰ）取AB的中点E，连接,
DE SE，
则四边形BCDE为矩形，
所以2
==，
DE CB
所以AD=，
因为侧面SAB为等边三角形，2
AB=，
所以2
===，且SE=
SA SB AB
又因为1
SD=，
所以222222
+=+=，
SA SD AD SE SD ED
,
所以,
⊥⊥.
SD SA SD SE
又SA SE S
⋂=，
所以SD⊥平面SAB.
（Ⅱ）
过点S 作SG ⊥DE 于点G ， 因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥⋂=， 所以AB ⊥平面SDE . 又AB ⊂平面ABCD ， 由平面与平面垂直的性质， 知SG ⊥平面ABCD ，
在Rt DSE ∆中，由·
·SD SE DE SG =，
得12SG =，
所以SG =
过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ， 则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角， 因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ， 所以CD ⊥平面SDE ， 又SD ⊂平面SDE ， 所以CD SD ⊥.
在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，
求得SC =在
SBC ∆中， 2,SB BC SC ==
所以
12SBC
S ∆=， 由A SBC S ABC V V --=，
得1
1··3
3
SBC ABC S AH S SG ∆∆=，
即1112232322
AH ⨯
⨯=⨯⨯⨯⨯
，
解得7
AH =
，
所以AH sin ABH AB ∠=
=
，
故AB 与平面SBC . 20．已知函数()()21
ln 2
f x x a x a R =-∈.
（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.
【答案】(1) 2 ， 2ln2-；（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解.
【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;
（Ⅱ）通过0,0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈ [)0,e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e >时，方程有两解. 试题解析：（Ⅰ）因为()()0a
f x x x x
=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，
所以()()22ln22,2212
a f a
b f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-.
（Ⅱ）当0a =时， ()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时， ()()0a f x x x x
=->'在区间()0,+∞内恒成立，
所以()f x 为定义域为增函数，因为()11
11
10,1022
a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，
所以方程有唯一解.
当0a >时， ()2x a
f x x
='-.
当(x ∈时， ()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数， 当)
x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，
所以当x =()11ln 2
f a a =-. 当()
0,a e ∈时， ()11ln 02
f a a =->，无方程解； 当
a e =时， ()11ln =02
f a a =-，方程有唯一解. 当()
,a e ∈+∞时， ()11ln 02
f a a =-<，
因为()1102
f =>，且1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，
当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x
'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，
又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22
f x x a x x ax =->-.
因为21a >，所以()()2
2122202
f a a a >-=.
所以方程()
0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，
综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3
AB CD BCD π
∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.
（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；
（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；（2）点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB
所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意
求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则
BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为: x 轴， y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ= (
0λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ
0=此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23
BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥.
∵CF ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ，
∴AC CF ⊥,而CF BC C ⋂=,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF .
（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设1AD CD BC CD ====
，令(0FM λλ=≤≤，
则(
))()()0,0,0,,0,1,0,,0,1C A B M λ， ∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-
设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，
由0{ 0n AB n BM ⋅
=⋅=得0{ 0y x y z λ+=-+=，取1
x =，则()
1,3,n λ=， ∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量， ∴
cos ,13n m
n m n m ⋅===+
∵0λ≤≤，∴当0λ=时， cos θ
∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二22．已知函数()()1
4ln f x x ax a R x =-+∈.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；
（Ⅱ）若(
)f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设0m n <<，求证： ()
2ln ln 4n m n m -<-. 【答案】(1) 1-；（2）4a ≥；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，根据()14134f a a =--=-='，可求得a 的值；（Ⅱ） ()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，等价于由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x
≥-+在()0,+∞恒成立，利用导数研究函数的单调性求出()max g x ⎡⎤⎣⎦，从而可得结果；
（Ⅲ）原不
等式等价于ln n m <令t =1t >，则21ln 22t t t <-，即14ln 40t t t -+<，只需证明14ln 40t t t
-+<的最大值小于零即可. 试题解析：（Ⅰ） ()()241,14134f x a f a a x x
=--=--=-'='，所以1a =-， （Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x
≥-+在()0,+∞恒成立.
设()()214,0,g x x x x
=-+∈+∞，则()max a g x ⎡⎤≥⎣⎦ ()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭
，所以4a ≥. （Ⅲ）因为0m n <<，不等式
()2ln ln
4n m n m -<- ln ln n m ⇔-<，
即ln n m <令t =则1t >，则21l n 22t t t <-，即14l n 40t t t -+<. 令()()1
4ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知， ()14ln 4f x x x x =-+在()0,+∞上
单调递减，
所以当1t >时， ()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2l n l n
4n m n m -<-成立. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min
a f x ≤
即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅱ）是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。